Analisi Matematica I (A.A. 2010/2011)
Docente: Klaus Engel
Esercizi su Limiti e Continuit` a
Esercizio 1. Calcolare (senza usare l’Hospital oppure Taylor), al variare dei parametri r, s ∈ R e a > 0, i seguenti limiti:
lim
x→0+
5tan(x)− 5√x tan(x)−√
x, lim
x→π/4
1− tan x
1−tan x1 , lim
x→+∞
sin x√− cos x
x ,
lim
x→0
sin(
ln(1− x))
1− 2x , lim
x→+∞xrln(
cos(1/x))
, lim
x→0+(sin x)1/ln x,
x→+∞lim
(ln(2x + 4)− ln(6x + 5))
, lim
x→0
esin x− 1
tan x , lim
x→0
ax− ax+1x x2 ,
x→+∞lim e−x2xx, lim
x→+∞x10+e−xln x , lim
x→1xx−12 , lim
x→0
x· sin(x)
1− cos(x), lim
x→0+
2x− 1
√1− cos(x), lim
x→+∞
sin(1/3x) 31/x− 1,
x→+∞lim (ex)2· sin( e(−x2)
)
, lim
x→+∞
xr
e1/x− s, lim
x→+∞
(arctan(x))−x ,
lim
x→0
x· (πx− ex)
cos(x)− 1 , lim
x→1
2x2− sin2(x− 1) − 4x + 2
(x− 1)2 , lim
x→1
cos(x2− 1) − 1 (x− 1)2 ,
x→+∞lim x2 (
ln(x2+1 x2
)). lim
x→+∞
√
1− cos(1/x)· ln(x cos x + e2x), lim
x→0
(1 x− 1
sin x )
.
Esercizio 2. Studiare, al variare dei parametri a, la continuit`a delle seguenti funzioni:
f (x) :=
{x sinx1 se x̸= 0,
a se x = 0, g(x) :=
{a− x + x2 se x > 0, 1 + sin(x) se x≤ 0, h(x) :=
{|x2− 2| se x > 1,
−2x3+5a
3 se x≤ 1, j(x) :=
{(a− x)2 se x < 2, 2 ex se x≥ 2,
k(x) :=
{x2+ a se x∈ R \ Q,
cos(x) altrimenti, l(x) :=
3sin x− (2 + a)x
x + x2 se x > 0,
sin(
1− cos(2a x))
− 2 x2
x· ln(1 − x· ex) se x < 0,
1− a se x = 0.
Esercizio 3. Dimostrare che le equazioni seguenti ammettono almeno una soluzione reale positiva:
x3− 4x + 2 = 0, ex− esin(x)− 1 = 0, x + sin(x) cos(x)− 1 = 0, x + arctan x = 1.
Esercizio 4. Sia f :R → R, f(x) := x3+ 4x + 1.
(a) Mostrare che la funzione f `e iniettiva e suriettiva, cio`e invertibile.
(b) Calcolare un valore approssimativo dello zero di f con un errore inferiore a 2−3.
