FLUSSO DI UN CAMPO VETTORIALE ATTRAVERSO UNA SUPERFICIE ORIENTATA

(1)

“ “ T T EO E OR RE EM MA A D DI I G G AU A US S S S ” ”

P P RO R OF F . . L L UI U IG GI I S S IR I RI IG GN NA A NO N O

(2)

Indice

1 FLUSSO DI UN CAMPO VETTORIALE ATTRAVERSO UNA SUPERFICIE ORIENTATA --- 3

2 TEOREMA DI GAUSS --- 5

3 APPLICAZIONI DEL TEOREMA DI GAUSS --- 6

3.1. CAMPO ELETTROSTATICO DI UN FILO RETTILINEO INDEFINITO, UNIFORMEMENTE CARICO --- 6

3.2. CAMPO ELETTROSTATICO DI UN PIANO INDEFINITO, UNIFORMEMENTE CARICO --- 7

3.3. CAMPO ELETTROSTATICO DI UNA CARICA Q UNIFORMEMENTE DISTRIBUITA SU UNA SUPERFICIE SFERICA --- 8

3.4. CAMPO ELETTROSTATICO DI UNA CARICA Q UNIFORMEMENTE DISTRIBUITA ALL’INTERNO DI UNA SFERA --- 9

4 DISTRIBUZIONE DELLA CARICA SU UN CONDUTTORE --- 11

4.1. TEOREMA DI COULOMB --- 11

5 PROBLEMI RISOLTI --- 13

PROBLEMA 3.1. --- 13

PROBLEMA 3.10. --- 23

PROBLEMA 3.11. --- 24

PROBLEMA 3.12. --- 26

PROBLEMA 3.13. --- 28

PROBLEMA 3.14. --- 30

BIBLIOGRAFIA --- 32

(3)

1 Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie orientata

Sia data una superficie piana S immersa in un campo vettoriale A

uniforme (il vettore A è lo stesso in ogni punto di S).

Orientiamo la superficie S. Ciò significa associarle un carattere vettoriale tramite il vettore S così definito:

 Il modulo di S è S.

 La direzione di S

è la retta perpendicolare al piano della superficie S.

 Il verso di S

si fissa in modo arbitrario.

Dicesi flusso del campo vettoriale A

attraverso la superficie orientata S

, la quantità:









 A S AScos

Ciò posto, è facile estendere la nozione di flusso attraverso una superficie S, in generale non piana, immersa in un campo vettoriale A

non uniforme (variabile, in generale, da punto a punto di S).

A tale scopo consideriamo una superficie infinitesima orientata ds

di S. Dato il suo carattere di elementarità possiamo ritenerla piana; inoltre il campo vettoriale A

in ogni suo punto può ritenersi uniforme. Per quanto detto in precedenza, il flusso elementare del campo A

attraverso ds è:









 A ds Adscos

d  

Il flusso totale sarà la somma dei flussi attraverso tutte le superfici elementari ds

in cui la superficie S si immagina suddivisa. Questa operazione di somma si chiama integrale (di superficie) e si scrive:

 

^



^



S A S A ds

Particolarmente importante è il caso in cui la superficie S sia chiusa. In tal caso è tacito, salvo avviso contrario, ritenerla orientata verso l’esterno. Il flusso del campo A

attraverso la superficie chiusa S si scrive:

 A



S

S

(4)

 

^



^



S A S A ds

dove il cerchietto sul simbolo di integrale significa appunto che la superficie S è chiusa.

 PROBLEMA

Calcolare il flusso del campo elettrostatico generato da una carica puntiforme Q attraverso una superficie sferica di raggio R, centrata sulla carica e orientata verso l’esterno.

Risoluzione

Consideriamo la superficie sferica di raggio R, centrata sulla carica ed orientata verso l’esterno. Il flusso del campo elettrostatico generato dalla carica puntiforme Qattraverso la superficie suddetta è:

 

^



^ ^





S S

E S E ds Eds

Poiché il modulo E del campo elettrostatico è lo stesso in ogni punto della superficie sferica, abbiamo:

     

₂ ²

0 E

E S

E 4 R

R Q 4 S 1 ES

S ds

E

S 

 

















e quindi:

 

0 E

S Q

 



R s d

+Q

E



(5)

2 Teorema di Gauss

Nel problema del paragrafo precedente è emersa una correlazione tra il flusso del campo elettrostatico generato dalla carica puntiforme Q e la carica stessa. Osserviamo che nel risultato conseguito non vi è alcuna informazione circa la forma sferica della superficie e la posizione della carica all’interno di essa. E’ legittimo dunque pensare che il suddetto risultato valga qualunque sia la superficie chiusa e ovunque si trovi la carica all’interno di essa. Infatti, si dimostra il seguente teorema:

Teorema di Gauss:

Il flusso del campo elettrostatico attraverso una superficie chiusa, orientata verso l’esterno, è uguale alla somma algebrica delle cariche interne alla superficie, diviso la costante dielettrica del vuoto:

(3.1)

 

0 . int E

S Q

 





In questo teorema gioca un ruolo essenziale la dipendenza del campo elettrostatico di una carica puntiforme dall’inverso del quadrato della distanza. Perciò il suo supporto sperimentale è la legge di Coulomb.

Osserviamo che se il flusso attraverso la superficie chiusa S è nullo, non significa che all’interno della superficie non ci sono cariche, ma potrebbero essercene con somma algebrica nulla.

(6)

3 Applicazioni del teorema di Gauss

In questo paragrafo faremo delle applicazioni del teorema di Gauss nelle situazioni dove le simmetrie del problema permettono un calcolo agevole del flusso del campo elettrostatico e quindi del campo elettrostatico stesso. Per i sistemi già trattati con la sovrapposizione degli effetti, ritroveremo gli stessi risultati.

3.1. Campo elettrostatico di un filo rettilineo indefinito, uniforme- mente carico

Consideriamo un filo rettilineo indefinito uniformemente carico con densità lineare .

Fissiamo un punto P, distante r dal filo, e sia P la sua proiezione orto-₀ gonale sul filo.

Per motivi di simmetria il campo elettrostatico nel punto P, è diretto perpendicolarmente al filo nella direzione P₀P.

Applichiamo il teorema di Gauss ad una superficie cilindrica di raggio di base r e lunghezza L, avente l’asse sul filo, e tale che il punto P si trovi sulla sua superficie laterale. Il flusso del campo elettrostatico vale:

 

^



^ ^



^ ^



^



Laterale 2

Base 1

Base

E S E ds E ds E ds

I primi due integrali sono nulli perché il campo elettrostatico è perpendicolare a ds

. Pertanto:

 

S E ds Eds E ds E2 rL

laterale laterale

laterale

E      





^ ^

 

P

L

 r

E



s d

E E

s d

P0

s d

base 1 base 2

(7)

D’altra parte la carica interna alla superficie cilindrica vale:



Q_int_.L. Quindi il teorema di Gauss fornisce:

 









 







0 0

. int E

L L r 2 Q E

S r

1 E 2

0

 

3.2. Campo elettrostatico di un piano indefinito, uniformemente carico

Sia dato un piano indefinito uniformemente carico con densità superficiale . Fissiamo un punto generico P, distante y dal piano. Per motivi di simmetria il campo elettrostatico nel punto P, è diretto perpendicolarmente al piano.

Applichiamo il teorema di Gauss ad una superficie cilindrica avente superfici di base S e altezza H, disposta perpendicolarmente al piano e bisecata dal piano stesso, e tale che il punto P si trovi su una delle due basi. Il flusso del campo elettrostatico vale:

 

^



^ ^



^ ^



^



laterale 2

base 1

base

E S E ds E ds E ds

Il terzo integrale è nullo perché nei punti della superficie laterale il campo elettrostatico è perpendi-colare a ds

. I primi due sono uguali, pertanto:

 

^



^ ^



^





1 base 1

base 1

base

E S 2 E ds 2 Eds 2E ds

cioè:

 

S 2E S

E  



D’altra parte la carica interna alla superficie cilindrica vale:



Q_int_.S. Il teorema di Gauss fornisce:

 







 



 







0 0

. int E

S S E Q 2

S

2 0

E 

 

S base 1

E



s d

E



E

s d



P

base 2

(8)

3.3. Campo elettrostatico di una carica Q uniformemente distribuita su una superficie sferica

Il problema è a simmetria sferica: il campo è radiale, dipendente solo dalla distanza dal centro. Sia R il raggio della superficie sferica.

 Calcolo del campo elettrostatico in un punto P interno alla superficie sferica.

Indichiamo con r la distanza di P dal centro, con rR. Il teorema di Gauss applicato alla superficie sferica di raggio r, tenuto conto che la carica interna a questa superficie è nulla, fornisce:

 

0 E 0

r 4 Q E

S

0 2 0

. int

E  

 



 







 Calcolo del campo elettrostatico in un punto P esterno alla superficie sferica.

Operiamo allo stesso modo. Il teorema di Gauss, applicato alla superficie sferica di raggio r, con R

r , tenuto conto che la carica interna a questa superficie è Q, dà:

 

₂

0 0

2 0

. int

E r

Q 4 E 1 r Q

4 Q E

S   

 



 







In definitiva:







 









R r r per

Q 4 E 1

R r 0 per 0

E

2 0

Si osservi come il campo, all’esterno della superficie sferica di raggio R, si comporta come se la carica Q fosse concentrata nel centro.

Inoltre, poiché:

lim E lim0 0

R r R

r _  _ 



2 0 2

R 0 r R

r R

Q 4

1 r

Q 4 lim 1 E

lim  

 _ 

 



presenta una discontinuità (di 1 specie) sui punti della ^a superficie sferica.

E

r O R

(9)

3.4. Campo elettrostatico di una carica Q uniformemente distribuita all’interno di una sfera

Il problema è a simmetria sferica. Indicato con R il raggio della sfera, la densità di carica volumica è costante e vale: ₃

R 4

Q 3

 

 .

 Calcolo del campo elettrostatico in un punto P interno alla sfera di raggio R.

Indichiamo con r la distanza di P dal centro, con rR. Il teorema di Gauss applicato alla superficie sferica di raggio r, tenuto conto che la carica interna a questa superficie è:

3 3 3

.

int R

Q r 3 r

Q 4 



fornisce:

 

r

E 3 r 1

3 r 4 4 Q E

S

0 0

3 2

0 . int

E 

 

 









 







e cioè:

R r 4

E Q ₃

0



 Calcolo del campo elettrostatico in un punto P esterno alla sfera di raggio R.

Indichiamo con r la distanza di P dal centro, con rR. Il teorema di Gauss, applicato alla superficie sferica di raggio r, tenuto conto che:



Q_int_.Q^{, dà:}

 

₂

0 0

2 0

. int

E r

Q 4 E 1 r Q

4 Q E

S   

 



 







In definitiva:









 





 



R r r per

Q 4 E 1

R r 0 per R r

4 E Q

2 0

3 0

(10)

Si osservi come il campo, all’esterno della sfera di raggio R, si comporta come se la carica Q fosse concentrata nel centro. Inoltre, poiché risulta:

2 0 3

R 0 r R

r 4 R

r Q R 4 lim Q E

lim  

 _ 

 



2 0 2

R 0 r R

r R

Q 4

1 r

Q 4 lim 1 E

lim  

 _ 

 



è continuo sui punti della superficie della sfera.

E

r O R

(11)

4 Distribuzione della carica su un conduttore

Somministriamo ad un conduttore una carica Q. Immaginiamo che questo processo avvenga gradualmente, tramite infinite particelle microscopiche con carica elementare dq , tutte dello stesso segno. Dopo un certo tempo, il sistema raggiungerà una configurazione di equilibrio: possiamo immaginare che nel volume elementare dv intorno ad ogni punto P del conduttore vi sia una particella con carica dq ferma in quel punto (equilibrio

elettrostatico).

Poiché dF dqE

 , si ottiene: 0 dqE

 , quindi in ogni punto interno al conduttore risulta:

0 E 

Consideriamo una superficie S, interna al conduttore ed arbitrariamente vicina alla superficie del conduttore stesso. Applichiamo a questa superficie il teorema di Gauss.

Il flusso del campo elettrostatico attraverso S è nullo, poiché in tutti i punti di S, interni al conduttore, il campo elettrostatico è nullo. Pertanto:

 



^E^^d^s^



_^Q ^ ⁰^ _^Q ^ ^Q^int^.^⁰

0 . int

S

 

Allora, la carica Q che somministriamo al conduttore non si trova all’interno della superficie S.

Dato che S è arbitrariamente vicina alla superficie del conduttore, la carica Q non può che trovarsi sulla superficie del conduttore, distribuendosi con una densità superficiale  che, in generale, varia da punto a punto della superficie del conduttore.

4.1. Teorema di Coulomb

Consideriamo un conduttore carico. Sia  la densità superficiale di carica. Esaminiamo il campo elettrostatico nelle immediate vicinanze di un punto P della superficie del conduttore.

Per motivi di simmetria il campo risulta perpendicolare al piano tangente alla superficie del conduttore nel punto P, verso l’esterno se la densità di carica  in quel punto è positiva. Si tratta, dunque, di calcolarne il modulo.

 S

0 E In ogni punto inter- no al conduttore.

(12)

Applichiamo il teorema di Gauss ad un cilindro elementare di base ds e altezza infinitesima, disposto perpendicolarmente al piano tangente, come nella figura a lato.

Il flusso del campo elettrostatico è diverso da zero solo attraverso la base ds esterna al conduttore e vale: d_E Eds. La carica interna al cilindro è:



Q_int_.ds. Pertanto:

0 0

ds E ds

E 

 

 



Perveniamo così al Teorema di Coulomb:

Il campo elettrostatico nelle immediate vicinanze del punto P della superficie di un conduttore carico è:

nˆ E

0

 



dove  è la densità superficiale di carica in P e nˆ il versore della normale uscente dal conduttore nel punto P (perpendicolare al piano tangente in P).

ds

Piano tangente al conduttore in P E

 P

E



 P

Piano tangente al conduttore in P

(13)

5 Problemi risolti

Problema 3.1.

Si consideri una carica Q distribuita uniformemente in una sfera di raggio R. Il flusso del campo elettrostatico attraverso una superficie sferica concentrica di raggio R/3 è noto e vale ₀. Calcolare Q.

Risoluzione

La carica Q è distribuita uniformemente nella sfera di raggio R. La densità volumica (costante) vale:

R3

3 4

Q







La carica interna alla superficie sferica di raggio R/3 è:

27 Q 3

R 3 4 3 R 4 Q Q 3

R 3 Q 4

3

3 .

int 3

.

int  



 









 



 











In virtù del teorema di gauss abbiamo:

0 0 0

0 0

. int

0 Q 27

27 Q Q







 





 







Problema 3.2.

Una carica Q è distribuita uniformemente in una sfera di raggio R. Il campo elettrostatico a distanza r₂ 3Rdal centro è noto e vale in modulo E . ₀

Calcolare a quale distanza r dal centro della sfera, internamente ad essa, il modulo del campo è ₁ ancora E . Calcolare inoltre il flusso ₀ ₂ del campo elettrostatico attraverso la superficie sferica di raggio r₂ 3R e il flusso ₁ del campo elettrostatico attraverso la superficie sferica di raggio r . ₁ Risoluzione

Ricordiamo che il campo elettrostatico generato da una carica Q uniformemente distribuita in una sfera di raggio R è:

(14)









 



 



R r r

Q 4

1

R r 0 R r

Q 4

1 E

2 0

3 0

Alla distanza r₂ 3R (r₂ R) il campo E si scrive come: ₀

2 0 2 0

0 2

2 0

0 9R

Q 4

E 1 )

R 3 (

Q 4

1 r

Q 4 E 1

 

 

 



Alla distanza r (₁ r₁ R) il campo, che vale ancora E , si scrive come: ₀

3 1 0

0 r

R Q 4 E 1

 

Confrontando le due ultime relazioni otteniamo:

9 r R R r

Q 4

1 R

9 Q 4

1

1 3 1

0 2

0



 

 

Il flusso ₂ del campo elettrostatico attraverso la superficie sferica di raggio r₂ 3R vale:

2 0 2

0 2 2

2 0

2E 4r   E 4(3R) 36E R



Il flusso ₁ del campo elettrico attraverso la superficie sferica di raggio r₁ R/9 vale:

2 0 2

0 1 2

1 0

1 E R

81 4 9

4 R E r

4

E   



 

















Si osservi che: ₂/₁ 729.

Problema 3.3.

Una carica Q è uniformemente distribuita all’interno di una sfera di raggio R. Calcolare il campo E

in un punto P a distanza R/5 dal centro della sfera. Calcolare inoltre il valore della carica puntiforme q che, posta nel centro della sfera, produca in P lo stesso campo E

. Risoluzione

E’ noto che il campo elettrostatico generato da una carica Q distribuita uniformemente in una sfera di raggio R vale in modulo:

(15)









 





 



R r r

Q 4 E 1

R r 0 R r

Q 4 E 1

2 0

3 0

Nel punto P a distanza R/5 dal centro (punto interno alla sfera) il modulo del campo è:

2 0 3

0 R

Q 4

1 5 1 5 R R

Q 4 E 1

 

Calcoliamo il valore della carica puntiforme q che, posta nel centro della sfera, produce il P lo stesso campo. Abbiamo:



R/5



⁵¹⁴¹ ^R^Q ^q ¹²⁵^Q

q 4

1

2 0 2

0



 

 

Problema 3.4.

Si consideri un conduttore sferico di raggio R. Il campo elettrostatico in un punto generico P dello spazio, esterno al conduttore, è noto. La sua componente radiale vale:

 



 



 

 cos

r 2R 1 E

E ₃

3 0

r

dove E è una grandezza nota, r è la distanza del ₀ punto P dal centro del conduttore (con rR) e  è l’angolo formato con la retta tratteggiata orizzontale.

Calcolare la densità di carica superficiale nei punti P , 1 P , ₂ P , ₃ P della superficie del conduttore. ₄ Risoluzione

Il campo elettrostatico nei punti P , ₁ P , ₂ P , ₃ P della superficie del conduttore vale: ₄

3 0 3 0

1

r cos0 3E

R 2R 1 E ) P (

E  

 



 

 0

cos2 R 2R 1 E ) P (

E ₃

3 0

2

r 



 



 



P

r

R

 O

P1

P2

P3

P4

(16)

3 0 3 0

3

r cos 3E

R 2R 1 E ) P (

E  



 



 

 0

2 cos3 R 2R 1 E ) P (

E ₃

3 0

4

r  



 



 



Per il teorema di Coulomb la densità di carica superficiale in ognuno di questi quattro punti vale:

0 0 1 r 0

1  E (P)3 E

 ₂ ₀E_r(P₂)0

0 0 3

r 0

3 E (P )3 E

 ₄ ₀E_r(P₄)0

Problema 3.5.

Una carica Q è distribuita in una sfera di raggio R con una densità volumica dipendente solo da r (simmetria sferica) data dalla legge: 

 

^r ^k^r. Calcolare:

1. La costante k.

2. Il campo elettrostatico in ogni punto dello spazio.

Risoluzione

L’integrale di 

 

r kr esteso alla sfera di raggio R fornisce la carica Q:



^

 

^

Sfera

Q dv r

In condizioni di simmetria sferica, l’elemento di volume è (¹): dv4r²dr. Pertanto:

 

  



^R^r ⁴ ^r ^dr ^Q

0

2 ⁴^k



^R^r ^dr^Q 

0

3  Q 

4 kR 4

4

R4

k Q



La densità volumica di carica assume quindi la forma:

 

^r

R r Q

 4



 .

(¹) Infatti, il volume del guscio sferico di raggio interno r e raggio esterno rdr (o spessore dr ) è:



² ² ³



3

3 3r dr 3r(dr) (dr)

3 dv 4 3 r

) 4 dr r 3 (

dv4        

Nelle parentesi quadre possiamo trascurare il secondo e il terzo addendo perché infinitesimi di ordine superiore rispetto al primo (cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore), quindi: dv4r²dr.

Pertanto, il volume del guscio sferico elementare di raggio interno r e spessore dr , si ottiene moltiplicando la superficie della sfera di raggio r per lo spessore dr .

(17)

Indichiamo con r la distanza di P dal centro, con rR. Il flusso del campo elettrostatico attraverso la superficie sferica di raggio r è: E

 

S E4r². La carica interna alla suddetta superficie vale:

 

Q

R r 4

R Q d 4 R

Q d 4

R 4 dv Q

Q ₄

r 4

0 4 4 r

0

r

0 3 4 2

4 r

0 .

int  



 



 









 









  



Il teorema di Gauss fornisce:

 



 





0 . int E

S Q 

 

 Q

R r r 4 E

0 4

4

2 2

4 0

R r 4 E Q



 

Indicando con r la distanza del punto P dal centro, con rR, il campo elettrostatico è uguale a quello che si avrebbe se la carica Q fosse concentrata nel centro (come utile esercizio si ripeta il calcolo applicando il teorema di Gauss):

2 0 r

Q 4 E 1

 

Il campo elettrostatico è continuo sulla superficie della sfera di raggio (come si verifica facilmente con un calcolo diretto).

In definitiva:









 





 



R r r per

Q 4 E 1

R r 0 per R r

4 E Q

2 0

2 4 0

Problema 3.6.

Una carica Q è distribuita in una sfera di raggio R con una densità volumica dipendente solo da r (simmetria sferica) data dalla legge: 

 

r k/r. Calcolare:

1. La costante k.

2. Il campo elettrostatico in ogni punto dello spazio.

Risoluzione

E

r O R

(18)

L’integrale di 

 

r k/r esteso alla sfera di raggio R fornisce la carica Q. In condizioni di simmetria sferica, l’elemento di volume è: dv4r²dr. Pertanto:

 

^R ² ₂

0 R

0

2

R 2 k Q 2 Q

kR 4 Q

dr r k 4 Q

dr r 4

r           





La densità volumica di carica assume quindi la forma:

 

r 1 R 2 r Q

 2



 .

Indichiamo con r la distanza di P dal centro, con rR. Il flusso del campo elettrostatico attraverso la superficie sferica di raggio r è: E

 

^r ₂ ²

0

r

0 2 2

2 r

0 .

int r

R d Q R

Q d 2

14 R 2 dv Q

Q

  



^ ^^ ^ _ _ ^ ^^ ^ ^^

 

₂

0 0

2 2 2 0

. int

E 4 R

E Q r 1

R r Q 4 Q E

S   

 



 







Pertanto, all’interno della sfera, il modulo del campo elettrostatico non dipende da r, quindi è lo stesso in ogni punto.

Indicando con r la distanza del punto P dal centro, con rR, il campo elettrostatico è uguale a quello che si avrebbe se la carica Q fosse concentrata nel centro (come utile esercizio si ripeta il calcolo applicando il teorema di Gauss):

2 0 r

Q 4 E 1

 

Il campo elettrostatico è continuo sulla superficie della sfera di raggio (come si verifica facilmente con un calcolo diretto).

In definitiva:

E

2 0R

Q 4 E 1

 

(19)









 





 



R r r per

1 4 E Q

R r 0 R per

4 E Q

2 0

Problema 3.7.

Una carica Q è distribuita uniformemente tra due superfici sferiche concentriche di raggi R ₁ e R , con ₂ R₁ R₂. Calcolare il campo elettrostatico in ogni punto dello spazio.

Risoluzione

Il problema è a simmetrica sferica. La densità volumica di carica è costante tra le due superfici sferiche e vale:

) R R 3 ( 4

Q

3 1 3 2 







 Calcolo del campo elettrostatico in un punto P interno alla sfera di raggio R . ₁

Indichiamo con r la distanza di P dal centro, con rR₁. Il flusso del campo elettrostatico attraverso la superficie sferica di raggio r è: _E

 

S E4r². La carica interna alla suddetta superficie è nulla:

0 Q_int_. 



. Il teorema di Gauss fornisce:

 

^S ^Q ^E⁴ ^r ⁰ ^E ⁰

0 2 0

. int

E  

 



 







 Calcolo del campo elettrostatico in un punto P interno alle due sfere di raggi R e ₁ R , con ₂

2

1 R

R  .

Indichiamo con r la distanza di P dal centro, con R₁rR₂. Il flusso del campo elettrostatico attraverso la superficie sferica di raggio r è: E

 

   

₃

1 3 2

3 1 3 3

1 3 3

1 3 2 3

1 3 .

int R R

R Q r R 3 r

4 R 3 R

4 R Q 3 r

Q 4



 





















(20)

 







 



 







0 3 1 3 2

3 1 3 2

0 . int E

1 R R

R Q r r 4 Q E

S ₂

3 1 3 3 1 3 2

0 r

R r ) R R ( 4

E Q 



 

 Calcolo del campo elettrostatico in un punto P esterno alla sfera di raggio R . ₂

Indicando con r la distanza del punto P dal centro, con rR₂, il campo elettrostatico è uguale a quello che si avrebbe se la carica Q fosse concentrata nel centro (come utile esercizio si ripeta il calcolo applicando il teorema di Gauss):

2 0 r

Q 4 E 1

 

Osserviamo che il campo elettrico è continuo in rR₁ e rR₂ (come si verifica facilmente con un calcolo diretto). In definitiva:















 





 



 







2 2 0

2 2 1

3 1 3 3 1 3 2 0

1

R r r per

1 4 E Q

R r R r per

R r ) R R ( 4 E Q

R r 0 per 0

E

Problema 3.8.

Una lastra di materiale isolante, avente spessore d, si estende all’infinito nelle direzioni y e z (l’asse z è perpendicolare al piano del foglio ed uscente da esso), ed ha una densità volumica di carica non uniforme descritta dalla legge: kx⁴, dove k è una costante positiva ed x è misurata dal piano mediano yz. Calcolare il campo elettrostatico dentro e fuori la lastra.

Risoluzione

Per motivi di simmetria, il campo è in ogni punto dello spazio parallelo all’asse x, dipendendo solo dalla coordinata x.

E

r

O _R₁ _R₂

0 E

P E

E x



 y



(21)

 Calcolo del campo in un punto P



x,0,0



esterno alla lastra: xd/2.

Fissiamo una superficie cilindrica S perpendi-colare al piano yz, bisecata dal piano stesso, tale che il punto P



x,0,0



si trovi su una delle due basi. Sia A l’area delle due basi del cilindro.

Il flusso del campo elettrostatico attraverso la suddetta superficie cilindrica consiste solo dei contributi attraverso le due basi:

EA 2 ) S

E( 

 La carica interna alla superficie è:

5 2

/ d

2 / d 2 5

/ d

2 / d

4 2

/ d

2 / d

int kAd

80 1 5

kA x dx x kA dx A

Q  



 



 



















 



 

0 5

0 . int

E 160

E kd 80kAd

1 EA Q 2

S   

 

 







Poiché questo risultato non dipende da x, all’esterno della lastra il campo è uniforme.

 Calcolo del campo in un punto P



x,0,0



interno alla lastra: 0xd/2.

Operiamo alla stessa maniera. Fissiamo una superficie cilindrica S come nella figura a lato. Indichiamo con A l’area delle due basi.

Il flusso del campo elettrostatico attraverso la suddetta superficie cilindrica vale:

EA 2 ) S

E( 



mentre la carica interna è:













 



^







x

x 4 x

x

int Ad kA d

Q

5 x

x 5

x 5kA 2 kA 5 



 



 





E

 x

E



d x y

P



(22)

Il teorema di Gauss dà:

 

⁵

0 o

5

0 . int

E x

5 E k x

5kA 2 EA Q 2

S   

 

 







Si osservi che il campo è continuo sulle superfici piane che delimitano la distribuzione di carica, come si verifica facilmente. In definitiva:











 





 



2 x d per . const 160

E kd

2 x d 0 per 5 x

E k

0 5

5 0

Nella figura a lato è riportato l’andamento grafico di E a destra e a sinistra del piano mediano yz.

Problema 3.9.

Una carica Q è distribuita uniformemente in una sfera di raggio R. Nella sfera, lungo un diametro, è praticato un tunnel (di piccola sezione) che permette il movimento di una particella di massa m con carica negativa q. La particella parte da un estremo del tunnel con velocità nulla.

Trascurando la forza peso, studiarne il moto.

Risoluzione

Consideriamo la particella di massa m, carica con q, in una generica posizione P nel tunnel, a distanza r dal centro. In questa posizione il campo elettrostatico, diretto radialmente verso l’esterno, vale:

xˆ R r 4

E Q ₃

0

 

dove xˆ è il versore dell’asse x. La forza agente sulla particella carica sarà dunque:

xˆ R r 4 E Qq q

F ₃

0







 



diretta verso il centro, perché contraria al versore xˆ.

2 / d 2

/

d

x E

O

0 5

160 kd



x +Q

R F

 r O

m,q

(23)

Si tratta dunque di una forza elastica di richiamo, di costante elastica: ₃

0R 4 k Qq

  . Per un noto teorema di meccanica, il punto materiale di massa m si muove di moto armonico, tra le due estremità del tunnel, con pulsazione e periodo:

3 0

0 4 mR

Qq m

k

 





Qq mR 2 4

T 2

3 0 0

 

 

 

Problema 3.10.

Una superficie cilindrica indefinita di raggio R è carica uniformemente con densità lineare



 . Calcolare il campo elettrostatico generato.

Risoluzione

Il problema è a simmetria cilindrica. Il campo elettrostatico è radiale e dipende solo dalla distanza del punto dall’asse del sistema.

 Calcolo del campo elettrostatico in un punto P interno alla superficie cilindrica carica di raggio R.

Indichiamo con r la distanza di P dall’asse, con rR. Consideriamo una superficie cilindrica S di lunghezza H, coassiale a quella carica, tale che il punto P si trovi sulla superficie laterale.

Il flusso del campo elettrostatico

attraverso questa superficie consiste solo del contributo lungo la parte laterale: _E

 

S E2rH. La carica interna alla superficie S è nulla:



Q_int_. 0. Il teorema di Gauss fornisce:

 

0 E 0

rH 2 Q E

S

0 0

. int

E  





 







 Calcolo del campo elettrostatico in un punto P esterno alla superficie cilindrica carica di raggio R.





R

H r

P S

(24)

Indichiamo con r la distanza di P dall’asse, con rR. Consideriamo una superficie cilindrica S di lunghezza H, coassiale a quella carica, tale che il punto P si trovi sulla superficie laterale.

Il flusso del campo elettrostatico attraverso questa superficie vale : _E

 

S E2rH. La carica interna alla superficie S è:



Q_int_.H. Il teorema di Gauss dà:

 

0 . int E

S Q

 





 

 



0

rH H 2

E E 2 r

0

 

Osserviamo che il campo elettrostatico non è continuo nei punti della superficie cilindrica carica di raggio R.

Inoltre, all’esterno di questa superficie, il campo è uguale a quello che si avrebbe se la carica fosse uniformemente distribuita con densità lineare  lungo il

suo asse. In definitiva:







 

 







R r r per

1 E 2

R r 0 per 0

E

0

Problema 3.11.

All’interno di una superficie cilindrica indefinita di raggio R è distribuita uniformemente una carica con densità volumica . Calcolare il campo elettrostatico generato.

Risoluzione

E

r O

0 E

R

 P



R

H r

S



(25)

Indichiamo con r la distanza di P dall’asse, con rR. Consideriamo una superficie cilindrica S di lunghez-za H, coassiale a quella carica, tale che il punto P si trovi sulla superficie laterale.

Il flusso del campo elettrostatico attraverso questa superficie consiste solo del contributo lungo la parte laterale: E

 

^S ^E²^rH. La carica interna alla superficie S è:



Q_int_. r²H. Applicando il teorema di Gauss si ottiene:

 

r

E 2 H

rH r 2 Q E

S

0 0

2

0 . int

E 

 

 







 







Indichiamo con r la distanza di P dall’asse, con rR. Consideriamo una superficie cilindrica S di lunghezza H, coassiale a quella carica, tale che il punto P si trovi sulla superficie laterale.

Il flusso del campo elettrostatico attraverso questa superficie vale: E

 

^S ^E²^rH. La carica interna alla superficie S è:



Q_int_.R²H. Il teorema di Gauss dà:

 











 







0 2

0 . int E

H rH R

2 Q E

S 2 r

E R

0 2



 

Il campo elettrostatico è continuo nel punti della superfi- cie cilindrica di raggio R. In definitiva:









 





 

 

R r r per

1 2 E R

R r 0 per 2 r

E

0 2 0

E

r

O R

P

R

H r



S

(26)

Problema 3.12.

E’ data una superficie cilindrica indefinita di raggio R. All’interno di essa è distribuita una carica in modo non uniforme, con densità volumica: k/r, dove k è una costante positiva assegnata ed r è la distanza del punto generico della distribuzione di carica dall’asse della superficie cilindrica indefinita. Dire le dimensioni fisiche della costante k e calcolare il campo elettrostatico generato.

Risoluzione

Dal punto di vista dimensionale la relazione: k/r si scrive:

           

₃ ₂

m m C m r C r k

k       





Indichiamo con r la distanza di P dall’asse, con rR. Consideriamo una superficie cilindrica S di lunghezza H, coassiale a quella che delimita la distribuzione di carica, tale che il pun- to P si trovi sulla superficie laterale.

Il flusso del campo elettrostatico attraverso la superficie S è: E

 

^S ^E²^rH.

Calcoliamo la carica interna a S. A tale riguardo consideriamo su una delle due basi circolari di raggio r, la corona circolare elementare di raggio interno  e spessore d. La sua area è (²):

(²) Infatti, l’area della corona circolare di raggio interno  e raggio esterno d (o spessore d ) è: 



^ ^ ^ ^





















 ( d ) ds (d ) 2 d

ds ² ² ²

Nelle parentesi quadre possiamo trascurare (d)² rispetto a (2d) perché è un infinitesimo di ordine superiore (cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore), quindi: ds2d.

Pertanto, l’area di una corona elementare di raggio interno  e spessore d , si ottiene moltiplicando la lunghezza della  circonferenza di raggio  per lo spessore d . 



R

H r

P

S

(27)





2 d

ds . Quindi il volume elementare di base ds e altezza H (simmetria cilindrica) vale:







dsH 2 H d

dv . Pertanto la carica interna alla superficie S è:

r kH 2 d kH 2 d H k2 dv Q

r

0 r

0 V

.

int      

 





  



Applicando il teorema di Gauss si ottiene:

 

0 0

0 . int E

E k r

kH rH 2

2 Q E

S  



 



 







Nei punti interni alla superficie cilindrica indefinita di raggio R, il campo ha modulo costante (non dipende da r).

Indichiamo con r la distanza di P dall’asse, con rR. Consideriamo una superficie cilindrica S di lunghezza H, coassiale a quella che delimita la distribuzione di carica, tale che il punto P si trovi sulla superficie laterale.

Il flusso del campo elettrostatico

attraverso questa superficie vale : _E

 

S E2rH. La carica interna alla superficie S è:

kHR 2 d kH 2 d H k2 dv Q

R

0 R

0 V

.

int      

 





  



Il teorema di Gauss dà:

 

r

E kR kHR

rH 2 2 Q E

S

0 0

0 . int

E   



 



 







Il campo elettrostatico è continuo nel punti della superficie cilindrica di raggio R, come si verifica facilmente.

P

R

H r



S

(28)

In definitiva:









 





 



R r r per

1 E kR

R r 0 per .

const E k

0 0

Problema 3.13.

Sono date due superfici cilindriche indefinite e coassiali, di raggi R e ₁ R , con ₂ R₁ R₂. La superficie di raggio R è carica con ₁

densità lineare ; quella di raggio R è carica con densità lineare 2 . Calcolare il campo elettrostatico generato.

Risoluzione

 Calcolo del campo elettrostatico in un punto P interno alla superficie cilindrica di raggio R . ₁ Indichiamo con r la distanza di P dall’asse, con rR₁. Consideriamo una superficie cilindrica S coassiale, di lunghezza H, tale che il punto P si trovi sulla superficie laterale. Il flusso del campo elettrostatico attraverso questa superficie consiste solo del contributo lungo la sua superficie laterale: _E

 

S E2rH.

La carica interna alla superficie S è nulla:



Q_int_.0. Il teorema di Gauss fornisce:

 

0 E 0

rH 2 Q E

S

0 0

. int

E  





 







 Calcolo del campo elettrostatico in un punto P interno alle due superfici cilindriche di raggi R ₁ e R , con ₂ R₁R₂.





R1

R2





E

r

O R

0

k



(29)

Indichiamo con r la distanza di P dal centro, con R₁rR₂. Considerata una superficie cilindrica S coassiale, di lunghezza H, tale che il punto P si trovi sulla superficie laterale, il flusso del campo elettrostatico attraverso questa superficie è: _E

 

S E2rH.

La carica interna alla suddetta superficie è quella che si trova sul tratto H della superficie di raggio R : 1



Q_int_. H. Il teorema di Gauss fornisce:

 









 







0 0

. int E

rH H 2 Q E

S E 2 r

0

 

 Calcolo del campo elettrostatico in un punto P esterno alla superficie cilindrica di raggio R . ₂ Indichiamo con r la distanza di P dal centro, con rR₂. Considerata una superficie cilindrica S coassiale, di lunghezza H, tale che il punto P si trovi sulla superficie laterale, il flusso del campo elettrostatico attraverso questa superficie è: _E

 

S E2rH.

La carica interna alla suddetta superficie è quella che si trova sul tratto H della superficie di raggio R e della superficie di raggio 1 R : ₂



Q_int_.LL0. Il teorema di Gauss fornisce:

 

^S ^Q ^E² ^rL ⁰ ^E ⁰

0 0

. int

E  

 



 







Osserviamo che il campo elettrostatico non è continuo nel punti delle due superfici cilindriche cariche.

Inoltre, tra le due superfici cilindriche di raggi R e ₁ R il campo si comporta come se avessimo ₂ un filo rettilineo indefinito uniformemente carico con densità lineare , posizionato sull’asse del sistema:

















 

 







2 2 1

0

1

R r per 0

E

R r R r per

1 E 2

R r 0 per 0

E

r

O _R₁ _R₂

0

E E0