Limiti di funzioni di una variabile

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Capitolo

6 Limiti di funzioni di una variabile

6.1 Limiti all’infinito

La definizione di limite data per le successioni si pu`o immediatamente trasportare al caso di una funzione f (x) definita in un qualunque insieme E illimitato superiormente, e si parler`a di limite per x → +∞; nel caso in cui la funzione f (x) sia definita su un insieme illimitato inferiormente ha senso considerare il limite per x → −∞.

Abbiamo le tre seguenti definizioni di limite per x → +∞:

1) Sia f (x) una funzione definita in un insieme E illimitato superiormente. Si dice che, per x tendente a +∞, la funzione f (x) `e convergente al limite l e si scrive

lim

x→+∞

f (x) = l [oppure f (x) → l (x → +∞)],

quando, comunque si fissi un numero positivo ε, esiste in corrispondenza ad esso un numero δ_ε (dipendente in generale da ε) tale che, per ogni numero x appartenente all’insieme E e maggiore di δ_ε, risulti

l − ε < f (x) < l + ε o, ci`o che `e lo stesso

|f (x) − l| < ε.

2) Sia f (x) una funzione definita in un insieme E illimitato superiormente. Si dice che, per x tendente a +∞, la funzione f (x) `e divergente a +∞ e si scrive

lim

x→+∞

f (x) = +∞ [oppure f (x) → +∞ (x → +∞)],

quando, comunque si fissi un numero k > 0, esiste in corrispondenza ad esso un numero δ_k (dipendente in generale da k) tale che, per ogni numero x appartenente all’insieme E e maggiore di δ_k, risulti

f (x) > k.

3) Sia f (x) una funzione definita in un insieme E illimitato superiormente. Si dice che, per x tendente a +∞, la funzione f (x) `e divergente a −∞ e si scrive

lim

x→+∞

f (x) = −∞ [oppure f (x) → −∞ (x → +∞)],

quando, comunque si fissi un numero k > 0, esiste in corrispondenza ad esso un numero δ_k (dipendente in generale da k) tale che, per ogni numero x appartenente all’insieme E e maggiore di δ_k, risulti

f (x) < −k.

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Diamo ora le tre definizioni di limite per x → −∞, che sono del tutto analoghe alle precedenti.

1) Sia f (x) una funzione definita in un insieme E illimitato inferiormente. Si dice che, per x tendente a −∞, la funzione f (x) `e convergente al limite l e si scrive

lim

x→−∞

f (x) = l [oppure f (x) → l (x → −∞)],

quando, comunque si fissi un numero positivo ε, esiste in corrispondenza ad esso un numero δ_ε (dipendente in generale da ε) tale che, per ogni numero x appartenente all’insieme E e minore di δ_ε, risulti

|f (x) − l| < ε.

2) Sia f (x) una funzione definita in un insieme E illimitato inferiormente. Si dice che, per x tendente a −∞, la funzione f (x) `e divergente a +∞ e si scrive

lim

x→−∞

f (x) = +∞ [oppure f (x) → +∞ (x → −∞)],

quando, comunque si fissi un numero k > 0, esiste in corrispondenza ad esso un numero δ_k (dipendente in generale da k) tale che, per ogni numero x appartenente all’insieme E e minore di δ_k, risulti

f (x) > k.

3) Sia f (x) una funzione definita in un insieme E illimitato inferiormente. Si dice che, per x tendente a −∞, la funzione f (x) `e divergente a −∞ e si scrive

lim

x→−∞

f (x) = −∞ [oppure f (x) → −∞ (x → −∞)],

quando, comunque si fissi un numero k > 0, esiste in corrispondenza ad esso un numero δ_k (dipendente in generale da k) tale che, per ogni numero x appartenente all’insieme E e minore di δ_k, risulti

f (x) < −k.

Aggiungiamo l’osservazione che se la funzione f (x) `e definita in un insieme E illimitato sia superiormente che inferiormente, possono esistere sia il limite per x → +∞ sia il limite per x → −∞.

Illustriamo con alcuni esempi le definizioni date fin qui.

La funzione log x `e definita nell’intervallo (0, +∞) illimitato superiormente. Si ha lim

x→+∞

log x = +∞.

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6.2. Limiti in un punto

La funzione e^x `e definita nell’intervallo (−∞, +∞) illimitato sia superiormente che inferiormente; si ha

lim

x→+∞

e^x = +∞, lim

x→−∞

e^x= 0.

La funzione arctan x `e definita in (−∞, +∞); si ha lim

x→+∞

arctan x = π

2, lim

x→−∞

arctan x = −π 2.

La funzione sin x è definita in (−∞, +∞), ma non ammette limite né per x → +∞ né per x → −∞.

6.2 Limiti in un punto

Consideriamo ora un punto x₀ al finito. Ricordando quanto detto a proposito dei punti di accumulazione di un insieme, si vede subito che è possibile trasferire il concetto di limite di una funzione f (x) al caso in cui si faccia tendere la variabile x al punto x₀. Per operare in modo analogo si dovranno considerare intorni di x₀, anziché intorni di +∞ o −∞; e si dovrà richiedere che in tali intorni si trovino infiniti punti dell’insieme E distinti da x₀, vale a dire che x₀ sia un punto di accumulazione dell’insieme E, cioè x₀ ∈DE.

Si hanno allora le tre seguenti definizioni di limite nel punto x₀, o per x tendente a x₀ (x → x₀), di una funzione f (x).

1) Sia f (x) una funzione definita in un insieme E e sia x₀ ∈ DE. Si dice che, per x tendente a x₀, la funzione f (x) `e convergente al limite l e si scrive

lim

x→x₀ f (x) = l [oppure f (x) → l (x → x₀)],

quando, comunque si fissi un numero positivo ε, esiste in corrispondenza ad esso un intorno I_ε(x₀) (dipendente in generale da ε) del punto x₀ tale che, per ogni numero x diverso da x₀ appartenente ad E ed a tale intorno I_ε(x₀), risulti

|f (x) − l| < ε.

2) Sia f (x) una funzione definita in un insieme E e sia x₀ ∈ DE. Si dice che, per x tendente a x₀, la funzione f (x) `e divergente al limite +∞ e si scrive

x→xlim₀f (x) = +∞ [oppure f (x) → +∞ (x → x₀)],

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quando, comunque si fissi un numero k > 0, esiste in corrispondenza ad esso un intorno I_k(x₀) (dipendente in generale da ε) del punto x₀ tale che, per ogni numero x diverso da x₀ appartenente ad E ed a tale intorno I_k(x₀), risulti

f (x) > k.

3) Sia f (x) una funzione definita in un insieme E e sia x₀ ∈ DE. Si dice che, per x tendente a x₀, la funzione f (x) `e divergente al limite −∞ e si scrive

x→xlim₀f (x) = −∞ [oppure f (x) → −∞ (x → x₀)],

quando, comunque si fissi un numero k > 0, esiste in corrispondenza ad esso un intorno I_k(x₀) (dipendente in generale da ε) del punto x₀ tale che, per ogni numero x diverso da x₀ appartenente ad E ed a tale intorno I_k(x₀), risulti

f (x) < −k.

Vediamo alcuni esempi relativi ai limiti in un punto.

La funzione 1/x² `e definita nell’insieme E = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) ed il punto x = 0 `e un punto di accumulazione per E; si ha

lim

x→0

1

x² = +∞.

La funzione cos x `e definita nell’intervallo (−∞, +∞) per il quale il punto x = 0 `e di accumulazione; si ha

lim

x→0

cos x = 1.

La funzione log x `e definita nell’intervallo (0, +∞) che ha il punto x = 0 come punto di accumulazione; si ha

lim

x→0

log x = −∞.

La funzione 1/x è definita nell’insieme E = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) ed il punto x = 0 è un punto di accumulazione per E. Tuttavia, poiché in ogni intorno di x = 0 la funzione assume valori positivi e negativi con valore assoluto arbitrariamente grande, non esiste il limite per x → 0.

Va sempre tenuto presente che l’esistenza o meno del limite `e strettamente legata all’insieme E in cui si considera definita la funzione. Sussiste, poi, il seguente risultato.

Se si considera qualsiasi insieme G ⊂ E che, al pari di E, sia illimitato superiormente, oppure illimitato inferiormente, oppure abbia x₀ come punto di accumulazione, dall’esistenza del lim f (x)(x ∈ E) segue quella del lim f (x)(x ∈ G) con lo stesso valore del primo.

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6.3. Limiti a sinistra e limiti a destra

Di questo risultato non esiste l’inverso. Per esempio, se si considera la funzione sin x in E = (−∞, +∞) e si prende come insieme G quello costituito dai punti nπ (n = 1, 2, 3, . . .), si vede che, essendo sin nπ = 0, esiste il

lim

x→+∞

sin x (x ∈ G) = 0, mentre sappiamo che non esiste il

lim

x→+∞

sin x (x ∈ E).

Questo risultato pu`o essere applicato prendendo come insieme G ⊂ E l’intersezione di E con un intorno di +∞, oppure di −∞, oppure di x₀; in questo caso sussiste anche il risultato inverso.

6.3 Limiti a sinistra e limiti a destra

Come si `e visto, pu`o darsi che esista il lim f (x) (x ∈ G) senza che esista il lim f (x) (x ∈ E).

Questa circostanza pu`o essere utilizzata, nel caso del limite per x → x₀, nel modo seguente.

Sia f (x) definita nell’insieme E avente il punto di accumulazione x₀. Supponiamo che in E esistano sia punti x < x₀ (cio`e a sinistra di x₀), sia punti x > x₀ (cio`e a destra di x₀) e diciamo E⁰ l’insieme formato dai primi, E⁰⁰ quello formato dai secondi. Supponiamo inoltre che sia E⁰ che E⁰⁰ abbiano ancora x₀ come punto di accumulazione.

In queste condizioni pu`o darsi benissimo che non esista il

x→xlim₀ f (x) (x ∈ E)

ed esistano invece i due limiti

x→xlim₀f (x) (x ∈ E⁰), lim

x→x₀ f (x) (x ∈ E⁰⁰), o almeno uno di essi.

Le notazioni di solito utilizzate per questi limiti sono:

x→xlim

0 −

f (x) per lim

x→x₀f (x) (x ∈ E⁰), lim

x→x0 +

f (x) per lim

x→x₀f (x) (x ∈ E⁰⁰).

Le definizioni relative a questi limiti sono naturalmente quelle solite, con E⁰ o E⁰⁰in luogo di E a seconda che si considerino solo punti di x in E con x < x₀ oppure con x > x₀.

Diamo due esempi relativi a questi casi.

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La funzione 1/x, come si `e visto, non ammette limite per x → 0; tuttavia si ha lim

x→0 −

1

x = −∞, lim

x→0 +

1

x = +∞.

Analogamente, `e facile verificare che lim

x→0 −

e^1/x= 0, lim

x→0 +

e^1/x= +∞.

6.4 Operazioni sui limiti. Forme indeterminate

Enunceremo ora una serie di risultati che mostrano propriet`a dei limiti di funzioni, analoghi a quelli mostrati per i limiti di successioni. Per abbreviare l’esposizione ed evitare una lunga distinzione di casi, useremo, per l’indicazione di un limite, sempre la scrittura

lim

x→ξ

f (x) = λ,

con l’intesa che ξ possa essere finito, o +∞, o −∞ ed analogamente per λ.

Inoltre sar`a sempre sottinteso che le varie funzioni prese in considerazione siano tutte definite in un medesimo insieme E, tale che ξ ∈ DE. Diremo sempre che si considerano punti x diversi da ξ, anche se questa precisazione andrebbe fatta solo nel caso di ξ finito.

Ci`o premesso, elenchiamo di seguito i risultati annunciati.

6.4.I (Permanenza del segno) Sia lim

x→ξ

f (x) = λ con λ 6= 0;

esiste allora un intorno I(ξ) di ξ tale che, per ogni x ∈ E appartenente ad un certo intorno di ξ e diverso da ξ, la f (x) ha lo stesso segno del limite λ.

6.4.II Le funzioni f (x), g(x) siano tali che, per ogni x ∈ E appartenente ad un certo intorno di ξ e diverso da ξ, riesca f (x) 6 g(x) oppure f (x) < g(x). Allora, se entrambe le funzioni ammettono limite per x → ξ, si ha

lim

x→ξf (x) 6 lim

x→ξ

g(x).

6.4.III La funzione f (x) sia tale che, per ogni x ∈ E appartenente ad un certo intorno di ξ e diverso da ξ, riesca f (x) 6 b oppure f (x) < b. Allora, se la f (x) ammette limite per x → ξ, si ha

lim

x→ξf (x) 6 b.

Analogamente con le disuguaglianze opposte.

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6.4. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate

6.4.IV Le tre funzioni f (x), g(x), h(x) siano tali che, per ogni x ∈ E appartenente ad un certo intorno di ξ e diverso da ξ, riesca f (x) 6 h(x) 6 g(x) oppure f (x) < h(x) < g(x).

Allora, se le due funzioni f (x), g(x) ammettono per x → ξ il medesimo limite, anche la h(x) ammette per x → ξ quello stesso limite.

Per enunciare in modo conciso un risultato analogo a quello sul limite delle successioni monotone, `e opportuno convenire di far rientrare i limiti per x → +∞ fra i limiti a sinistra ed i limiti per x → −∞ fra i limiti a destra. Si ha allora:

6.4.V La funzione f (x) sia crescente o non decrescente [oppure decrescente o non crescente]. Allora per x → ξ essa ammette limite a sinistra uguale all’estremo superiore [oppure inferiore] dell’insieme dei valori che essa assume nei punti di E situati a sinistra di ξ; essa ammette pure limite a destra uguale all’estremo inferiore [oppure superiore] dell’insieme dei valori che essa assume nei punti di E a destra di ξ.

I due limiti a destra e a sinistra possono essere disuguali; se invece risultano uguali, allora il valore comune `e il

lim

x→ξ

f (x).

Diamo ora alcuni risultati analoghi a quelli visti per i limiti delle successioni.

6.4.VI Dalle ipotesi

lim

x→ξ

f (x) = λ, lim

x→ξ

g(x) = λ⁰ segue, con le convenzioni adottate per le successioni:

lim

x→ξ

[f (x) + g(x)] = λ + λ⁰, (6.1)

lim

x→ξ

[f (x)g(x)] = λλ⁰, (6.2)

lim

x→ξ

f (x) g(x) = λ

λ⁰, [supposto g(x) 6= 0] (6.3)

lim

x→ξ

log f (x) = log λ, [supposto f (x) > 0] (6.4) lim

x→ξ

e^{f (x)} = e^λ, (6.5)

a meno che si presenti una delle forme indeterminate ∞ − ∞ [nel caso della (6.1)]; 0 · ∞ [nel caso della (6.2)]; ∞/∞, 0/0 [nel caso della (6.3)].

Inoltre, se `e f (x) > 0, e

lim

x→ξ

f (x) = l > 0 allora, qualunque sia il numero reale α:

lim

x→ξ

[f (x)]^α = l^α. (6.6)

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Osserviamo infine che il criterio di convergenza di Cauchy, enunciato nel caso delle successioni, per le funzioni assume la forma:

6.4.VII Condizione necessaria e sufficiente perch´e esista finito il lim

x→ξ

f (x)

`e che, dato ε > 0, esista corrispondentemente un intorno I_ε(ξ) tale che, presi comunque due punti x⁰, x⁰⁰ ∈ E ∩ I_ε(ξ) − {ξ}, risulti sempre

|f (x⁰) − f (x⁰⁰)| < ε.

6.5 Due limiti fondamentali

Mostriamo due importanti applicazioni di quanto `e stato detto nelle pagine precedenti.

Consideriamo la funzione

y = sin x x che `e definita per x 6= 0; vogliamo dimostrare che si ha

lim

x→0

sin x

x = 1. (6.7)

Possiamo limitarci a considerare la funzione per 0 < |x| < π/2. In tali condizioni si ha:

| sin x| < |x| <

sin x cos x ,

come `e ben comprensibile da semplici considerazioni geometriche: inoltre `e evidentemente sin x

x > 0, cio`e sin x

x = | sin x|

|x|

e cos x > 0. Ne segue

cos x < sin x x < 1.

Poich´e

lim

x→0

cos x = 1, lim

x→0

1 = 1 , applicando il 6.4.IV la (6.7) risulta dimostrata.

L’altro importante risultato riguarda il numero e, che abbiamo gi`a definito come lim

n→∞

1 + 1

n

.

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6.6. Infinitesimi ed infiniti

Considerata la funzione

1 +1

x

nell’insieme (−∞, −1) ∪ (1, +∞), dove la base `e sempre positiva, si pu`o dimostrare che si ha lim

x→+∞

1 + 1

x

= e, lim

x→−∞

1 + 1

x

= e. (6.8)

Quando una funzione f (x), definita in un insieme illimitato sia superiormente che inferiormente, ammette limiti per x → +∞ e per x → −∞ ed i due limiti risultano uguali, `e consuetudine considerare il comune valore dei due limiti semplicemente come il limite per x → ∞. In conformit`a con questo criterio, le (6.8) possono riunirsi nella

x→∞lim

1 +1

x

= e. (6.9)

La (6.9) pu`o essere generalizzata nella seguente formula:

x→∞lim

1 +α

x

= e^α. (6.10)

6.6 Infinitesimi ed infiniti

Quanto visto per le successioni riguardo agli infinitesimi e agli infiniti pu`o essere esteso immediatamente al caso delle funzioni. Come in precedenza, parleremo in generale di limite per x → ξ con l’intesa che ξ pu`o essere finito, +∞ o −∞.

Si dice che f (x) `e un infinitesimo per x → ξ se lim

x→ξ

f (x) = 0;

si dice che f (x) `e un infinito per x → ξ se lim

x→ξ

|f (x)| = +∞.

6.6.I Supposto che sia sempre f (x) 6= 0, se f (x) è un infinitesimo allora 1/f (x) è un infinito. Se f (x) è un infinito allora 1/f (x) è un infinitesimo.

6.6.II Se f (x), g(x) sono infinitesimi [infiniti], anche il prodotto f (x)g(x) `e un infinitesimo [un infinito].

Invece il prodotto di un infinitesimo per un infinito d`a luogo alla forma indeterminata 0 · ∞ e nulla si pu`o dire in generale sul limite di esso.

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6.6.III Se f (x) è un infinitesimo e g(x) è limitata, allora il prodotto f (x)g(x) è un infinitesimo.

6.6.IV Se la successione f (x) è un infinito e g(x) è tale che esiste una costante positiva h in modo da aversi |g(x)| > h per x → ξ, allora il prodotto f (x)g(x) è un infinito.

Circa il quoziente di due infinitesimi o di due infiniti, nulla si può dire in generale perché ci si imbatte nelle forme indeterminate 0/0, ∞/∞. Vanno però introdotte alcune locuzioni.

Se f (x), g(x) sono infinitesimi per x → ξ e supposto che sia sempre g(x) 6= 0, possono aversi le tre seguenti situazioni:

lim

x→ξ

f (x) g(x)

= 0,

lim

x→ξ

f (x) g(x)

= l > 0,

lim

x→ξ

f (x) g(x)

= +∞.

Nel primo caso si dice che f (x) `e un infinitesimo di ordine superiore a g(x); nel secondo caso si dice che f (x) e g(x) sono infinitesimi dello stesso ordine; nel terzo caso si dice che f (x) `e un infinitesimo di ordine inferiore a g(x).

Analogamente, se f (x), g(x) sono infiniti per x → ξ e supposto che sia sempre g(x) 6= 0, possono aversi le tre seguenti situazioni:

lim

x→ξ

f (x) g(x)

= +∞.

lim

x→ξ

f (x) g(x)

= l > 0,

lim

x→ξ

f (x) g(x)

= 0,

Nel primo caso si dice che f (x) `e un infinito di ordine superiore a g(x); nel secondo caso si dice che f (x) e g(x) sono infiniti dello stesso ordine; nel terzo caso si dice che f (x) `e un infinito di ordine inferiore a g(x).

Se f (x), g(x) sono, per x → ξ due infinitesimi [infiniti], pu`o darsi che esista un numero reale α > 0 tale che f (x) e |g(x)|^α siano infinitesimi [infiniti] dello stesso ordine, cio`e tali da aversi

lim

x→ξ

|f (x)|

|g(x)|^α = l > 0.

in tal caso si dice che f (x) `e un infinitesimo [infinito] di ordine α rispetto all’infinitesimo [infinito] principale g(x).

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6.6. Infinitesimi ed infiniti

Quando si tratta di limite per x → x₀, di solito si assume come infinitesimo principale la funzione x − x₀ e come infinito principale 1/(x − x₀). Allora, dire che, per x → x₀, f (x) `e un infinitesimo di ordine α significa che

lim

x→x0

|f (x)|

|x − x₀|^α = l > 0;

dire che, per x → x₀, f (x) `e un infinito di ordine α significa che

x→xlim0

|f (x)|

1/(x − x₀)

α = lim

x→x0

|x − x₀|^α|f (x)| = l > 0.

Quando si tratta di limite per x → ∞, di solito si assume come infinitesimo principale la funzione 1/x e come infinito principale x. Allora, dire che, per x → ∞, f (x) `e un infinitesimo di ordine α significa che

lim

x→∞

|f (x)|

|1/x|^α = lim

x→∞

|x|^α|f (x)| = l > 0;

dire che, per x → ∞, f (x) `e un infinito di ordine α significa che

x→∞lim

|f (x)|

|x|^α = l > 0.

Come nel caso delle successioni, si vede immediatamente che nello studio del limite del rapporto f (x)/g(x) di due infinitesimi [infiniti], ognuno dei quali sia espresso da una somma di termini infinitesimi [infiniti], basta tener conto sia a numeratore che a denominatore dei termini che hanno ordine di infinitesimo pi`u basso [ordine di infinito pi`u alto].

Diciamo infine che, anche nel caso delle funzioni, sono usati i simboli o, O e ∼ con significati analoghi a quelli descritti per le successioni.

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