Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 22 Gennaio 2018 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Si determini il valore del parametro reale h per il quale il sottoinsieme S ={(x, y, z)|x − hy = h + 1}
`
e un sottospazio vettoriale di R3 e per il valore trovato di h si determini una base B di S. Si completi infine B ad una base di R3.
2 Si discuta al variare del parametro reale h il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t:
2x +y +z −t=0
x −2y −z +(h2+ 1)t=0
−3x +y +ht=0
3 Sia f : R2,2 7→ R2,2 l’applicazione lineare cos`ı definita f
(x y z t
)
=
( x y + z x− t t
) .
Si determini la matrice A associata a f rispetto la base
{(1 0 0 0
) ,
(0 1 0 0
) ,
(0 0 1 0
) ,
(0 0 0 1
)}
di R2,2 e si determini la dimensione di Imf e di Kerf . Si stabilisca infine se A `e diagonalizzabile.
4 Nello spazio euclideo, fissato un riferimento cartesiano, si considerino il punto A(−1, 1, 1) e la retta
β :
{ x +y− z=1 y− 2z =0
Si determini l’equazione cartesiana del piano π per A contenente la retta β. Si determinino infine i punti sull’asse Y a distanza √
11 da π.
5 Si scriva la definizione di matrici simili. Si dimostri che se due matrici sono simili allora hanno lo stesso polinomio caratteristico. Vale anche il viceversa?
6 Si scrivano le definizioni di fascio proprio ed improprio di rette di un piano e di fascio proprio e improprio di piani dello spazio ordinario; se ne enuncino alcune propriet`a.
Traccia I — 1
Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 22 Gennaio 2018 — Traccia II
COGNOME NOME
1. Si determini il valore del parametro reale h per il quale il sottoinsieme S ={(x, y, z)|y + hz = h − 2}
`
e un sottospazio vettoriale di R3 e per il valore trovato di h si determini una base B di S. Si completi infine B ad una base di R3.
2. Si discuta al variare del parametro reale h il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t:
x +2y −z +t=0
−2x +y +(h2+ 1)z −t=0
x −3y +hz =0
3. Sia f : R2,2 7→ R2,2 l’applicazione lineare cos`ı definita f
(x y z t
)
=
(x− y 2z x + t t
) .
Si determini la matrice A associata a f rispetto la base
{(1 0 0 0
) ,
(0 1 0 0
) ,
(0 0 1 0
) ,
(0 0 0 1
)}
di R2,2 e si determini la dimensione di Imf e di Kerf . Si stabilisca infine se A `e diagonalizzabile.
4. Nello spazio euclideo, fissato un riferimento cartesiano, si considerino il punto A(0, 1, 1) e la retta
β :
{ x −y − z=0 y− 2z =1
Si determini l’equazione cartesiana del piano π per A contenente la retta β. Si determinino infine i punti sull’asse Z a distanza √
6 da π.
5. Si scrivano le definizioni di autovalore, di autovettore e di autospazio di una matrice quadrata e se ne enuncino alcune propriet`a dimostrandone almeno una.
6. Si scrivano le possibili posizioni reciproche di una retta e di un piano dello spazio euclideo e si ricavino le relative condizioni analitiche.
Traccia II — 1
Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 22 Gennaio 2018 — Traccia III
COGNOME NOME
1. Si determini il valore del parametro reale h per il quale il sottoinsieme S ={(x, y, z)|x+y+hz = h+4}
`
e un sottospazio vettoriale di R3 e per il valore trovato di h si determini una base B di S. Si completi infine B ad una base di R3.
2. Si discuta al variare del parametro reale h il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t:
x −y − 2z − t=0 (h2+ 1)x −2y + z − t=0
hx +y− 3z =0
3. Sia f : R2,2 7→ R2,2 l’applicazione lineare cos`ı definita f
(x y z t
)
=
(x− y t + 2z x− t t
) .
Si determini la matrice A associata a f rispetto la base
{(1 0 0 0
) ,
(0 1 0 0
) ,
(0 0 1 0
) ,
(0 0 0 1
)}
di R2,2 e si determini la dimensione di Imf e di Kerf . Si stabilisca infine se A `e diagonalizzabile.
4. Nello spazio euclideo, fissato un riferimento cartesiano, si considerino il punto A(2, 1,−1) e la retta
β :
{ x +y + z=1 x + 2z =0
Si determini l’equazione cartesiana del piano π per A contenente la retta β. Si determinino infine i punti sull’asse X a distanza 1 da π.
5. Si definisca l’insieme dei vettori liberi dello spazio ordinario. Si mostri come tale insieme si possa munire della struttura di spazio vettoriale sul campo dei reali.
6. Si scrivano le possibili posizioni reciproche di due rette del piano ordinario e si ricavino le relative condizioni analitiche.
Traccia III — 1
Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 22 Gennaio 2018 — Traccia IV
COGNOME NOME
1. Si determini il valore del parametro reale h per cui il sottoinsieme S ={(x, y, z)|x + 3hz = h − 3} `e un sottospazio vettoriale di R3 e per il valore trovato di h si determini una base B di S. Si completi infine B ad una base di R3.
2. Si discuta al variare del parametro reale h il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t:
x −y +2z +t =0
−x +(h2+ 1)y +z −2t=0
hy −3z +t =0
3. Sia f : R2,2 7→ R2,2 l’applicazione lineare cos`ı definita f
(x y z t
)
=
(x− z z y z + t
) .
Si determini la matrice A associata a f rispetto la base
{(1 0 0 0
) ,
(0 1 0 0
) ,
(0 0 1 0
) ,
(0 0 0 1
)}
di R2,2 e si determini la dimensione di Imf e di Kerf . Si stabilisca infine se A `e diagonalizzabile.
4. Nello spazio euclideo, fissato un riferimento cartesiano, si considerino il punto A(−3, 1, 1) e la retta
β :
{ x +2y− z=0 y− z =0
Si determini l’equazione cartesiana del piano π per A contenente la retta β. Si determinino infine i punti sull’asse Y a distanza 1 da π.
5. Si scriva la definizione di nucleo di un’applicazione lineare e si dimostri che un’applicazione lineare
`
e iniettiva se e solo se il suo nucleo consiste del solo vettore nullo.
6. Si scrivano le definizioni di riferimento affine e di coordinate affini di un punto dello spazio ordinario E3. Si scrivano i diversi modi di rappresentare una retta di E3.
Traccia IV — 1
