A = {(x, y) ∈ R
2: 2 √
x ≤ y ≤ 3 √ x , √
y ≤ x ≤ 2 √ y} . Inoltre verificare che vale
Z Z
A
xy dxdy = 15 · 65
12 . L’insieme A ` e connesso? s`ı — no.
Risposta: area:
Suggerimento: usare un opportuno cambio di variabili.
(2) Dopo aver disegnato il seguente sottinsieme di C
D = {z ∈ C : |z + 3i − 2| ≤ 5 , |z + 2 − i| ≥ 3}
detta ∂D la sua frontiera, calcolare Z
∂D
1
(z
2+ 4)(z
2+ 2iz − 2) dz dove ∂D viene percorsa in senso antiorario.
Risposta: integrale:
(3) Risolvi il seguente problema di Cauchy specificando l’intervallo su cui resta definita la soluzione.
y
00+ y = sin x
cos
2x , y(π) = 1 , y
0(π) = 1 Risposta: y(x) =
definita su (4) Data la funzione
f (x, y) =
(x
2+ 1)(y
2− 2) − (y
2− 1)(x
2+ 2) − 2x
2y
2x
2+ y
2(x, y) 6= (0, 0)
A = {(x, y) ∈ R : 2x ≤ y ≤ 3x , 3y ≤ x ≤ 4y } . Inoltre verificare che vale
Z Z
A
xy dxdy = 35
3(12)
4. L’insieme A ` e connesso? s`ı — no.
Risposta: area:
Suggerimento: usare un opportuno cambio di variabili.
(2) Dopo aver disegnato il seguente sottinsieme di C
D = {z ∈ C : |z − 2 − 4i| ≤ 6 , |z + 2| ≥ 3}
detta ∂D la sua frontiera, calcolare Z
∂D
1
(z
2+ 16)(z
2− 4iz − 8) dz dove ∂D viene percorsa in senso antiorario.
Risposta: integrale:
(3) Risolvi il seguente problema di Cauchy specificando l’intervallo su cui resta definita la soluzione.
y
00+ y = 1
cos
3x , y(−π) = 0 , y
0(−π) = 3 Risposta: y(x) =
definita su (4) Data la funzione
f (x, y) =
(x
2+ 5)(y
2− 1) − (x
2+ 1)(y
2− 5) + 3x
2y
2x
2+ y
2(x, y) 6= (0, 0)
A = {(x, y) ∈ R
2: √
x/2 ≤ y ≤ √ x , √
y ≤ x ≤ 2 √ y} . Inoltre verificare che vale
Z Z
A
xy dxdy = 15 · 15
12 · 16 . L’insieme A ` e connesso? s`ı — no.
Risposta: area:
Suggerimento: usare un opportuno cambio di variabili.
(2) Dopo aver disegnato il seguente sottinsieme di C
D = {z ∈ C : |z − 2 − 2i| ≤ 4 , |z + i − 2| ≥ 3}
detta ∂D la sua frontiera, calcolare Z
∂D
1
(z
2+ 4)(z
2− 2iz − 2) dz dove ∂D viene percorsa in senso antiorario.
Risposta: integrale:
(3) Risolvi il seguente problema di Cauchy specificando l’intervallo su cui resta definita la soluzione.
y
00+ y = 1
cos x , y(π) = 2 , y
0(π) = 2π Risposta: y(x) =
definita su (4) Data la funzione
f (x, y) =
(y
2+ 3)(x
2− 2) − (x
2− 3)(y
2+ 2) − 3x
2y
2x
2+ y
2(x, y) 6= (0, 0)
A = {(x, y) ∈ R : x ≤ y ≤ 2x , 2y ≤ x ≤ 3y } . Inoltre verificare che vale
Z Z
A
xy dxdy = 5
(24)
2. L’insieme A ` e connesso? s`ı — no.
Risposta: area:
Suggerimento: usare un opportuno cambio di variabili.
(2) Dopo aver disegnato il seguente sottinsieme di C
D = {z ∈ C : |z − 3 − 2i| ≥ 4 , |z + 1 + 3i| ≤ 4}
detta ∂D la sua frontiera, calcolare Z
∂D
1
(z
2+ 4)(z
2+ 2iz − 2) dz dove ∂D viene percorsa in senso antiorario.
Risposta: integrale:
(3) Risolvi il seguente problema di Cauchy specificando l’intervallo su cui resta definita la soluzione.
y
00+ y = sin x
cos
2x , y(−π) = π , y
0(−π) = π Risposta: y(x) =
definita su (4) Data la funzione
f (x, y) =
(x
2+ 3)(y
2− 4) − (y
2− 3)(x
2+ 4) − x
2y
2x
2+ y
2(x, y) 6= (0, 0)
A = {(x, y) ∈ R
2: √
x/2 ≤ y ≤ √ x , 2 √
y ≤ x ≤ 3 √ y} . Inoltre verificare che vale
Z Z
A
xy dxdy = 15 · 65
12 · 16 . L’insieme A ` e connesso? s`ı — no.
Risposta: area:
Suggerimento: usare un opportuno cambio di variabili.
(2) Dopo aver disegnato il seguente sottinsieme di C
D = {z ∈ C : |z − i| ≤ 4 , |z + 2i − 4| ≥ 6}
detta ∂D la sua frontiera, calcolare Z
∂D
1
(z
2+ 16)(z
2− 4iz − 8) dz dove ∂D viene percorsa in senso antiorario.
Risposta: integrale:
(3) Risolvi il seguente problema di Cauchy specificando l’intervallo su cui resta definita la soluzione.
y
00+ y = 1
cos
3x , y(π) = 1 , y
0(π) = 3 Risposta: y(x) =
definita su (4) Data la funzione
f (x, y) =
(x
2− 1)(y
2+ 3) − (y
2+ 1)(x
2− 3) + 2x
2y
2x
2+ y
2(x, y) 6= (0, 0)
A = {(x, y) ∈ R : x ≤ y ≤ 2x , 3y ≤ x ≤ 4y } . Inoltre verificare che vale
Z Z
A
xy dxdy = 21
4(12)
3. L’insieme A ` e connesso? s`ı — no.
Risposta: area:
Suggerimento: usare un opportuno cambio di variabili.
(2) Dopo aver disegnato il seguente sottinsieme di C
D = {z ∈ C : |z − 2 − 3i| ≤ 4 , |z + 2 + i| ≥ 3}
detta ∂D la sua frontiera, calcolare Z
∂D
