Se il sistema legge n, con che probabilità ha sbagliato? 2

Elementi di Probabilità e Statistica, A.A. 2015-2016

Prova scritta - 1 febbraio 2016

Problema 1. (3+3+3 punti) In un sistema di lettura automatica - da parte di un computer - di testi scritti a mano scannerizzati, le lettere n ed u sono facili da confondere. In una certa lingua, la n compare con frequenza 1/15, mentre la u con frequenza 1/25. Se la lettera è davvero n, il sistema legge n il 90% delle volte, u il 10%. Se la lettera è u, il sistema legge n il 20% delle volte, u l’80%. Se la lettera è diversa sia da n sia da u, il sistema legge n il 2% delle volte.

1. Se il sistema legge n, con che probabilità ha sbagliato?

2. Se il sistema, nel leggere un testo, incontra 12 volte la lettera n, con che prob- abilità ne sbaglia almeno una? Quante ne sbaglia in media? Nel rispondere a questa domanda si suppongano indipendenti i vari errori di lettura.

3. Supponiamo ora che la persona che utilizza il computer corregga man mano gli errori commessi dal sistema automatico, per cui i nuovi errori di lettura non sono più indipendenti da quelli passati. Immaginiamo la seguente regola semplice: se il sistema ha commesso un errore nella lettura di una n o di una u, alla lettura successiva la probabilità di sbagliare quella lettera è la metà della probabilità precedente; mentre se ci ha azzeccato, la lettura successiva è indipendente. Supponiamo che il sistema incontri (intercalate ad altre lettere, ma questo non è rilevante) la seguente sequenza:

n n u n:

Che probabilità ha di leggerla

n u u n?

E’ammessa una soluzione basata su identità abbastanza intuitive, basta che sia evidente il ragionamento intuitivo eseguito.

Problema 2. (3+3+3 punti) Si consideri la funzione f (x) = C jxj (1 + jxj) dove C > 0 è una costante opportuna.

1. Stabilire per quali valori di e C la funzione f (x) è una densità di proba- bilità.

2. Siano X1, X2 due v.a. indipendenti con tale densità. Supponendo > 3, calcolare E [jX¹j jX²j X₁X₂].

3. Posto Y = p

jXj, esprimere la funzione di ripartizione di Y in termini di quella di X e calcolare la densità di probabilità di Y .

Problema 3. (3+3+3+3 punti) Si vuole monitorare il livello L di rumore di un sistema meccanico, dando l’allarme quando L, mediato su un certo numero di osservazioni, supera una certa soglia; si ritiene infatti che il livello di rumore ri‡etta eventuali mal funzionamenti. Si supponga che L sia una variabile aleatoria gaussiana. Si misura L in n istanti di tempo ravvicinati, ottenendo i numeri L1, ..., Ln (questo se considerati come un campione aleatorio; scriveremo invece l1, ..., l_n se sono valori sperimentali) e se ne calcola la media aritmetica Ln (risp. ln).

1. Innanzi tutto bisogna conoscere le proprietà statistiche di L. Si misura L per 100 volte in condizioni note di buon funzionamento. Si ottengono i valori speriementali l1 + ::: + l₁₀₀ = 315:726, l²₁ + ::: + l²₁₀₀ = 1124:92. Stimare E [L]con un intervallo di …ducia al 95%. Scrivere anche il modello statistico teorico alla base di questo calcolo.

2. Prendiamo per buoni i valori di media e deviazione standard ottenuti con l’esperimento precedente. Misuriamo un singolo valore di L in condizioni di buon funzionamento. Tale valore, di quale numero lmax sarà minore, con probabilità 0.95? Ra¢ gurare il problema ed il risultato con un disegno.

3. Ora bisogna eseguire il controllo descritto all’inizio. Scegliamo n = 10. Dob- biamo decidere una soglia con cui confrontare il valore misurato di L10: si dà l’allarme se L10 > . Interpretando questo come un test di signi…catività pari a 95%, quanto dev’essere ? Come parametri in assenza di guasti, si prendano ancora quelli del punto 1.

4. I falsi allarmi (superamenti della soglia quando la media non è cambiata) non ci preoccupano eccessivamente, perché appena si veri…ca un allarme, come prima cosa si ripete il controllo, con…dando che così facendo, se quello era un falso allarme, il secondo valore di L10 sia rientrato nei limiti. Il vero problema invece è che il sistema non si accorga di un cambiamento sistematico considerevole. I tecnici ci dicono che un aumento della media del rumore di un’unità corrisponde ad un pericolo. Con che probabilità il sistema descritto al punto 3 riesce a scoprire un tale aumento? Se accorgersi di un tale aumento viene ritenuto vitale, per cui si può accettare di sbagliare al massimo una volta su 1000, cosa si deve fare? Discutere il problema.

1 Soluzioni

Esercizio 1.

1) Usiamo le abbreviazioni L = per legge *, n per la lettera è n ecc., S per sbaglia.

P (L = n) = P (L = nju) P (u) + P (L = njn) P (n) + P (L = nj fu; ng^c) P (fu; ng^c)

= 0:2 1=25 + 0:9 1=15 + 0:02 (1 1=15 1=25) = 0:085

P (SjL = n) = P (u oppure fu; ng^cjL = n)

= P (ujL = n) + P (fu; ng^cjL = n)

= P (L = nju) P (u)

P (L = n) +P (L = nj fu; ng^c) P (fu; ng^c) P (L = n)

= 0:2 1=25 + 0:02 (1 1=15 1=25)

0:085 = 0:304:

2) Il numero di errori è una binomiale B (12; p) con p = 0:1. Quindi P (B_12;p 1) = 1 P (B_12;p = 0) = 1 (1 p)¹²

= 1 0:9¹²= 0:717:

La media è 12 p = 1:2.

3)

P (n u u njn n u n) = P (njn) P (u u njn u n)

= P (njn) P (ujn) P (u nju n; un errore su una n)

= P (njn) P (ujn) P (uju) P (njn; un errore su una n)

= 0:9 0:1 0:8 (1 0:05) : Esercizio 2.

1) La funzione jxj (1 + jxj) , comportandosi all’in…nito come jxj ⁺¹, è inte- grabile se e solo se

> 2:

Per tali valori, abbiamo Z ₊₁

1

jxj (1 + jxj) dx = 2 Z ₊₁

0

x (1 + x) dx

= 2 Z ₊₁

0

(1 + x) (1 + x) dx 2 Z ₊₁

0

(1 + x) dx

= 2 Z ₊₁

0

(1 + x) ⁺¹dx 2 Z ₊₁

0

(1 + x) dx

= 2 Z ₊₁

1

y ⁺¹dy 2 Z ₊₁

1

y dy

= 2 y ⁺² + 2

1 1

2 y ⁺¹ + 1

1

1

= 2

2

2

1 = 2

( 2) ( 1)

quindi C = ( 2) ( 1) =2.

2) Vale

E [jX¹j jX²j X₁X₂] = E [jX¹j jX²j] E [X₁X₂]

= E [jX¹j] E [jX²j] E [X₁] E [X₂]

= E [jX¹j]² E [X₁]² quindi basta calcolare E [X1]e E [jX¹j]. Vale

E [X₁] = C

Z ₊₁

1

xjxj (1 + jxj) dx = 0

per simmetria (usando il fatto che, per > 3, gli integrali impropri sono …niti).

Poi

E [jX¹j] = C

Z ₊₁

1

jxj²(1 +jxj) dx

= C

Z ₊₁

1

(1 +jxj)²(1 +jxj) dx C

Z ₊₁

1

(1 +jxj) dx 2C

Z ₊₁

1 jxj (1 + jxj) dx Z ₊₁

1

(1 +jxj) ⁺²dx = 2 Z ₊₁

0

(1 + x) ⁺²dx = 2 Z ₊₁

1

y ⁺²dy

= 2 y ⁺³ + 3

1 1

= 2

3 Z ₊₁

1

(1 +jxj) dx = 2 1

(già calcolato sopra) Z ₊₁

1 jxj (1 + jxj) dx = 2

( 2) ( 1)

(già calcolato sopra) quindi

E [jX¹j] = ( 2) ( 1)

3 ( 2) 2:

3) Per y < 0, FY (y) = P (Y y) = 0; per y 0 F_Y (y) = P (Y y) = P p

jXj y = P jXj y² = P y² X y²

= FX y² FX y² Quindi per y 6= 0

f_Y (y) = F_Y⁰ (y) = F_X⁰ y² 2y + F_X⁰ y² 2y

= 2y f_X y² + f_X y²

= 4yC y² 1 + y²

= 2 ( 2) ( 1) y³ 1 + y² : Esercizio 3.

1) La stima puntuale è

l₁₀₀ = 315:726

100 3:157

mentre un intervallo di …ducia al 95%, applicando l’approssimazione gaussiana per via dell’elevata numerosità del campione, è dato da ln

Sq₁ p 2

n , = 0:05.

Eseguiamo i calcoli:

S² = 1

n 1

Xn i=1

l_i l_n ² = 1

n 1

Xn i=1

l²_i n n 1l²_n

= 1

991124:92 100

99 3:157² = 1:295

l_n Sq₁ p 2

n = 3:157

p1:295 1:96

10 = 3:157 0:223:

2) Cerchiamo lmax tale che

P (L < l_max) = 0:95:

Con facili calcoli si trova

l_max= l_n+ S q_0:95= 3:157 +p

1:295 1:64 = 5:023:

3) Si tratta di un test unilatero. Serve tale che P L₁₀ > = 0:05:

Ricordando che L10 è una N l100;^S₁₀² , con facili calcoli si trova

= l_n+ S

p10 q_0:95= 3:157 +

p1:295

p10 1:64 = 3:747:

4) La probabilità richiesta è (una potenza, cioè) P ^{= 0+1} L10 > = P N_l

100+1;^S2₁₀ > 3:747

= P N_0;S2 10

> 3:747 3:157 1

= P N_0;1 >p

103:747 3:157 1 S

= P (N_0;1 > 1:139) = 0:873:

Per migliorare questo valore, l’unica cosa fattibile in pratica è aumentare n (cioè mediare su più di 10 campioni).