ESERCIZI DELLA SETTIMANA
Nicola Pellicanò , Enrico Massoni e Henri Poincaré June 5, 2013
1. ´
−
→γ
−
→F · −→τ,−→
F (x, y) = (−y, x), −→γ (t) = (tcost, tsint), t[0, 2π]
−
→γ0(t) = (cost − tsint, sint + tcost) 6=−→ 0 ∀t
´b a
−
→F (−→γ (t)) · −→γ0(t)dt = ´2π
0 (−tsint, tcost) · (cost − tsint, sint + tcost)dt =
´2π
0 (−tsintcost + t2sin2t + tcostsint + t2cos2t)dt =´2π
0 t2dt =h
t3 3
i2π
0 = 83π3
2 .´
−
→γ
−
→F · −→τ −→
F (x, y) = (arctan(y), −xy)dove la curva ha come sostegno del perimetro del triangolo di vertici (1,0) (0,1) (0,-1) percorso in senso orario
Possiamo usare il teorema di Green!
´
−
→γ
−
→F · −→τ = −˜
D(∂F∂x2 − ∂F∂y1)dxdy = ˜
D(y + 1+y12)dxdy = ˜
Dydxdy +
˜
D(1+y12)dxdy
D è simmetrico rispetto all'asse x, il primo integrale è di una funzione dis- pari rispetto a y (quindi è nullo), mentre il secondo è pari rispetto a y ( e quindi il doppio della regione sopra l'asse x)
˜
Dydxdy +˜
D(1+y12)dxdy = 0 + 2˜
D+(1+y12)dxdy
2´1 0(´1−x
0 1
1+y2dy)dx = 2´1
0 [arctany]1−x0 dx = 2´1
0 arctan(1−x)dx = −2´1 0(1−
x)0arctan(1 − x)dx =
= −2[(1−x)arctan(1−x)]10−´ 2(1−x)
1+(1−x)2 = −2[(1−x)arctan(1−x)]10+ln(1 + (1 − x)2)1
0= 2arctan(1) − ln(2) = π2− ln2
3. ´
−
→γ
−
→F ·−→τ−→
F (x, y, z) = (y−z, x+z, x+y), −→γ (t) = (2cost,√
2sint,√
2sint), t[0, 2π]
−
→γ0(t) = (−2sint,√
2cost,√
2cost) 6=−→ 0 ∀t
´b a
−
→F (−→γ (t)) · −→γ0(t)dt =´2π 0 (√
2sint −√
2sint, 2cost +√
2sint, 2cost +√ 2sint) · (−2sint,√
2cost,√
2cost)dt =´2π 0 (2√
2cos2t+2sintcost+2√
2cos2t+2sintcost)dt =
´2π 0 (4√
2cos2t)dt +´2π
0 (2sin2t)dt = 4√ 2π
4.´
−
→γ
−
→F · −→τ−→
F (x, y, z) = (x2, y, z3), −→γ (t) = (2cost,√
2sint,√
2sint), t[0, 2π]
−
→γ0(t) = (−2sint,√
2cost,√
2cost) 6=−→ 0 ∀t
´b a
−
→F (−→γ (t))·−→γ0(t)dt =´2π
0 (4cos2t,√
2sint, 2√
2sin3t)·(−2sint,√
2cost,√
2cost)dt =
´2π
0 (−8sintcos2t+2costsint+4sin3tcost)dt = [83cos3t−12cos(2t)+sin4(t)]2π0 = 0 Piuttosto che fare tutti questi conti brutti avrei potuto capire subito che l'integrale faceva 0? SI!
Infatti il campo è conservativo (il dominio è tutto lo spazio, quindi semplice- mente connesso, e le derivate direzionali di F sono tutte nulle e quindi uguali).
In più un occhio attento nota come −→γ (0) = −→γ (2π) = (2, 0, 0)quindi è un arco chiuso! Allora sappiamo che il lavoro di un campo conservativo lungo una curva chiusa è nullo!
5. ´
−
→γ
−
→F · −→τ,−→
F (x, y) = (y22,x42), dove la curva è una parametrizzazione della frontiera del seguente insieme A : {(x, y)R2: 0 ≤ x ≤ 9−y2, (x−2)2+(y−1)2≥ 1}
Disegniamo l'insieme.
Possiamo pensare di usare Green. (Non l'ho scritto per sbaglio ma supponi- amo senso antiorario)
´
−
→γ
−
→F · −→τ =˜
A(∂F∂x2 −∂F∂y1)dxdy =˜
A(x2− y)dxdy
Per fare l'integrale su questa testa di pesce possiamo pensarla come sottrazione di regioni!
A = A1− A2
˜
A(x2 − y)dxdy =˜
A1(x2 − y)dxdy −˜
A2(x2 − y)dxdy
A1
A2
Pensiamo prima ad integrare su A1. L'insieme è simmetrico rispetto a x, quindi, se spezziamo l'integrale
˜
A1(x2 − y)dxdy =˜
A1 x
2dxdy −˜
A1ydxdy Il secondo pezzo fa 0!
Facciamolo per li orizzontali
˜
A1 x
2dxdy = ´3
−3(´9−y2 0
x
2dx)dy = ´3
−3
hx2 4
i9−y2
0
dy = ´3
−3 1
4(9 − y2)2dy =
1 4
´3
−3(81 + y4− 18y2)dy = 12h
81y −y55 − 6y3i3
0=12243 +2435 − 162 = 3245 Adesso passiamo all'integrale su A2, e lo facciamo in coordinate polari (x = 2 + ρcosθ
y = 1 + %sinθ
˜
A2(x2− y)dxdy =´2π 0 (´1
0 ρ(12(2 + ρcosθ) − 1 − ρsinθ)dρ)dθ =´2π 0 (´1
0 ρ2
2cosθ − ρ2sinθdρ)dθ =´2π
0
1
2cosθ − sinθh
ρ3 3
i1 0
dθ = 131
2sinθ + cosθ2π
0 = 0 Quindi abbiamo:
˜
A(x2 − y)dxdy =˜
A1(x2 − y)dxdy −˜
A2(x2 − y)dxdy = 3245
6. Veri care la conservatività e calcolare il potenziale del campo−→
F (x, y, z) = (y + ex, x + z + 4y3, y − sinz)
Il dominio del campo è R2, quindi semplicemente connesso. Dobbiamo veri-
care:
∂F2
∂x = ∂F∂y1
∂F1
∂z = ∂F∂x3
∂F2
∂z = ∂F∂y3
=⇒
1 = 1 0 = 0 1 = 1
OK Il campo è conservativo
Eseguiamo il calcolo del potenziale. Dobbiamo imporre:
∂U
∂x = y + ex
∂U
∂y = x + z + 4y3
∂U
∂z = y − sinz
Possiamo iniziare da qualunque equazione (integrali tutti facili). Partiamo dalla prima:
U (x, y, z) =´
y + exdx = yx + ex+ c(y, z)
Abbiamo trovato l'espressione iniziale del potenziale Scriviamo la seconda equazione
x +∂y∂c = x + z + 4y3=⇒ ∂c∂y = z + 4y3=⇒ c(y, z) =´
z + 4y3dy = zy + y4+ d(z) Sostituiamo quello che abbiamo trovato nell'espressione del potenziale
U (x, y, z) = yx + ex+ c(y, z) = yx + ex+ zy + y4+ d(z)
In ne l'ultima equazione
y + d0(z) = y − sinz =⇒ d0(z) = −sinz =⇒ d(z) =´
−sinzdz = cosz + k
U (x, y, z) = yx + ex+ c(y, z) = yx + ex+ zy + y4+ d(z) = yx + ex+ c(y, z) = yx + ex+ zy + y4+ cosz + k
PS Non uso e come fatto al tutorato perchè potrebbe intendersi erroneamente come l'esponenziale.
7. Veri care la conservatività e calcolare il potenziale del campo−→
F (x, y, z) = (x2+y2x2+z2 + ey,x2+y2y2+z2 + xey,x2+y2z2+z2 +32√
z)
Il dominio di F è R3\ (0, 0, 0). Nello spazio tridimensionale un dominio con un buco è semplicemente connesso! (vedi esempi lezione)
∂F2
∂x = ∂F∂y1
∂F1
∂z = ∂F∂x3
∂F2
∂z = ∂F∂y3
=⇒
ey−(x2+y4xy2+z2)2 = ey−(x2+y4xy2+z2)2
−(x2+y4xz2+z2)2 = −(x2+y4xz2+z2)2
−(x2+y4yz2+z2)2 = −(x2+y4yz2+z2)2
OK conservativo.
Calcoliamo il potenziale
∂U
∂x = x2+y2x2+z2 + ey
∂U
∂y = x2+y2y2+z2 + xey
∂U
∂z = x2+y2z2+z2 +32√ z
L'inizio è propizio un pò ovunque. Partiamo da x che è il migliore di tutti.
U (x, y, z) =´ 2x
x2+y2+z2 + ey= ln(x2+ y2+ z2) + xey+ c(y, z) Seconda equazione
2y
x2+y2+z2 + xey+∂y∂c =x2+y2y2+z2 + xey =⇒ ∂c∂y=0=⇒ c(y, z) = d(z)
U (x, y, z) = ln(x2+ y2+ z2) + xey+ c(y, z) = ln(x2+ y2+ z2) + xey+ d(z)
Terza equazione
2z
x2+y2+z2 + d0(z) = x2+y2z2+z2 +32√
z =⇒ d0(z) = 32√
z =⇒ d(z) = ´ 3
2
√z = z3/2+ k
U (x, y, z) = ln(x2+ y2+ z2) + xey+ d(z) = ln(x2+ y2+ z2) + xey+ z3/2+ k
8. Dire per quali valori del parametro α il campo−→
F (x, y) = (4x − αy, 3y − 5x) è conservativo. Calcolarne il potenziale sapendo che U(1,1)=0
Il dominio è tutto lo spazio. Semplicemente connesso. Dobbiamo solo dimostrare che le derivate incrociate siano uguali.
∂F2
∂x =∂F∂y1 =⇒ −5 = −α =⇒ α = 5
Riscriviamo
−
→F (x, y) = (4x − 5y, 3y − 5x)
Calcoliamo il potenziale (∂U
∂x = 4x − 5y
∂U
∂y = 3y − 5x
Prendiamo la seconda equazione tanto per cambiare un pò U (x, y) =´
3y − 5xdy = 32y2− 5xy + c(x) Prima equazione
-5y+c'(x)=4x-5y=⇒ c0(x) = 4x =⇒ c(x) =´
4xdx = 2x2+ d U (x, y) = 32y2− 5xy + 2x2+ d
Se deve valere U(1, 1) = 0
U (1, 1) =32− 5 + 2 + d = 0 =⇒ d = 32 Quindi:
U (x, y) = 32y2− 5xy + 2x2+32
9. Veri care la conservatività, calcolare il potenziale, e calcolare il lavoro di
−
→F (x, y, z) = (x + z, −y − z, x − y)lungo il segmento congiungente i punti (1,1,1) e (1,0,0) [Ripetere il calcolo utilizzando la parametrizzazione del segmento]. Cal- colare il lavoro dello stesso campo lungo la curva −→γ (t) = (cos(2πt), t + 1, (t + 1)et), t[−1, 0]
Il campo è de nito in tutto lo spazio bidimensionale, che è semplicemente con- nesso. Veri chiamo l'irrotazionalità:
∂F2
∂x = ∂F∂y1
∂F1
∂z = ∂F∂x3
∂F2
∂z = ∂F∂y3
=⇒
0 = 0 1 = 1
−1 = −1
Ok. Conversativo.
Calcoliamo il potenziale
∂U
∂x = x + z
∂U
∂y = −y − z
∂U
∂z = x − y U (x, y, z) =´
x + zdx =x22 + zx + c(y, z)
∂c
∂y = −y − z =⇒ c(y, z) =´
−y − zdy = −y22 − zy + d(z) U (x, y, z) =x22 + zx + c(y, z) = x22 + zx −y22 − zy + d(z)
x − y + d0(z) = x − y =⇒ d0(z) = 0 =⇒ d(z) = k U (x, y, z) =x22 + zx −y22 − zy + k
Calcoliamo il lavoro da A a B.
L = U (B) − U (A) = U (1, 0, 0) − U (1, 1, 1) =12 −12− 1 + 12+ 1 = 12
Per calcolare il lavoro lungo la curva schifosa troviamo quale è il punto nale ed iniziale di tale curva!
−
→γ (−1) = (1, 0, 0)
−
→γ (0) = (1, 1, 1)
Quindi si tratta di trovare il lavoro tra (1,0,0) ed (1,1,1) [possiamo farlo solo perche F è conservativo!] Il lavoro non sarà altro che l'opposto del precedente:
L = −12
