Dipartimento Diten - Dsa
Corso di Studi Anno di
corso/semestre
Laurea triennale in Ingegneria Nautica
2013-2014/ II semestre
Denominazione insegnamento Codice insegnamento
GEOMETRIA 56975
Crediti formativi insegnamento Settore scientifico disciplinare
6 MAT/03 Tipo insegnamento
Docente titolare
monodisciplinare Canonero Gabriella
Obiettivi formativi
L’insegnamento si propone di fornire le nozioni basilari di algebra lineare e di geometria analitica , con particolare riguardo al calcolo matriciale , agli spazi vettoriali, ala risoluzione di sistemi lineari e di problemi di geometria analitica nello spazio
Programma
Insiemi numerici. Strutture algebriche. Q ed R corpi.
Numeri complessi. Forma algebrica. Parte reale e parte immaginaria. Rappresentazione nel piano di Argand- Gauss. Somma e prodotto. Elemento neutro per la somma e per il prodotto. Opposto . Reciproco di numero non nullo. Coniugato. Modulo. Argomento. Forma trigonometrica. Prodotto di due numeri complessi in forma trigonometrica.
Il caso z reale: modulo coincidente con valore assoluto, coniugato coincidente con z stesso, argomento uguale a 0 o π a. Formula di De Moivre.
Potenza di un numero complesso. Polinomi. Somma e prodotto di polinomi. Grado di un polinomio, della somma e del prodotto. Teorema di divisibilità dei polinomi. Teorema di Ruffini (con dimostrazione). Teorema fondamentale dell’Algebra.
Molteplicità delle radici. Considerazioni sul coniugio. Equazione algebrica a coefficienti reali. Radici di un numero complesso. Rappresentazione nel piano di Argand-Gauss. Osservazioni sulla rappresentazione di z non nullo, del suo coniugato, del suo reciproco, della sua potenza n-esima, delle sue radici n-esime. Fattorizzazione di un polinomio.
Funzione esponenziale ad esponente complesso. Formula di Eulero. Forma esponenziale di un numero complesso.
Spazi vettoriali V su un campo K. Combinazioni lineari. Sottospazio vettoriale. I sottospazi di V sono K-spazi vettoriali. Vettori linearmente dipendenti. Definizione di L(S), S sottoinsieme di V. Verifica che L(S) è un sottospazio vettoriale di V. Sistema di generatori. Insieme libero. Basi di V.
Spazi finitamente generati. Dipendenze lineari e proprietà. Sistemi di generatori e proprietà. Dimensione di uno spazio vettoriale. Legame tra la dimensione, il numero di elementi di un sistema di generatori, il numero di elementi di un insieme libero.
Coordinate di un vettore rispetto ad una base.
Ogni sistema di generatori contiene una base. Metodo degli scarti successivi.
Completamento a base di un insieme libero
Lo spazio vettoriale delle matrici di tipo (m,n) a coefficienti in un campo K. Definizioni di matrice trasposta, matrice quadrata, simmetrica, triangolare superiore, triangolare superiore, matrice diagonale, matrice identica, sottomatrice, minore, minore principale.
Prodotto righe per colonne. Alcune proprietà del prodotto. Matrice inversa e matrici invertibili. Proprietà dell’inversa.
Prodotto di matrici invertibili. La trasposta dell’inversa è l’inversa della trasposta. L’inversa di una matrice simmetrica invertibile è simmetrica. Sistemi lineari. Sistemi lineari omogenei. Soluzioni. Metodo di riduzione di Gauss. Caratteristica o rango di una matrice. Teorema di Ruché Capelli. Numero di soluzioni. Definizione di determinante di una matrice quadrata. Esempi.
Proprietà del determinante. Primo e secondo teorema di Laplace. Un altro procedimento per il calcolo della matrice inversa. Regola di Cramer. Soluzioni di un sistema omogeneo 2 equazioni, tre incognite, con matrice di caratteristica 2. Calcolo della caratteristica di una matrice. Regola di Kronecker.
Vettori geometrici dello spazio. Modulo di un vettore. Versori. P e Q sono allineati con O se e solo se hanno coordinate proporzionali. Prodotto scalare. Equazione vettoriale di una retta. Equazioni parametriche di una retta. Equazione di un piano. Rappresentazione parametrica di un piano. Rappresentazione cartesiana di una retta. Equazioni degli assi coordinati e dei piani coordinati. Intersezione retta-piano e retta-retta. Fascio di piani.
Prodotto vettoriale. Sue proprietà Prodotto misto. Sue proprietà.
Equazione del piano per tre punti in vari modi.
Proiezione di un punto su un piano e su una retta
Distanza punto piano (dimostrazione formula) e punto retta.
Piano per P e parallelo ad una retta. Varie considerazioni algebriche e geometriche.
Fascio di piani. Proiezione ortogonale di retta su piano. Stesso esercizio con l’utilizzo delle equazioni parametriche.
Sfera. Cerchio su sfera. Piano tangente alla sfera in P Piano passante per una retta e distante k da P.
Piano tangente alla sfera e parallelo ad un piano assegnato. Piani tangenti ad una sfera passanti per una retta assegnata.
Attività didattiche Ore previste
Lezione 30
Esercitazione 30
Organizzazione del corso e modalità d’esame
Lezioni frontali con discussione di quesiti, esercizi e problemi nel corso di esercitazioni.
L’esame consiste in una prova scritta e in una prova orale.
Propedeuticità Nessuna
Bibliografia Utile per il precorso:
P. Boieri – G. Chiti, Precorso di Matematica, Zanichelli.
Testi di riferimento per il corso:
R. Adams, Calcolo differenziale 1, Casa Editrice Ambrosiana
E. Casazza – D. Gallarati, Geometria con elementi di calcolo numerico, Ecig D. Gallarati, Esercizi di Geometria, Ecig
Altri testi consigliati:
F. Odetti – E. Raimondo, Geometria, Ecig
F. Parodi – T. Zolezzi, Appunti di Analisi Matematica per il corso di Diploma, C.L.U S. Salsa – A. Squellati, Esercizi di Matematica, Zanichelli
D. Gallarati – E. Valenti, Esercizi di Matematica, Ecig
