La Sapienza, Universit`a di Roma Ingegneria Clinica Esame di Fisica (I modulo) - 17 Settembre 2008

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Ingegneria Clinica

Esame di Fisica (I modulo) - 17 Settembre 2008

1

Una palla `e poggiata a terra ad una distanza d=10m da un muro di altezza h=5m. Determinare modulo e direzione della velocit`a ~ v

con cui bisogna calciare la palla perch`e oltrepassi il muro nel punto pi` u alto della sua traiettoria.

2

Si consideri un pendolo semplice di massa m = 1kg. All’istante iniziale il pendolo `e inclinato di θ

=60

rispetto alla verticale. Calcolare la massima tensione T

che la corda deve poter sopportare per non rompersi durante il moto.

3

Un proiettile di massa m=0.5kg viaggia a velocit`a ~v parallela al terreno quando si conficca in un massa M=3kg ferma, poggiata su un piano ruvido con coefficiente di attrito dinamico µ

= 0.3 e vincolata ad una molla ideale di costante elastica k = 2N/m. Sapendo che la molla si comprime al massimo di ∆ℓ

= 50cm, calcolare il modulo della velocit`a iniziale della massa m.

4

Un disco di massa M = 1kg e raggio R = 50cm `e fissato ad una parete mediante un piolo posto nel suo centro C; all’estremit`a `e saldato una corpo puntiforme di massa m = M/2. Il sistema pu`o ruotare senza attrito intorno al piolo. Calcolare (i) la posizione del centro di massa del sistema, (ii) il momento di inerzia I

rispetto al centro del disco .

C

5

Una ruota circolare di raggio R rotola senza strisciare su un piano inclinato di alzo α = 30

ed altezza h = 15m, come indicato in figura. Se la ruota parte a velocit`a nulla dall’estremit`a superiore (profilo continuo), calcolare (i) dopo quanto tempo ∆t la ruota ha percorso met`a del piano (profilo tratteggiato) e (ii) quale `e la velocit`a v

del suo centro di massa in quel punto.

α

h

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Esame di Fisica (I modulo) - 17 Settembre 2008 Soluzioni

1

Imponendo che la traiettoria parabolica abbia come vertice il punto (d, h), sia v

il modulo della velocit`a e θ il suo angolo rispetto al terreno:

d = v

g sin θ cos θ, h = v

2g sin θ

→ θ = arctan  2h d



= 45

, v

=

√ 2gh

sin θ = 14m/s 2

Dal secondo principio, essendo θ l’angolo del pendolo con la verticale, la tensine T `e T (θ) = m v

ℓ + mg cos θ con ℓ la lunghezza del pendolo.

La tensione `e massima nel punto di minima altezza, dove

θ = 0, v = v

= p2gℓ (1 − cos θ

) e quindi T

= mg [1 + 2 (1 − cos θ

)] = 19.6N.

3

In seguito all’urto completamente anelastico, la massa M + m ha velocit`a V = m/(M + m)v.

La variazione di energia meccanica fra quando la massa M + m comincia a muoversi (istante t

) e quando la molla arriva alla massima compressione ∆ℓ

arrestandosi (istante t

) vale

E (t

) − E (t

) = L

= −µ

(M + m)g∆ℓ

con E (t

) = 1

2 k∆ℓ

e E (t

) = 1

2 (M + m)V

.

v = s

2 m + M m

 1

2 k∆ℓ

+ µ

(M + m)g∆ℓ



= 12.3m/s

4

Il centro di massa del sistema si trova nella congiungente il centro del disco e la massa puntiforme a distanza d dal centro del disco,

d = mR

m + M = R

3 = 16.7cm.

I

= I

+ mR

= MR

2 + mR

=



m + M 2



R

= 0.25kg m

.

5

Dalle equazioni cardinali, considerando la condizione di puro rotolamento, I

= MR

/2 ed essendo a

l’accelerazione del centro di massa,

Mg sin α =



M + I

R



a

→ a

= 2

3 g sin α.

La ruota percorre una lunghezza h/2 sin α e quindi h

2 sin α = 1

2 a

∆t

→ ∆t = 1 sin α

s 3h

2g = 3.0s.

Considerando la condizione di puro rotolamento, dalla conservazione dell’energia si ottiene:

∆T = 1 2



M + I

R



v

= ∆U = Mgh/2 → v

= r 2

3 gh = 9.9m/s

2