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1 Equazioni differenziali

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Academic year: 2021

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(1)

1 Equazioni differenziali

Definizione 1.1. Un’equazione in cui l’incognita `e una funzione `e detta equazione funzionale.

Esempio 1.2. Si consideri l’equazione F (x, y) = 0

dove F : A ⊂ R2 → R `e una funzione reale di due variabili reali. Assegnata la funzione F , che `e il dato, si cerca una funzione incognita y(x) tale che F (x, y(x)) = 0. E’ il problema delle funzioni implicite. Sappiamo che, sotto opportune ipotesi ed aggiungendo la condizione y(x0) = y0, con (x0, y0) ∈ A, tale che F (x0, y0) = 0, esiste un’unica soluzione di tale equazione funzionale, definita in un opportuno intorno di x0 (soluzione “in piccolo”).

Definizione 1.3. Un’equazione funzionale in cui compare almeno una derivata della funzione incognita `e detta equazione differenziale.

Esempio 1.4. Si consideri l’equazione differenziale

y0(x) = f (x), (1.1)

dove f `e una funzione continua definita in un intervallo aperto I. Si tratta del problema della ricerca della primitiva. Sappiamo che, fissato x0 ∈ I, tutte e sole le soluzioni di (1.1) sono date, al variare di c ∈ R, da

y(x) = c + Z x

x0

f (t)dt, ∀x ∈ I.

Se si aggiunge la condizione y(x0) = y0, la soluzione `e univocamente deter- minata:

y(x) = y0+ Z x

x0

f (t)dt, ∀x ∈ I.

Definizione 1.5. Un’equazione differenziale si dice ordinaria (ODE) se la funzione incognita dipende da una sola variabile, si dice a derivate parziali (PDE) se dipende da pi`u variabili.

Esempio 1.6. L’equazione differenziale ordinaria mx00(t) = −kx(t), descrive il moto (armonico) di una molla.

(2)

L’equazione a derivate parziali

2y

∂t2 = c22y

∂x2

`

e l’equazione delle onde unidimensionale.

La seconda legge della dinamica

F = ma

`

e un’equazione differenziale vettoriale. Se P (t) = (x(t), y(t), z(t)) indica la posizione al tempo t di un punto materiale di massa m, soggetto a una forza F(t, P (t), v(t)) si ha

mP00(t) = F(t, P (t), v(t)), ovvero, per componenti,









mx00(t) = F1(t, x(t), y(t), z(t), x0(t), y0(t), z0(t)) my00(t) = F2(t, x(t), y(t), z(t), x0(t), y0(t), z0(t)) mz00(t) = F3(t, x(t), y(t), z(t), x0(t), y0(t), z0(t))

si ha un sistema di 3 equazioni differenziali in 3 funzioni incognite. Per determinare univocamente una soluzione di solito si assegnano la posizione e la velocit`a in un fissato istante di tempo:









x(t0) = x0, x0(t0) = x00 y(t0) = y0, y0(t0) = y00 z(t0) = z0, z0(t0) = z00

La generica equazione differenziale ordinaria ha la seguente forma F (t, y(t), ..., y(n)(t)) = 0, (1.2) dove F : A ⊂ Rn+2 → R. Il massimo ordine di derivazione della funzione incognita `e detto ordine dell’equazione differenziale. Dunque (1.2) `e la generica equazione differenziale ordinaria di ordine n.

L’equazione (1.2) `e detta in forma normale se si pu`o esplicitare la derivata di ordine massimo, scrivendola nella forma

y(n)(t) = f (t, y(t), ..., y(n−1)(t)), (1.3) con f : A ⊂ Rn+1 → R.

Se F in (1.2) o f in (1.3) non dipendono dalla variabile indipendente t, l’equazione si diece autonoma.

(3)

Definizione 1.7. Si dice soluzione di (1.2) una funzione y = y(t) definita su un intervallo I, ivi derivabile n volte, e tale che

(t, y(t), ..., y(n)(t)) ∈ A, ∀t ∈ I, F (t, y(t), ..., y(n)(t)) = 0, ∀t ∈ I,

talvolta la prima di queste condizioni essendo considerata sottintesa nella seconda. Se I contiene un suo estremo, ad esempio se I = (a, b], la derivabilit`a in b va intesa nel senso dell’esistenza della derivata sinistra.

Come suggerito dagli esempi, per determinare univocamente una soluzione sar`a necessario imporre delle condizioni. Le condizioni pi`u comunemente as- sociate a una equazione differenziale ordinaria di ordine n sono le condizioni iniziali o condizioni di Cauchy:





y(t0) = y0, y0(t0) = y1,

· · ·

y(n−1)(t0) = yn−1

(1.4)

dove t0 ∈ I. Il problema









F (t, y(t), ..., y(n)(t)) = 0, y(t0) = y0,

y0(t0) = y1,

· · ·

y(n−1)(t0) = yn−1

(1.5)

`

e detto problema di Cauchy o problema ai valori iniziali.

Definizione 1.8. Si dice soluzione del problema di Cauchy (1.5) una soluzione di (1.2) definita in un intervallo I avente t0 come punto interno e verifi- cante le condizioni iniziali (1.4).

Un sistema di equazioni differenziali ordinarie ha la seguente forma

F1(t, y1, ..., y(n1 1); y2, ..., y2(n2); ...; ym, ..., ym(nm)) = 0,

· · ·

Fm(t, y1, ..., y(n1 1); y2, ..., y2(n2); ...; ym, ..., ym(nm)) = 0

(1.6)

dove Fk : A ⊂ Rn1+...nm+m+1 → R, k = 1, ..., m. Si dice di ordine nk in yk. Se n1 = n2 = ... = nm = n, il sistema si dice di ordine n.

(4)

Definizione 1.9. Si dice soluzione di (1.6) una m-upla di funzioni (y1(t), y2(t), ..., ym(t)) definite su un intervallo I, tali che ciascuna yk`e deriv- abile nk volte su I, e tali che

(t, y1(t), ..., ym(nm)(t)) ∈ A, ∀t ∈ I,

Fk(t, y1, ..., y(n1 1); y2, ..., y2(n2); ...; ym, ..., ym(nm)) = 0, ∀t ∈ I, ∀k = 1, ..., m.

Il problema di Cauchy associato al sistema di equazioni differenziali (1.6) si ottiene assegnando il valore ad un tempo t0 ∈ I di ogni funzione yk e delle sue derivate fino all’ordine nk− 1.

Osservazione 1.10. Ogni equazione differenziale (o sistema di equazioni dif- ferenziali) pu`o essere ricondotto allo studio di un sistema di equazioni dif- ferenziali del primo ordine, e similmente per i problemi di Cauchy. Vediamo in dettaglio il procedimento nel caso delle equazioni differenziali. Poniamo

y = y0, y0 = y1, ..., y(n−1) = yn−1 (1.7) Se y(t) `e una soluzione di (1.2), allora la n-upla (y0(t), y1(t), ..., yn−1(t)) defi- nite tramite (1.7) `e soluzione del sistema di n equazioni differenziali del primo ordine









F (t, y0(t), ..., yn−1(t), y0n−1(t)) = 0, y00 = y1,

y01 = y2,

· · ·

y0n−2= yn−1

(1.8)

Viceversa, se (y0(t), y1(t), ..., yn−1(y)) `e una n-upla di funzioni che `e soluzione del sistema (1.8), allora y0(t) `e derivabile n volte ed `e soluzione dell’equazione differenziale (1.2).

Tenendo conto delle posizioni (1.7), le condizioni iniziali (1.4), diventano

y0(t0) = y0,

· · ·

yn−1(t0) = yn−1,

(1.9)

cio`e le classiche condizioni iniziali per un sistema del primo ordine.

Quindi lo studio del problema di Cauchy per una equazione differenziale di ordine n (e, pi`u in generale, per un qualunque sistema di equazioni dif- ferenziali) si riconduce allo studio del problema di Cauchy per un sistema di equazioni differenziali del primo ordine.

(5)

Svilupperemo pertanto la teoria per i problemi di Cauchy per sistemi di equazioni differenziali del primo ordine in forma normale.

Consideriamo il generico sistema del primo ordine in forma normale









y10 = f1(t, y1, ..., yn), y20 = f2(t, y1, ..., yn),

· · ·

yn0 = fn(t, y1, ..., yn), yk(t0) = y0k, k = 1, ..., n

(1.10)

dove fk : A ⊂ Rn+1 → R, con A aperto.

Poniamo y(t) = (y1(t), ..., yn(t)) (funzione vettoriale di variabile reale), y0(t) = (y01(t), ..., y0n(t)), y0 = (y10, ..., y0n) ∈ Rn, f = (f1, ..., fn). Allora il sistema (1.10) si pu`o scrivere in forma compatta cos`ı

 y0 = f (t, y(t)),

y(t0) = y0, (1.11)

dove f : A ⊂ Rn+1 → Rn.

Teorema 1.11 (Teorema di esistenza di Peano). Sia f : A ⊂ Rn+1 → Rn continua su A aperto. Allora per ogni (t0, y0) ∈ A esiste una soluzione di (1.11), definita in un intervallo I = (t0− r0, t0+ r0), per un oppportuno r0 > 0.

Osservazione 1.12.

1) Il teorema afferma l’esistenza di una soluzione “in piccolo” o locale.

2) L’ipotesi di continuit`a di f non pu`o essere rimossa, come illustra il seguente esempio. Si consideri il problema di Cauchy

 y0(t) = H(t),

y(0) = y0, (1.12)

dove H `e la funzione di Heavyside (discontinua nell’origine) H(t) = 1, se t ≥ 0,

0, se t < 0

Se, per assurdo, (1.12) avesse una soluzione, essa dovrebbe essere definita in un intorno dell’origine e dunque verificare in tale intorno

y0(t) = 1, se t ≥ 0, 0, se t < 0,

(6)

da cui

y(t) = t + c1, se t ≥ 0, c2, se t < 0.

Dalla continuit`a nell’origine seguirebbe c1 = c2 = y0. La soluzione sarebbe quindi non derivabile nell’origine, contraddicendo la definizione di soluzione.

3) La sola continuit`a di f non garantisce l’unicit`a, come illustra il seguente esempio (pennello di Peano).

Si consideri il problema di Cauchy

 y0 = 3y23,

y(0) = 0, (1.13)

Si ha che f (t, y) = 3y23 `e continua in A = R2. La funzione identicamente nulla y ≡ 0 `e soluzione, ma sono soluzioni anche y(t) = t3 e, per ogni t > 0,

yt(t) = (t − t)3, per t ≥ t, 0, per t ≤ t. Ci sono pertanto infinite soluzioni.

Dunque, se si vuole garantire l’unicit`a, si dovranno fare ulteriori ipotesi.

Per poterle introdurre e dimostare un risultato di esistenza e unicit`a, apriamo una parentesi di approfondimento sugli spazi metrici.

Definizione 1.13. Un’applicazione tra spazi metrici f : (X, d) → (Y, d0) si dice lipschitziana (su X) se esiste una costante positiva L (detta costante di Lipschitz) tale che

d0(f (x), f (y)) ≤ Ld(x, y), ∀x, y ∈ X (1.14) Se f `e funzione reale di variabile reale, allora la lipschitzianit`a significa che i rapporti incrementali di f costituiscono un insieme limitato. E’ evidente che la Lipschitzianit`a implica la continuit`a, ma non viceversa. Ad esempio f : [0, 1] → [0, 1], definita da f (x) =√

x `e continua ma non lipschitziana.

Definizione 1.14. Un’applicazione da uno spazio metrico in s`e f : (X, d) → (X, d) `e detta contrazione se esiste una costante positiva L < 1 tale che

d(f (x), f (y)) ≤ Ld(x, y), ∀x, y ∈ X, (1.15) ovvero f `e una mappa lipschitziana in cui si pu`o scegliere la costante di Lipschitz minore di 1.

(7)

Definizione 1.15. Sia X un insieme non vuoto e f : X → X un’applicazione (trasformazione di X in s`e). Un elemento x ∈ X si dice punto fisso o punto unito di f se f (x) = x.

Teorema 1.16 (Teorema delle contrazioni (principio di Banach-Cac- cioppoli)). Sia (X, d) uno spazio metrico completo e sia T : (X, d) → (X, d) una contrazione. Allora esiste un unico (punto fisso) x ∈ X tale che T x = x.

Dimostrazione. Sappiamo che esiste L < 1 tale che d(T x, T y) ≤ Ld(x, y), per ogni x, y ∈ X. Sia x0 ∈ X un qualunque punto di X e defi- niamo, ricorsivamente, la successione

xn+1 = T xn= Tn+1x0, n = 0, 1, 2, ...

Proviamo, per induzione, che

d(xn+1, xn) ≤ Lnd(x1, x0).

Per n = 1, si ha d(x2, x1) = d(T x1, T x0) ≤ Ld(x1, x0).

“n − 1 ⇒ n”: d(xn+1, xn) = d(T xn, T xn−1) ≤ Ld(xn, xn−1) ≤ Lnd(x1, x0).

Sia ora m > n. Si ha che

d(xm, xn) ≤

m−1

X

i=n

d(xi+1, xi) ≤

m−1

X

i=n

Lid(x1, x0) = d(x1, x0)Ln

m−1−n

X

j=0

Lj

d(x1, x0) Ln

1 − L → 0, per n → ∞. (1.16) Quindi per ogni  > 0 esiste n tale che

d(xm, xn) ≤ , per n ≥ n, m > n,

cio`e la successione xn `e di Cauchy. Dalla completezza di X, segue che essa converge a un punto x ∈ X. Essendo una contrazione, T `e continua e quindi T xn converge a T x, ma T xn = xn+1 e quindi converge a x. Per l’unicit`a del limite in spazi metrici, T x = x e perci`o x `e punto fisso di T . Se, per assurdo, esistesse un altro (punto fisso) y ∈ X, y 6= x tale che T y = y, allora si avrebbe

d(x, y) = d(T x, T y) ≤ Ld(x, y),

ed, essendo L < 1 e d(x, y) > 0, si avrebbe una contraddizione. 

(8)

Osservazione 1.17. Si noti che, passando al limite per m → ∞ in (1.16), si ha la seguente maggiorazione dell’errore

d(xn, x) ≤ Ln

1 − Ld(x1, x0). (1.17) Consideriamo lo spazio vettoriale C([a, b], Rn) delle funzioni continue de- finite nell’intervallo [a, b] a valori in Rn. Il teorema di Weierstrass, applicato alla funzione kf (x) − g(x)k continua sul compatto [a, b], permette di definire in tale spazio la seguente distanza

d(f, g) = max

x∈[a,b]kf (x) − g(x)k. (1.18)

Le prime due propriet`a di distanza sono elementari, per la disuguaglianza triangolare si noti che

kf (x)−h(x)k ≤ kf (x)−g(x)k+kg(x)−h(x)k ≤ d(f, g)+d(g, h), ∀x ∈ [a, b], dalla quale, passando al massimo nell’espressione a primo membro, si ha

d(f, h) ≤ d(f, g) + d(g, h).

Vediamo che C([a, b], Rn) `e completo rispetto a tale distanza.

Sia fn una successione di Cauchy in (C([a, b], Rn), d), dunque per ogni

 > 0 esiste n tale che

kfm(x) − fn(x)k ≤ d(fm, fn) ≤ , ∀n, m ≥ n, ∀x ∈ [a, b]. (1.19) Segue che per ogni x ∈ [a, b], la successione a valori in Rnfn(x) `e di Cauchy e dunque, per la completezza di Rn, converge a un vettore di Rn, che indichiamo con f (x). Rimane pertanto definita una funzione f : [a, b] → Rn tale che limn→∞fn(x) = f (x), per ogni x ∈ [a, b]. Facendo tendere m all’infinito in (1.19), si ha che per ogni  > 0 esiste n tale che

kfn(x) − f (x)k ≤ , ∀n ≥ n, ∀x ∈ [a, b], (1.20) cio`e per ogni  > 0 esiste n tale che

d(fn, f ) ≤ , ∀n ≥ n. (1.21) Rimane da provare che f ∈ C([a, b], Rn), ovvero la continuit`a di f .

Sia x0 ∈ [a, b]. Essendo fn continua, per ogni  > 0, esiste δ > 0 tale che kfn(x) − fn(x0)k <  ∀x ∈ [a, b] : |x − x0| < δ. (1.22)

(9)

Da (1.21) per n = n e da (1.22) si ha che per ogni x ∈ [a, b] tale che

|x − x0| < δ,

kf (x)−f (x0)k ≤ kf (x)−fn(x)k+kfn(x)−fn(x0)k+kfn(x0)−f (x0)k ≤ 3, (1.23) cio`e f `e continua in x0.

Osservazione Sia F un sottinsieme chiuso di Rne consideriamo l’insieme X = C([a, b], F ) delle funzioni continue su [a, b] a valori in F . Da quanto visto, segue facilmente che X, dotato della distanza d, `e uno spazio metrico completo.

Ritorniamo ora ad esaminare il problema di Cauchy (1.11).

Data f : A ⊂ Rn+1 → Rn, f = f (t, y) = f (t, y1, ..., yn), diamo la seguente definizione.

Definizione 1.18. f si dice lipschitziana in A rispetto a y uniforme- mente in t se

∃L > 0 : kf (t, y) − f (t, ˜y)k ≤ Lky − ˜yk, ∀(t, y), (t, ˜y) ∈ A. (1.24) Osserviamo che solo la variabile y = (y1, ..., yn) viene incrementata e che la costante L non dipende dalla variabile t, per questo si parla di Lipschitzianit`a rispetto a y uniformemente in t.

Definizione 1.19. f si dice localmente lipschitziana in A rispetto a y uniformemente in t se per ogni (t0, y0) ∈ A esiste un intorno U di (t0, y0), contenuto in A, tale che

∃L > 0 : kf (t, y) − f (t, ˜y)k ≤ Lky − ˜yk, ∀(t, y), (t, ˜y) ∈ U. (1.25) Dunque la costante L dipende sia dal punto (t0, y0) che dall’intorno U . Osservazione 1.20. La condizione (1.24) non implica la continuit`a di f in A.

Per convincersene basta considerare, nel caso n = 1, f (t, y) = h(t)y, con h : R → R limitata ma discontinua. E’ immediato verificare (1.24), ma f non `e continua.

Definizione 1.21. Diremo che f verifica le ipotesi di Lipschitz in A se i) f `e continua in A;

ii) f `e localmente lipschitziana in A rispetto a y uniformemente in t.

Proposizione 1.22. Se f verifica le ipotesi di Lipschitz in A, allora per ogni compatto K ⊂ A, esiste L = L(K) > 0 tale che

kf (t, y) − f (t, ˜y)k ≤ Lky − ˜yk, ∀(t, y), (t, ˜y) ∈ K. (1.26)

(10)

Omettiamo la dimostrazione della Proposizione 1.22.

Osservazione 1.23. Se f `e dotata di tutte le derivate parziali ∂y∂fi

j, per i, j = 1, ..., n, continue in A, allora la condizione ii) `e verificata. Sia infatti (t0, y0) ∈ A e sia U un intorno compatto e convesso di (t0, y0), contenuto in A (ad esempio una palla chiusa). Indichiamo con ∇yfi =

∂fi

∂y1, ...,∂y∂fi

n



il gradiente di fi rispetto alle sole y1, ..., yn. Applicando il teorema del valor medio a fi(t, ·), a t fissato, come funzione delle sole variabili y, si ha che per ogni (t, y), (t, ˜y) ∈ U , esiste un vettore ξ ∈ Rn, appartenente al segmento che unisce y a ˜y, tale che

fi(t, y) − fi(t, ˜y) = ∇yfi(t, ξ) · (y − ˜y), da cui

|fi(t, y) − fi(t, ˜y)| ≤ k∇yfi(t, ξ)k · ky − ˜yk ≤ Miky − ˜yk, dove Mi = maxUk∇yfik. Quindi si ha

kf (t, y) − f (t, ˜y)k ≤ Lky − ˜yk, ∀(t, y), (t, ˜y) ∈ U, dove L = (Pn

i=1Mi2)12.

In particolare, se f ∈ C1(A) le ipotesi di Lipschitz sono verificate.

Definizione 1.24. Sia g : [a, b] → Rn una funzione vettoriale continua, g = (g1, ..., gn). Definiamo

Z b a

g(t)dt =

Z b a

g1(t)dt, ..., Z b

a

gn(t)dt

 ,

ovvero il vettore le cui componenti sono gli integrali delle funzioni compo- nenti.

Lemma 1.25. Sia g : [a, b] → Rn continua. Allora

Z b a

g(t)dt

≤ Z b

a

kg(t)kdt (1.27)

Dimostrazione. Poniamo γi = Rg

a gi(t)dt, cos`ı che γ = (γ1, ..., γn) = Rb

ag(t)dt. Si ha, dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e per la linearit`a dell’integrale,

(11)

kγk2 =

n

X

i=1

γi2 =

n

X

i=1

γi Z b

a

gi(t)dt = Z b

a n

X

i=1

γigi(t)dt ≤

≤ Z b

a

kγkkg(t)kdt = kγk Z b

a

kg(t)kdt.

Se kγk > 0, basta dividere per kγk i due membri di questa disuguaglianza per avere la (1.27), se kγk = 0 la tesi `e banale.

 Lemma 1.26 (Lemma di Volterra). Sia f : A ⊂ Rn+1 → Rn continua in A, con A aperto. Si ha che una funzione y `e soluzione del problema di Cauchy (1.11) in un intervallo I se e solo se

i) y `e continua in I;

ii) (t, y(t)) ∈ A, ∀t ∈ I;

iii) y verifica la seguente equazione integrale di Volterra y(t) = y0 +

Z t t0

f (s, y(s))ds, ∀t ∈ I, (1.28)

dove Rt

t0f (s, y(s))ds = Rt

t0f1(s, y(s))ds, ...,Rt

t0fn(s, y(s))ds . Dimostrazione.

La funzione t 7→ f (t, y(t)) `e continua in I e quindi ivi integrabile. Inte- grando i due membri dell’equazione differenziale y0(s) = f (s, y(s)) tra t0 e t, per ogni t ∈ I, si ha

y(t) − y(t0) = Z t

t0

f (s, y(s))ds, ∀t ∈ I, Dalla condizione iniziale segue l’equazione di Volterra.

La funzione s 7→ f (s, y(s)) `e continua in I e quindi esistedtd  Rt

t0f (s, y(s))ds

= f (t, y(t)), per ogni t ∈ I. Dunque `e derivabile anche il primo membro dell’equazione di Volterra e si ha che esiste y0(t) = f (t, y(t)). Inoltre dall’equazione di Volterra si ha che y(t0) = y0.



(12)

Sia f : A ⊂ Rn+1 → Rn continua in A, con A aperto, e sia (t0, y0) ∈ A.

Essendo A aperto, esistono a > 0, b > 0 tali che il cilindro

Γ = Γa,b= {(t, y) ∈ Rn+1 : t0− a ≤ t ≤ t0+ a, ky − y0k ≤ b} =

= [t0− a, t0+ a] × Bb(y0) sia contenuto in A. Essendo kf k continua e Γ compatto, per il teorema di Weierstrass, essa ammette massimo su Γ:

M = max

(t,y)∈Γkf (t, y)k

Teorema 1.27 (Teorema di esistenza ed unicit`a “in piccolo”). Sia f : A ⊂ Rn+1 → Rn, con A aperto, verificante le ipotesi di Lipschitz in A.

Per ogni (t0, y0) ∈ A esiste un intorno I0 = [t0 − r0, t0 + r0] di t0 in cui

`

e definita una soluzione y = y(t) del problema di Cauchy (1.11), la quale, inoltre, assume i suoi valori in Bb(y0). Tale soluzione `e unica, nel senso che ogni altra soluzione di (1.11) definita in I0 coincide con y in I0. Pi`u precisamente r0 = min{a,Mb }, dove a, b, M sono stati introdotti sopra.

Osservazione 1.28. Si parla di teorema di esistenza ed unicit`a in piccolo perch`e

i) esso garantisce l’esistenza di una soluzione definita in un intorno di t0 che, in generale, `e strettamente contenuto nell’intervallo [t0 − a, t0 + a] tale che Γa,b ⊂ A.

ii) il teorema afferma l’unicit`a delle soluzioni in I0; se si hanno due soluzioni y e w definite su un intervallo J ⊃ I0, il teorema ci assicura soltanto che esse coincidono in I0.

Dimostrazione. Essendo Γ compatto, dalla Proposizione 1.22, segue che

∃L > 0 : kf (t, y) − f (t, ˜y)k ≤ Lky − ˜yk, ∀(t, y), (t, ˜y) ∈ Γ. (1.29) Per il Lemma di Volterra, y `e soluzione di (1.11) in I0se e solo se y `e continua in I0 e verifica ivi l’equazione integrale di Volterra

y(t) = y0+ Z t

t0

f (s, y(s))ds, ∀t ∈ I,

dove, naturalmente, rimane sottintesa la condizione (t, y(t)) ∈ A, per ogni t ∈ I0. Sia X = C(I0, Bb(y0)). Si noti che se una funzione y appartiene allo spazio X, allora il suo grafico `e contenuto in Γ. Definiamo

T : X → X y 7→ T y

(13)

dove

(T y)(t) = y0+ Z t

t0

f (s, y(s))ds, ∀t ∈ I0.

E’ una definizione ben posta. Infatti dal fatto che y ∈ X segue che (s, y(s)) ∈ Γ ⊂ A per ogni s ∈ I0 e quindi si pu`o definire f (s, y(s)). Inoltre T y `e continua, anzi `e di classe C1 in I0. Infine, dal Lemma 1.25,

k(T y)(t) − y0k =

Z t t0

f (s, y(s))ds

Z t t0

kf (s, y(s))kds

≤ M |t − t0| ≤ M r0 ≤ b.

Si ha che una funzione y ∈ X, ovvero una funzione continua in I0 a valori in Bb(y0) (il cui grafico `e quindi contenuto in Γ) `e soluzione del problema di Cauchy (1.11) se e solo se `e punto fisso di T . Perci`o il problema di Cauchy

`

e equivalente ad un problema di punto fisso.

Utilizzeremo il teorema delle contrazioni introducendo una metrica in X che lo renda completo e relativamente alla quale T sia una contrazione. Gi`a sappiamo che d rende X completo, accade per`o che se si lavora con d, per provare che T `e una contrazione, `e necessario restringere ulteriormente l’intervallo di esistenza della soluzione rispetto all’intervallo I0dell’enunciato.

Osserviamo che la propriet`a di essere punto fisso dipende dalla sola definizione di T , mentre la propriet`a di essere una contrazione dipende dalla scelta della metrica, quindi si pu`o cercare una metrica pi`u conveniente. A tale scopo con- sidereremo una distanza lievemente modificata dalla presenza di una “fun- zione peso”

p(t) = e−ρ|t−t0|,

dove ρ `e una qualunque costante verificante ρ > L. Definiamo d˜(y, w) = max

t∈I0

e−ρ|t−t0|ky(t) − w(t)k.

Valgono, similmente a quanto visto per d, le propriet`a di distanza ed inoltre e−ρr0d(y, w) ≤ ˜d(y, w) ≤ d(y, w). (1.30) Da questa doppia disuguaglianza segue che una successione yn `e di Cauchy relativamente alla distanza d se e solo se lo `e relativamente alla distanza d˜ e che yn `e convergente relativamente alla distanza d se e solo se lo `e relativamente alla distanza ˜d. Quindi dalla completezza di (X, d) segue che (X, ˜d) `e pure completo.

(14)

Vediamo ora che T : (X, ˜d) → (X, ˜d) `e una contrazione. Date y, w ∈ X, si ha

p(t)k(T y)(t) − (T w)(t)k = p(t)

Z t t0

f (s, y(s)) − f (s, w(s))ds

≤ p(t)

Z t t0

kf (s, y(s)) − f (s, w(s))kds

≤ Lp(t)

Z t t0

p(s)ky(s) − w(s)k 1 p(s)ds

≤ Lp(t) ˜d(y, w)

Z t t0

eρ|s−t0|ds

≤ L

ρ 1 − e−ρ|t−t0|d˜(y, w), da cui

(T y, T w) ≤ L ρ

(y, w).

Quindi T `e una contrazione ed esiste perci`o un’unica y ∈ X tale che T y = y, ovvero un’unica soluzione del problema di Cauchy (1.11) definita in I0 e a valori in Bb(y0). Rimane da verificare che non esiste un’altra soluzione di (1.11) definita in I0 che non verifichi la condizione di assumere i valori in Bb(y0). Supponiamo, per assurdo, che z sia una soluzione di (1.11) definita in I0 tale che z(I0) * Bb(y0). Sia, ad esempio, et ∈ I0,et > t0, tale che z(et) 6∈ Bb(y0). Dunque l’insieme S = {t > t0 : kz(t) − y0k > b} `e non vuoto. Sia t il suo estremo inferiore. Si ha allora che, per la continuit`a di z, kz(t) − y0k ≥ b. Inoltre, per ogni t ∈ [t0, t), z(t) ∈ Bb(y0) e quindi, sempre per la continuit`a di z, segue z(t) ∈ Bb(y0) e quindi t 6∈ S e t <et. Quindi (s, z(s)) ∈ Γ per ogni s ∈ [t0, t], kz(t) − y0k = b e t < t0 + r0. Si ha

z(t) − y0 = z(t) − z(t0) = Z t

t0

f (s, z(s))ds, da cui

kz(t) − y0k ≤ M (t− t0) < M r0 < b, da cui una contraddizione.

 Osservazione 1.29. La dimostrazione si basa sul teorema delle contrazioni, la cui dimostrazione `e di tipo costruttivo. Inoltre il teorema delle contrazioni fornisce anche un metodo per il calcolo approssimato della soluzione y(t).

Sappiamo infatti che se y0 ∈ X, la successione delle iterate yn = Tny0 con- verge al punto fisso y(t), soluzione del problema di Cauchy (1.11).

Scegliendo y0(t) ≡ y0, possiamo anche maggiorare l’errore con la formula (1.17):

(yn, y) ≤ L ρ

n

1 1 −Lρ

(y1, y0),

(15)

da cui, tenuto conto di (1.30) e osservando che d(y1, y0) ≤ M r0, si ha

maxt∈I0

kyn(t) − y(t)k = d(yn, y) ≤ eρr0(yn, y) ≤

≤ Ln ρ − L

eρr0

ρn−1d(y1, y0) ≤ M r0 Ln ρ − L

eρr0 ρn−1 Proposizione 1.30 (Regolarit`a delle soluzioni). Sia f : A ⊂ Rn+1 → Rn, continua su A aperto, e sia y(t) una soluzione dell’equazione differenziale y0 = f (t, y) in un intervallo I. Se f ∈ Ck(A) allora y ∈ Ck+1(I), k = 0, 1, ....

Se f ∈ C(A) allora y ∈ C(I).

Dimostrazione. Segue immediatemente per induzione.

Vogliamo ora migliorare il risultato di unicit`a ottenuto nel Teorema 1.27, che `e di carattere locale. Iniziamo con l’osservare che se y : I1 → Rn e w : I2 → Rn sono due soluzioni del problema di Cauchy (1.11), allora esiste un intorno di t0 in cui esse coincidono. Infatti, basta scegliere il cilindro Γa,b a cui applicare il teorema, avente semialtezza a sufficientemente piccola in modo che [t0− a, t0 + a] ⊂ I1∩ I2. Segue allora dal Teorema 1.27 che esiste un’unica soluzione di (1.11) in I0 = [t0 − r0, t0 + r0], con r0 ≤ a. Essendo entrambe le soluzioni y e w definite in I0, esse coincidono in tale intervallo.

Proviamo ora il seguente

Teorema 1.31 (Teorema di unicit`a globale). Sia f : A ⊂ Rn+1 → Rn, verificante le ipotesi di Lipschitz su A aperto, e siano y : I1 → Rn e w : I2 → Rn soluzioni del problema di Cauchy (1.11), con (t0, y0) ∈ A. Allora

y(t) = w(t), ∀t ∈ I1∩ I2,

ovvero due soluzioni dello stesso problema di Cauchy, in ipotesi di Lipschitz, coincidono nel comune intervallo di definizione.

Dimostrazione. Per definizione di soluzione, I1∩I2`e un intervallo avente t0 come punto interno. Supponiamo, per assurdo, che esista t1 ∈ I1∩ I2 tale che y(t1) 6= w(t1) e, per fissare le idee, sia t1 > t0. Sia

t = inf{t ∈ (t0, t1] | y(t) 6= w(t)}.

Tale insieme `e certamente non vuoto perch`e contiene t1 (e, per il teorema di permanenza del segno applicato alla funzione ky(t) − w(t)k, contiene anche

(16)

un intorno sinistro di t1, da cui t < t1). Per ogni t ∈ [t0, t), si ha che (y − w)(t) = 0, e dunque, per la continuit`a di y e w, y(t) = w(t) = y e (t, y) ∈ A per definizione di soluzione. Ora, y e w sono soluzioni del problema di Cauchy di punto iniziale (t, y) in un intorno di t. Per quanto osservato sopra, esse devono coincidere in un intorno di t, contraddicendo la definizione di t.

 Il significato geometrico di tale teorema `e che, in ipotesi di Lipschitz, i grafici di due soluzioni dell’equazione differenziale y0 = f (t, y) non si possono intersecare, a meno che le due soluzioni non coincidano nel comune intervallo di definizione. In altri termini, per due soluzioni dello stesso problema di Cauchy l’unica eventuale differenza sta nell’intervallo in cui sono definite.

Il Teorema 1.27 garantisce l’esistenza della soluzione del problema di Cauchy (1.11) in un intervallo I0 = [t0−r0, t0+r0], in realt`a tale soluzione pu`o essere prolungata ad un intervallo pi`u ampio. Infatti, posto P1 = (t1, y1) = (t0 + r0, y(t0+ r0)) ∈ A, essendo A aperto si pu`o considerare un cilindro Γ1 di centro P1 e tutto contenuto in A. Allora il problema di Cauchy

 y0 = f (t, y(t)), y(t1) = y1,

ha una soluzione y1 definita in un intorno [t1− r1, t1+ r1] di t1. La funzione z(t) = y(t), t0 ≤ t ≤ t1,

y1(t), t1 ≤ t ≤ t1+ r1,

`

e continua in t1 ed inoltre `e derivabile e verifica l’equazione differenziale z0 = f (t, z) per ogni t ∈ [t0, t1) ∪ (t1, t1+ r1]. Per la continuit`a di z in t1 si ha che esiste limt→t1z0(t) = limt→t1f (t, z(t)) = f (t1, z(t1)). Per un classico risultato del calcolo differenziale per funzioni di una variabile, si ha che esiste z0(t1) = limt→t1z0(t) = f (t1, z(t1)), quindi z `e soluzione dell’equazione differenziale z0 = f (t, z) in [t0, t1+ r1]. Essa prolunga la soluzione y fornita dal Teorema 1.27. Si pu`o ripetere questo procedimento a partire da P2 = (t2, y2) = (t1 + r1, y1(t1 + r1)), e cos`ı via, ottenendo una successione di punti Pn e prolungando ad ogni passo la soluzione a destra senza porre mai termine al processo. Similmente, si pu`o prolungare la soluzione a sinistra.

Definiamo

I+ = {t > t0 | la soluzione y(t) di (1.11) `e prolungabile in [t0, t]}, T+ = sup I+.

I+`e ovviamente un intervallo, eventualmente superiormente illimitato e si ha T+ > t0. Verifichiamo che T+6∈ I+. Se T+ = +∞, la tesi `e ovvia, sia quindi

(17)

T+ ∈ R. Se, per assurdo, T+ ∈ I+la soluzione sarebbe definita sull’intervallo [t0, T+] e, per quanto osservato sopra, sarebbe prolungabile a destra, contrad- dicendo la definizione di T+. Similmente si definiscono I e T e si prova che T 6∈ I. L’intervallo aperto, eventualmente illimitato, IM = (T, T+)

`

e detto intervallo massimale e la soluzione di (1.11) definita in IM `e detta soluzione massimale, in quanto non ulteriormente prolungabile. Quindi in ipotesi di Lipschitz ogni problema di Cauchy ha una e una sola soluzione massimale.

Similmente, data una soluzione di una equazione differenziale (in ipotesi di Lipschitz) si pu`o pensare di prolungarla scegliendo un punto del suo grafico come punto iniziale di un problema di Cauchy. Analogamente, `e detta soluzione massimale dell’equazione differenziale una soluzione non ul- teriormente prolungabile.

Esempio 1.32. Consideriamo il problema di Cauchy

 y0 = y2 + 1,

y(0) = 0. (1.31)

Sono verificate le ipotesi di Lipschitz su A = R2. Ci aspetteremmo che la soluzione massimale sia definita su tutto R dato che possiamo scegliere il cilindro Γa,bcon a, b grandi a piacere. Invece si verifica subito che la funzione y = tan t, t ∈ (−π2,π2), `e soluzione di (1.31), ed `e ovviamente non prolungabile al di fuori di tale intervallo. Quello che accade `e che il grafico della soluzione esce attraverso le pareti laterali dei cilindri che man mano si considerano nel processo di prolungamento descritto sopra, intuitiamente ci`o si spiega osservando che la pendenza y0(t) cresce velocemente (in modo quadratico) al crescere di y(t).

Per ottenere un risultato di esistenza pi`u soddisfacente, dovremo fare ulteriori ipotesi. Ci servir`a in particolare il seguente risultato, che non di- mostriamo.

Teorema 1.33 (Teorema di uscita delle soluzioni dal compatto).

Sia f : A ⊂ Rn+1 → Rn, verificante le ipotesi di Lipschitz su A aperto, e sia y(t) una soluzione massimale dell’equazione differenziale y0 = f (t, y) nell’ intervallo massimale IM = (T, T+). Sia T+ < +∞. Allora per ogni compatto K ⊂ A, esiste δ > 0 tale che (t, y(t)) 6∈ K, per ogni t ∈ (T+−δ, T+).

Similmente, se T > −∞, per ogni compatto K ⊂ A, esiste δ > 0 tale che (t, y(t)) 6∈ K, per ogni t ∈ (T, T+ δ).

Lemma 1.34 (Lemma di Gronwall). Sia u : I ⊂ R → R una funzione continua definita nell’intervallo I e sia u(x) ≥ 0 per ogni x ∈ I. Supponiamo

(18)

che esistano costanti M ≥ 0, L ≥ 0 e un punto x0 ∈ I tali che u(x) ≤ M + L

Z x x0

u(t)dt

, ∀x ∈ I. (1.32)

Allora

u(x) ≤ M eL|x−x0|, ∀x ∈ I. (1.33) Dimostrazione. Se L = 0 la tesi `e ovvia. Sia quindi L > 0 e osserviamo che la tesi `e ovvia se x = x0. Supponiamo allora, per fissare le idee, che sia x > x0. Per ogni t ∈ (x0, x) si ha, per ipotesi, u(t) ≤ M + LRt

x0u(s)ds.

Moltiplicando i due membri di questa disuguaglianza per e−L(t−x0) si ha u(t)e−L(t−x0) ≤ M e−L(t−x0)+ e−L(t−x0)L

Z t x0

u(s)ds, da cui

d dt



e−L(t−x0) Z t

x0

u(s)ds



≤ M e−L(t−x0). Integrando i due membri tra x0 e x, si ha

e−L(x−x0) Z x

x0

u(s)ds ≤ −M

Le−L(x−x0)+M L. Moltiplicando i due membri per LeL(x−x0), si ha infine

u(x) ≤ L Z x

x0

u(s)ds + M ≤ M eL(x−x0).

Calcoli analoghi si possono fare nel caso x < x0.  Teorema 1.35 (Teorema di esistenza globale). Sia f verificante le ipotesi di Lipschitz sulla striscia A = I × Rn, con I un intervallo aperto, eventualmente illimitato. Supponiamo che per ogni compatto K ⊂ I esistano K1, K2 ≥ 0 tali che

kf (t, y)k ≤ K1+ K2kyk, ∀t ∈ K, ∀y ∈ Rn. (1.34) Allora, per ogni (t0, y0) ∈ A (⇔ ∀t0 ∈ I, ∀y0 ∈ Rn), il problema di Cauchy (1.11) ha un’unica soluzione massimale definita in I.

Osservazione 1.36.

(19)

1) La tesi si pu`o esprimere equivalentemente dicendo che la soluzione di (1.11)

`

e prolungabile a tutto I, oppure che ogni soluzione dell’equazione differenziale y0 = f (t, y) `e prolungabile a tutto I. Vista la struttura di A = I × Rn, I `e il massimo intervallo nel quale abbia senso definire una soluzione, per questo motivo si parla di esistenza globale.

2) Per n = 1, la condizione (1.34) diventa

−K1− K2|y| ≤ f (t, y) ≤ K1+ K2|y|, ∀t ∈ K, ∀y ∈ R

ovvero, a t fissato, la crescita di f (t, ·) `e sottolineare. La condizione (1.34) `e detta ipotesi di sottolinearit`a.

Dimostrazione. Sia I = (a, b), eventualmente a = −∞ e/o b = +∞.

Sia y(t) la soluzione massimale di (1.11) e sia IM = (T, T+) il suo intervallo (massimale) di definizione. Proviamo, ad esempio, che T+ = b. Sia, per assurdo, T+ < b, dunque T+ ∈ R. Consideriamo il compatto K = [t0, T+] ⊂ I. Per l’ipotesi (1.34) esistono K1, K2 ≥ 0 tali che

kf (t, y)k ≤ K1+ K2kyk, ∀t ∈ [t0, T+], ∀y ∈ Rn. (1.35) Ricordando l’equazione integrale di Volterra, il Lemma 1.25, e da (1.35), si ha che, per ogni t ∈ [t0, T+),

ky(t)k ≤ ky0k +

Z t t0

f (s, y(s))ds

≤ ky0k + Z t

t0

kf (s, y(s))kds ≤

≤ ky0k + Z t

t0

K1+ K2ky(s)kds = ky0k + K1(t − t0) + K2 Z t

t0

ky(s)kds ≤

≤ ky0k + K1(T+− t0) + K2 Z t

t0

ky(s)kds.

Applicando il Lemma di Gronwall a u(t) = ky(t)k, si ha

ky(t)k ≤ M eL(t−t0) ≤ M eL(T+−t0), ∀t ∈ [t0, T+),

dove M = ky0k + K1(T+− t0), L = K2. Consideriamo il compatto K0 = [t0, T+]×BN(0) ⊂ I ×Rn= A, con N = M eL(T+−t0). Si ha che gr y|[t0,T+) ⊂ K0, contraddicendo il Teorema 1.33. Quindi abbiamo provato che T+ = b.

Similmente, si prova che T = a.

 Osservazione 1.37. Siano sottintese le ipotesi di Lipschitz in A = I × Rn. Le ipotesi di sottolinearit`a sono, in particolare, verificate in ciascuno dei seguenti casi:

(20)

i) Per ogni compatto K ⊂ I, f `e limitata in K × Rn.

ii) Per ogni compatto K ⊂ I, f `e lipschitziana in y uniformemente in t in K × Rn, cio`e esiste L > 0 tale che

kf (t, y) − f (t,ey)k ≤ Lky −eyk, ∀t ∈ K, ∀y,ey ∈ Rn. Infatti, scelto ey = 0, si ha

kf (t, y)k ≤ kf (t, y) − f (t, 0)k + kf (t, 0)k ≤ Lkyk + kf (t, 0)k ≤

≤ Lkyk + M, ∀t ∈ K, ∀y ∈ Rn, dove M = maxt∈Kkf (t, 0)k.

iii) Sono definite e continue in A tutte le derivate parziali ∂f∂yi

j, per i, j = 1, ..., n, e, per ogni compatto K ⊂ I, esse sono limitate in K × Rn.

Sia infatti M > 0 tale che k∇fi(t, y)k ≤ M , per ogni t ∈ K, per ogni y ∈ Rn, e per ogni i = 1, ..., n. Applicando il teorema del valor medio a fi(t, ·), a t fissato, come funzione delle sole variabili y, si ha che per ogni (t, y), (t, ˜y) ∈ K × Rn, esiste un vettore ξ ∈ Rn, appartenente al segmento che unisce y a ˜y, tale che

fi(t, y) − fi(t, ˜y) = ∇yfi(t, ξ) · (y − ˜y), da cui

|fi(t, y) − fi(t, ˜y)| ≤ k∇yfi(t, ξ)k · ky − ˜yk ≤ M ky − ˜yk, kf (t, y) − f (t, ˜y)k ≤ M√

nky − ˜yk, ∀(t, y), (t, ˜y) ∈ K × Rn, per cui ci siamo risondotti al caso ii).

Finora abbiamo trattato le questioni dell’esistenza e dell’unicit`a per il problema di Cauchy (1.11). Il terzo aspetto in ordine di importanza `e la sta- bilit`a ovvero la dipendenza continua dai dati iniziali. Precisamente, ci poniamo il seguente problema: quanto `e sensibile la soluzione y(t) a pertur- bazioni dei dati iniziali t0 e y0? A piccole variazioni dei dati corrispondono piccole variazioni della soluzione? E se s`ı, come lo quantifichiamo? La que- stione `e molto importante per le applicazioni perch`e le misurazioni sono di solito affette da errori.

Esempio 1.38. Consideriamo i seguenti problemi di Cauchy

 y0 = ty,

y(0) = 0, (1.36)

(21)

 y0 = ty,

y(0) = y0, (1.37)

con y0 6= 0.

E’ immediato verificare che y ≡ 0 `e la soluzione massimale di (1.36), mentre y(t) = y0et22 `e la soluzione massimale di (1.37). Per quanto vicino a 0 sia il valore di y0, le due soluzioni non sono globalmente vicine, anzi i loro grafici divergono per t → ∞. Questo esempio fa capire che si pu`o sperare di ottenere un risultato di dipendenza continua dai dati iniziali solo in un intorno del punto iniziale, infatti il problema della stabilit`a trover`a soluzione solo in termini locali.

Teorema 1.39 (Teorema di dipendenza continua dai dati iniziali).

Sia f : A ⊂ Rn+1 → Rn, verificante le ipotesi di Lipschitz sull’aperto A.

Siano (t1, y1), (t2, y2) ∈ A e siano y : I1 → Rn e w : I2 → Rn soluzioni rspettivamente dei seguenti problemi di Cauchy

 y0 = f (t, y),

y(t1) = y1, (1.38)

 y0 = f (t, y),

y(t2) = y2. (1.39)

Sia J = [α, β] un intervallo chiuso e limitato tale che J ⊂ I1 ∩ I2 e sia K un compatto contenente gr(y|J) ∪ gr(w|J) e contenuto in A. Sia M = max(t,y)∈Kkf (t, y)k, e, in base alla Proposizione 1.22, sia L > 0 tale che

kf (t, y) − f (t,y)k ≤ Lky −e yk,e ∀(t, y), (t,y) ∈ K.e Allora

ky(t) − w(t)k ≤ (ky1− y2k + M |t1− t2|)eL|t−t1|, ∀t ∈ J. (1.40) Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che il teorema `e significativo solo se I1∩I2 6= ∅. In tal caso si pu`o scegliere ad esempio K = gr(y|J)∪gr(w|J).

Per ogni t ∈ J si ha

y(t) = y1+ Z t

t1

f (s, y(s))ds,

w(t) = y2+ Z t

t2

f (s, w(s))ds = y2+ Z t

t1

f (s, w(s))ds + Z t1

t2

f (s, w(s))ds,

(22)

da cui

ky(t)−w(t)k ≤ ky1−y2k+

Z t t1

f (s, y(s)) − f (s, w(s))ds

+

Z t2

t1

f (s, w(s))ds

≤ ky1− y2k + M |t2− t1| +

Z t t1

Lky(s) − w(s)kds . Applicando il Lemma di Gronwall alla funzione ky(t) − w(t)k, si ha la (1.40).



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