ESERCIZI SETTIMANALI Enrico Massoni and Nicola Pellicanò May 12, 2013

ESERCIZI SETTIMANALI

Enrico Massoni and Nicola Pellicanò May 12, 2013

1.Data la supercie parametrizzazione di una sfera x²+y²+z²= R²vericare se è regolare e trovare l'equazione del piano tangente nel punto A(^√R₃,^√R

3,^√R

3).

2. Data la supercie graco della funzione f(x, y) = log(1 + x²+ y²) deter- minare il versore normale alla supercie in un generico punto (u0, v0)

3.Data la supercie graco della funzione f(x, y) = xsin(xy) determinare il versore normale alla supercie in un generico punto (u0, v₀)

4. Data la supercie σ = (ucosv, usinv, v) u[0, 2], v[0, 2π], studiarne la re- golarità, calcolare il versore normale e il piano tangente nel punto P(-1,0,π)

5. Data la supercie σ = (e^−vcosu, e^−vsinu, cosu) u[0, 2π], v[0, 1], studiarne la

regolarità, calcolare il versore normale e il piano tangente nel punto P(¹₂e^−1/2,^√₂³e^−1/2,¹₂)

6.Data la supercie σ = ((3 + cosu)cosv, (3 + cosu)sinv, sinu) u[0, 2π], v[0, 2π], studiarne la regolarità, calcolare il versore normale e il piano tangente nel punto P(−2,0,0)

7. Determinare massimo e minimo assoluti di f(x, y) = x²+ 3y sull'insieme G = {(x, y)R²: ^x₄² +^y₉² = 1}

8. Determinare massimo e minimo assoluti di f(x, y) = x²y sull'insieme G = {(x, y)R²: x⁴+ y⁴= 1}

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9. Determinare massimo e minimo assoluti di f(x, y) = x²+ y² sull'insieme G = {(x, y)R²: (x − 1)³− y²= 0}

10. Determinare massimo e minimo assoluti di f(x, y) = x²+ y² sull'insieme G = {(x, y)R²: (x − 1)³− y²= 0}

11.Determinare massimo e minimo assoluti di f(x, y) = x + y sull'insieme G = {(x, y)R²: (x − 1)²+ y²≤ 4}

12.Determinare massimo e minimo assoluti di f(x, y) = e^x2−y2 sull'insieme G = {(x, y)R²: x²+ y²≤ 1}

13. Determinare massimo e minimo assoluti di f(x, y) = x²+ y² sull'insieme G = {(x, y)R²: (x − 1)³− y²= 0}

14. Determinare massimo e minimo assoluti di f(x, y) = p1 − x²− y²sull'insieme G = {(x, y)R²: y ≤ x}

(Per chi vuole provarci) Tra tutti i rettangoli inscritti nell'ellisse di equazione

x²

a² +^y_b²₂ = 1trovare quello di perimetro massimo.

Tra tutte le ellissi di semiassi x e y tali che x²+ y² = 5trovare quella di area massima.

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