5 4 3 OC ≡ CD 2 1

VERIFICA DI MATEMATICA – 2^F Liceo Sportivo – impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il giorno 6 dicembre 2018

NOME E COGNOME _____________________________________________________________

1

2

Consideriamo il triangolo ABC rettangolo in A.

Tracciare un segmento CD che risponda a queste caratteristiche:

CD≡ AC ; CD ⊥ AC ; D appartiene allo stesso semipiano di B determinato dalla retta AC.

Dimostrare che AD è la bisettrice dell'angolo BAĈ ^.

3

Consideriamo un angolo MON̂ ^.

Prendiamo due punti A, B sul lato OM in modo tale che OA≡AB .

Analogamente prendiamo due punti C,D sul lato ON in modo tale che OC≡CD .

Dimostrare che il quadrilatero ABDC è un trapezio la cui base maggiore è doppia della base minore.

4

Consideriamo il triangolo isoscele ABC di vertice A.

Sia D il punto di intersezione delle altezze relative ai lati obliqui.

Dimostrare che AD è asse della base BC.

5

Un triangolo isoscele OAB ha il vertice O nel centro di una circonferenza e i lati OA e OB intersecano tale circonferenza rispettivamente nei punti E ed F.

Dimostrare che la corda EF è parallela alla base AB del triangolo.

Valutazione

Obiettivi: riuscire ad interpretare un enunciato, analizzarlo coi metodi se/allora – ipotesi/tesi, impostare la dimostrazione, scrivere la dimostrazione in modo chiaro. Applicare le proprietà delle figure geometriche, i criteri di congruenza dei triangoli, il teorema fondamentale delle rette parallele, il teorema del fascio di parallele, definizione di luoghi geometrici, circonferenza e cerchio.

Riferimenti principali: capitoli 2,3,4,5 del libro di testo.

Valutazione delle risposte.

2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara, leggibile, originale.

1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione o priva di originalità.

1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.

1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.

1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.

1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.

0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.

0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto, ottenuta con lavoro e impegno.

0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi, o eccessivamente incompleta, ottenuta con scarso impegno.

0,2 punti: risposta mancante, o insensata o del tutto slegata dal contesto.

I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http:// www.lacella.it/profcecchi Nel BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it si trovano preziosi consigli specifici per questa prova

Seguendo la pagina facebook https://www.facebook.com/profcecchi si possono avere notizie sugli aggiornamenti.

1

Ipotesi:

triangolo ABC isoscele con AC≡AB ; A, B, D allineati;

BD≡AB . Tesi:

DC > AB

Dimostrazione:

Consideriamo il triangolo ACD.

Per la disuguaglianza triangolare DC + AC>AD . Per le ipotesi è pure vero che AC≡AB ; AD≡2 AB ,

dunque la disuguaglianza possiamo riscriverla come DC+ AB> AB+ AB . Da tale disuguaglianza segue immediatamente la tesi.

2

Consideriamo il triangolo ABC rettangolo in A.

Tracciare un segmento CD che risponda a queste caratteristiche:

CD≡AC ; CD ⊥ AC ; D appartiene allo stesso semipiano di B determinato dalla retta AC.

Dimostrare che AD è la bisettrice dell'angolo BAĈ ^.

Ipotesi:

BAC = π̂

2 ; ̂ACD= π 2 ; CD≡AC .

Tesi:

BAD≡ ̂̂ DAC

Dimostrazione:

Il triangolo ACD è isoscele visto che per ipotesi CD≡AC . Sempre per ipotesi ACD= π̂

2 , quindi del triangolo ACD possiamo pure dire che DAC≡ ̂̂ ADC , in quanto triangolo isoscele,

ma anche che DAC≡ ̂̂ ADC ≡π

4 per somma interna degli angoli di un triangolo.

Quello che ci interessa è che DAC≡ π̂ 4 . Inoltre, essendo per ipotesi BAC = π̂

2 possiamo pure dire che BAD≡ ̂̂ BAC− ̂DAC≡ π

2− π 4= π

4 . Ricapitolando π

4≡ ̂BAD≡ ̂DAC che è la tesi.

3

Consideriamo un angolo MON̂ ^.

Prendiamo due punti A, B sul lato OM in modo tale che OA≡AB .

Analogamente prendiamo due punti C,D sul lato ON in modo tale che OC≡CD .

Dimostrare che il quadrilatero ABDC è un trapezio la cui base maggiore è doppia della base minore.

Ipotesi:

OA≡AB ; OC≡CD

Tesi:

ABDC trapezio;

2 AC≡BD

Dimostrazione:

Osserviamo subito che i segmenti CD e AB non sono paralleli perchè le rette a cui appartengono formano l'angolo MON .̂

Consideriamo adesso il triangolo OBD, in virtù delle ipotesi possiamo dire che A è il punto medio di OB e C è il punto medio di OD. Dunque il segmento AC congiunge i due punti medi di due lati di un triangolo.

Per il teorema del fascio di parallele applicato ai triangoli [teorema 14 pag. 153 di MultiMath Blu Geometria, pag.158 Teoria.zip ] possiamo affermare che AC∥BD e quindi che il quadrilatero ABDC è un trapezio, ma ci permette pure di affermare che 2 AC≡BD , che è la seconda tesi richiesta.

4

Consideriamo il triangolo isoscele ABC di vertice A.

Sia D il punto di intersezione delle altezze relative ai lati obliqui.

Dimostrare che AD è asse della base BC.

Ipotesi:

triangolo ABC isoscele con AB≡AC ; D intersezione altezze relative.

Tesi:

AD asse di BC.

Dimostrazione:

Per il teorema dell'ortocentro [pag.197-198 MultiMathBlu Geometria, pag.211 Teoria.zip] nel punto D si incontrano le tre altezze del triangolo, quindi la retta AD contiene l'altezza AH.

Allora BC ⊥ AD .

Inoltre ricordiamo che nei triangoli isosceli coincidono altezza, mediana e bisettrice relative a vertice e base, dunque AH è anche mediana. [pag.72 e seguenti MultiMath Blu Geometria]

Allora BH ≡HC .

Ricapitolando la retta AD è perpendicolare al segmento BC e lo divide a metà, per definizione è l'asse del segmento BC, come volevasi dimostrare.

5

Un triangolo isoscele OAB ha il vertice O nel centro di una circonferenza e i lati OA e OB intersecano tale circonferenza rispettivamente nei punti E ed F.

Dimostrare che la corda EF è parallela alla base AB del triangolo.

Ipotesi:

triangolo OAB isoscele con OA≡OB ; OE≡OF≡r

Tesi:

AB∥EF

Dimostrazione:

Anche il triangolo OEF è isoscele, visto che OE≡OF≡r ; avendo indicato con r il raggio della circonferenza.

Dunque, per le proprietà dei triangoli isosceli, gli angoli OEF≡ ̂̂ OFE ;

Per la somma interna degli angoli di un triangolo abbiamo anche che OEF≡̂ π− ̂EOF 2

Analogamente, per quanto riguarda il triangolo OAB isoscele per ipotesi: OAB≡̂ π− ̂AOB 2 Ovviamente EOF = ̂̂ AOB .

Ricapitolando: OEF≡̂ π− ̂EOF

2 =π− ̂AOB

2 ≡ ̂OAB ovvero OEF≡ ̂̂ OAB .

Le rette AB ed EF hanno angoli corrispondenti congruenti, quindi sono parallele, per il teorema fondamentale delle rette parallele, come volevasi dimostrare.