Volano su sbarretta di massa trascurabile
Figure 1:
Un volano di raggio R e massa m `e tenuto in rotazione a velocit`a angolare
~
ω = ωˆey costante intorno al punto medio V di una sbarretta lunga l e di massa trascurabile. La sbarretta `e incernierata nel suo estremo O, mentre l’altro `e libero di muoversi.
Determinare:
1. direzione e intensit`a della forza da applicare all’estremo libero P nec- essaria per mantenere la sbarretta orizzontale;
2. la forza necessaria per far muovere verso l’alto ad una velocit`a costante v l’estremo P (si supponga che v << ωl e che lo spostamento verso l’alto di P sia piccolo rispetto alla lunghezza l della sbarretta).
Soluzione
Sia ~F = (Fx, Fy, Fz) la forza applicata sull’estremo libero, ~R = (Rx, Ry, Rz) la reazione al vincolo e ~r0= (0, l, 0) la posizione del punto P . Per mantenere la sbarretta in posizione orizzontale applichiamo le equazioni cardinali della dinamica nel caso statico: PF = 0,~ PM~O= 0.
R + ~~ F + m~g = 0 →
Rx+ Fx = 0 Ry+ Fy = 0 Rz+ Fz− mg = 0
(1)
1
~
r × ~F + ~r
2× m~g = 0 →
−mgl/2 + lFz= 0
−lFx = 0 (2)
Di conseguenza Fx = Rx = 0 e Fz = Rz = mg/2. Come ci potevamo attendere, la componente y non `e determinata e possiamo dire solamente che Fy = −Ry.
Spostiamo adesso l’estremo P verso l’alto. Questo corrispondere a met- tere la sbarretta in rotazione intorno al punto O sul piano (y, z) con una velocit`a angolare ~Ω = vlˆex.
Il momento angolare del sistema rispetto al polo O si pu`o scrivere, usando il teorema di K¨onig, come il momento del centro di massa V pi`u quello intorno a V :
L~O= IO,xΩ + I~ v~ω (3) dove IO,x = m(l/2)2 `e il momento di inerzia rispetto all’asse x, intorno al quale avviene la rotazione ~Ω, del sistema nel quale la massa m `e concentrata nel centro di massa V , mentre Iv `e il momento di inerzia del volano intorno al suo asse, coincidente con l’asse y.
La variazione nel tempo del momento angolare `e data da:
d~LO dt = d
dtIv~ω = Ivωd
dteˆy = Ivω~Ω × ˆey = Ivvω
l ˆez (4)
dove abbiamo usato l’equazione di Poisson dˆe/dt = ~Ω × ˆe.
Inserendo questa espressione nell’equazione 2 si ricava:
−mgl/2 + lFz= 0
−lFx = Ivωv/l (5)
dove abbiamo assunto che lo spostamento di P `e piccolo rispetto alla lunghezza della sbarra in modo da mantenere m~g = −mgˆez nelle equazioni cardinali.
Per mettere in rotazione la sbarretta verso l’alto, alla forza ~F trovata nel caso statico va aggiunta una componente trasversale diretta lungo x e di intensit`a
Fx= −R2 2l2mvω.
2
