ESERCIZI DELLA SETTIMANA
Nicola Pellicanò , Enrico Massoni e Henri Poincaré May 31, 2013
1. ´
−
→γ −→ F · −→τ,−→
F (x, y) = (−y, x), −→γ (t) = (tcost, tsint), t[0, 2π]
2 .´
−
→γ
−
→F · −→τ −→
F (x, y) = (arctan(y), −xy)dove la curva ha come sostegno del perimetro del triangolo di vertici (1,0) (0,1) (0,-1) percorso in senso orario 3.´
−
→γ
−
→F ·−→τ−→
F (x, y, z) = (y−z, x+z, x+y), −→γ (t) = (2cost,√
2sint,√
2sint), t[0, 2π]
4.´
−
→γ
−
→F · −→τ−→
F (x, y, z) = (x2, y, z3), −→γ (t) = (2cost,√
2sint,√
2sint), t[0, 2π]
5. ´
−
→γ
−
→F · −→τ, −→
F (x, y) = (y22,x42), dove la curva è una parametrizzazione della frontiera del seguente insieme A : {(x, y)R2: 0 ≤ x ≤ 9−y2, (x−2)2+(y−1)2≥ 1}
6. Veri care la conservatività e calcolare il potenziale del campo−→
F (x, y, z) = (y + ex, x + z + 4y3, y − sinz)
7. Veri care la conservatività e calcolare il potenziale del campo−→
F (x, y, z) = (x2+y2x2+z2 + ey,x2+y2y2+z2 + xey,x2+y2z2+z2 +32√
z)
8. Dire per quali valori del parametro α il campo−→
F (x, y) = (4x − αy, 3y − 5x) è conservativo. Calcolarne il potenziale sapendo che U(1,1,2)=0
9. Veri care la conservatività, calcolare il potenziale, e calcolare il lavoro di
−
→F (x, y, z) = (x + z, −y − z, x − y)lungo il segmento congiungente i punti (1,1,1) e (1,0,0) [Ripetere il calcolo utilizzando la parametrizzazione del segmento]. Cal- colare il lavoro dello stesso campo lungo la curva −→γ (t) = (cos(2πt), t + 1, (t + 1)et), t[−1, 0]
1
2
