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Elettromagnetismo

E lo studio deli fenomeni collegati alle cariche elettriche in quiete o in ` movimento

Alcuni fenomeni sono stati osservati fin dall’antichit` a sull’ambra (electron) e su materiali provenienti da una cava vicina alla citt` a di Magnesia

Le forze che tengono insieme gli atomi e le molecole

Protoni ed elettroni si attraggono e si legano a formare atomi Le applicazioni sono tantissime: luce elettrica, forno a microonde, cellulari, radio e televisione

In medicina: radiografie, risonanza magnetica, PET e vari strumenti di diagnosi

Radioterapia e adroterapia per i tumori, laser per la chirurgia

Outline

Inizialmente si studia l’interazione di cariche puntiformi Si introduce quindi il campo elettrico

Poi le distribuzioni di carica superficiali e volumetriche

Per semplificare i problemi con elevata simmetria e per alcuni risultati teorici, si usano il concetto di flusso ed il teorema di Gauss

Con questo si possono studiare i conduttori, ed i condensatori in particolare

Si vede che il campo elettrico porta energia

Si studiano i dipoli, che sono i ”mattoni” elementari utili per capire

gli isolanti

Atomi

Sono costituiti da un nucleo fatto da cariche positive e neutre (protoni e neutroni) e da particelle pi` u esterne negative (elettroni) Protoni e neutroni hanno massa quasi 2000 volte pi` u grande degli elettroni

Protoni e neutroni sono tenuti insieme dalle interazioni nucleari forti Gli elettroni si possono pensare come fossero pianeti che girano attorno al nucleo

La loro forza centripeta ` e data dall’attrazione elettrica tra protone ed

elettrone

Quantizzazione e conservazione della carica elettrica

La carica elettrica ` e quantizzata: le cariche pi` u piccole misurate sono quelle del protone, positiva, indicata con +e e quelal dell’elettrone, negativa, indicata con −e; queste sono tra loro opposte. Tutte le altre cariche osservate sono multiple di queste

I quark, se esistono, hanno carica ± ² ₃ e oppure ± ¹ ₃ e, ma queste non sono mai state osservate da sole

La carica elettrica totale di ogni reazione ` e conservata: non si sono mai osservate sparizioni o creazioni di carica elettrica, neppure quando la materia si trasforma in energia.

materia e antimateria devono avere cariche elettriche opposte,

altrimenti non si potrebbero annichilare

Densit` a di carica

Spesso conviene trattare la carica come un continuo, anche se so che

`

e quantizzata.

Si pu` o distribuire sulla superficie, quindi posso definire la carica per unit` a di superficie come

σ = P

i q _i S σ ` e la densit´ a di carica superficiale questo avviene di solito sui conduttori si pu` o distribuire nello spazio, dove ho

ρ = P

i q _i

V

ρ ` e la densit` a di carica volumetrica

Forza tra cariche

Sperimentalmente trovo che la forza tra protone ed elettrone` e attrattiva e vale

F = k r ² k vale 2.308 · 10 ⁻²⁸ N · m ²

La forza tra due protoni e tra due elettroni ` e la stessa in modulo ma opposta in verso, quindi ` e repulsiva

La forza che agisce tra due cariche qualsiasi ` e proprzionale a ciascuna delle cariche

l’unit` a di misura della carica nel SI ` e il Coulomb ed ` e tale che la carica del protone vale

e = 1.6022 · 10 ⁻¹⁹ C

Quando si dice che su di un corpo ` e presente una certa carica elettrica,

significa che quella ` e la differenza tra carica positiva e negativa

Campi

Come si trasmette la forza?

La meccanica quantistica relativistica stabilisce che avviene scambiando particelle

Nella fisica classica abbiamo l’azione a distanza

Se mettiamo una carica (di prova) q ₀ in presenza di un’altra carica q, c’` e una forza tra le due: dico che q crea un campo

Una particella carica in un campo elettrico e magnetico sente una forza (di Lorentz)

F ~ _L = q ~E + ~v × ~B

Diciamo che ~ E ` e il campo elettrico e ~ B ` e il campo magnetico

Carica puntiforme

E una carica le cui dimensioni possono essere trascurate ` Genera un campo elettrico della forma

~ E = 1 4πε 0 ε r

Q r ² ˆ r ε ₀ ` e una costante universale che vale

ε ₀ = 8.85 · 10 ⁻¹² N · m ² /C ²

ε r dipende dal materiale nel quale si trovano le cariche ed ` e sempre ε _r ≥ 1. Nel vuoto ε _r = 1

La forza tra due cariche puntiformi ha quindi modulo

F = 1

4πε ₀ ε _r q 1 q 2

r ² Legge di Coulomb

Ha per direzione la retta congiungente le due cariche ed ` e attrattiva

se le cariche hanno segno opposto, repulsiva altrimenti

Principio di sovrapposizione

Se ho due cariche q ₁ e q ₂ , queste generano campi elettrici ~ E ₁ ed ~ E ₂ Dall’espressione per la forza di Lorentz, per cariche in quiete vedo che

F = q~ ~ E

Una carica di prova q ₀ sarebbe soggetta alle forze

~ F 1 = q 0 ~ E 1 e F ~ 2 = q 0 E ~ 2

e quindi ad una forza totale

F = ~ ~ F 1 + ~ F 2 = q 0 (~ E 1 + ~ E 2 )

Ne deduco che anche il campo elettrico ` e un vettore e che vale il principio di sovrapposizione per cui

~ E = ~ E ₁ + ~ E ₂

Il campo elettrico generato da due cariche ` e uguale alla somma dei

campi elettrici generati separatamente da ciascuna delle cariche

Flusso di un campo

attraverso una superficie

Disegno le linee di campo, alle quali il campo ` e tangente in ogni punto Le linee sono tanto pi` u fitte quanto pi` u il campo ` e intenso

Definisco il flusso Φ attraverso una superficie come una quantit` a proporzionale alle linee del campo che attraversano la superficie Per una superficie con normale che fa un angolo θ col campo elettrico sar` a Φ(E ) = E · S · cos(θ)

Considero positive le linee che vengono da un verso, negative da verso

opposto (angolo maggiore di 180 ^o )

Teorema di Gauss

Se la sorgente del campo ` e esterna a una superficie chiusa, tante linee entrano quante escono: il flusso ` e quindi nullo

Se la sorgente ` e interna, non importa in quale punto la metto, le linee che escono sono sempre le stesse e quindi anche il flusso

Se deformo la superficie questo non canbia, ` e importante solo sapere se la sorgente sta dentro o fuori

Se prendo una superficie sferica con una carica nel mezzo, il flusso ` e proporzionale a

Φ = Q

4πε 0 ε r r ² · 4πr ² = Q ε 0 ε r

Quindi posso dire che questo ` e vero per ogni superficie chiusa

Teorema di Gauss

forma matematica

Posso scrivere il flusso come un integrale

Se ho pi` u cariche il flusso si somma, dato che cos`ı fanno i campi elettrici

Ogni flusso dovuto a cariche interne da’ un contributo Φ = _ε ^Q

0

ε

Ogni carica esterna da’ un contributo nullo Formalmente posso scrivere il teorema di Gauss

Φ = Z

S

E · ˆ ~ n = Q int

ε ₀ ε _r

Conduttori

All’equilibrio le cariche non subiscono alcuna forza, altrimenti si muoverebbero

Fanno eccezione le cariche sulla superficie, dove si possono muovere solo paralellamente alla superficie

Ne deduco che

1

Il campo elettrico nell’interno ` e nullo

2

Sulla superficie ~ E deve essere perpendicolare alla superficie Posso calcolare ~ E sulla superficie dal teorema di Gauss

Φ = Q

ε ₀ ε _r = E · S Dividendo per la superficie

E = σ

ε ₀ ε _r

Condensatori

Condensatori piani

Due superfici conduttrici piane e parallele formano un condensatore piano

Se c’` e una carica Q sulla prima superficie, ci deve essere una carica opposta sull’altra (per il teorema di Gauss)

Il sistema ha simmetria per traslazione in due direzioni, e il campo elettrico deve essere perpendicolare alle superfici ed uniforme Il campo elettrico vale _ε ^σ

0

ε

Condensatori

Condensatori cilindrci

E costituito da due cilindri coassiali, di raggio R ` 1 e R 2

Posso calcolare il campo elettrico attraverso una superficie coassiale di raggio r

Il teorema di Gauss, applicato ad un cilindro di lunghezza L e raggio r , con R ₁ < r < R ₂ da’

E (r ) · 2 π r L = Q/ε = σ · 2 π R ₁ L/ε con ε = ε ₀ · ε _r . Ne deduco che

E (r ) = σ ε

R ₁

r

Energia di un condensatore

Immagino di fare del lavoro per caricare un condensatore piano, inizialmente scarico

Dopo averci portato una carica dq, compare un campo elettrico contrario dq/S ε.

Dopo aver ripetuto questa operazione un certo numero di volte, ci sar` a una carica q sul condensatore, e uun campo contrario q/S ε Per portare un’altra carica elettrica dq devo quindi fare un lavoro contro il campo dato da

dW = dq · q S ε · d

Per calcolare il lavoro totale, devo integrare al variare della carica tra 0 e Q

W = Z Q

0

q

S ε d dq = Q ²

2S ε d

Densit` a di energia

del campo elettrico

Dove risiede l’energia nel condensatore?

Posso immaginare che sia distribuita nello spazio tra le armature Calcolo allora la densit` a di energia

w = Q ² d 2S ε

.

(S · d ) = 1 2ε

 Q S

 2

= σ ² 2ε = 1

2 εE ² Questo risultato ` e del tutto generale, e non limitato al caso del condensatore piano. L’energia del campo elettrico ` e quindi distribuita uniformemente nello spazio con densit` a

w = ¹ ₂ εE ²

Dipolo elettrico

E costituito da due cariche elettriche opposte a distanza piccola ` rispetto a quella dove si osserva il campo elettrico

Il prodotto carica×distanza si chiama momento di dipolo elettrico Il campo elettrico del dipolo va a zero, per grandi distanze, come _r ¹

. Quindi ci si ”accorge” del dipolo solo per le sostanze neutre

Gli atomi delle sostanze isolanti diventano dipoli sotto l’azione di un campo elettrico esterno

i dipoli di queste sostanze scheramano il campo elettrico

Dipolo elettrico

Sul dipolo, in un campo elettrico agisce un momento torcente di modulo τ = qE · b = qE · d · sin(θ) = pE sin(θ)

Se considero il verso di rotazione, vedo che posso scrivere l’equazione vettoriale

~ τ = ~ p × ~ E

Per spostare un dipolo in un campo elettrico devo fare del lavoro, quindi c’` e un’energia potenziale associata alla posizione del dipolo data da

U = −~ p · ~ E