C o n c e n tr a z io n e

(1)

1

C o n c e n tr a z io n e

•Nello studio della distribuzione della ricchezza, èdi fondamentale importanza l’aspetto dellaconcentrazione. Intuitivamente, la concentrazione èelevata quando poche unità della popolazione possiedono gran parte della ricchezza. La concentrazione èminima (equidistribuzione) quando tutte le unitàhanno la stessa ricchezza. •Un carattere quantitativo trasferibile, le cui modalitàordinate sono x1,…,xn, si diceequidistribuitose ognuna delle nunità possiede una quota dell’ammontare del carattere pari a dove che coincide con la media aritmetica .

A n

1

∑

==

n inxA 1 x 2

•Se non c’èequidistribuzioneallora si haconcentrazione. •Si hamassima concentrazionequando una sola unitàdel collettivo possiede tutto l’ammontare del carattere e tutte le altre nulla, cioè •Esempio: si hanno 100 soggetti e l’ammontare complessivo del reddito mensile èA= 50.000€. Se c’èequidistribuzione ogni soggetto ha reddito pari a 500€mentre nel caso di massima concentrazione un solo soggetto ha reddito pari a 50.000€e gli altri soggetti non hanno reddito.

Axexxnn====−011K 3

M is u ra z io n e d e lla c o n c e n tr a z io n e (d is tr ib u z io n e u n it a ri a )

•Ammontare del carattereposseduto dalle iunità“piùpovere”dopo aver ordinato i termini della distribuzione (x1≤x2≤…≤xn) •Ammontare relativo del carattereposseduto dalle i unità“più povere” •Ammontare relativo del carattereposseduto dalla i unità“più povere”nel caso (ipotetico) di equidistribuzione: •Per qualsiasi distribuzione si ha: •All’aumentare della concentrazione aumentano le differenze: •Nel caso di massima concentrazione si ha:

∑

==+++=

i jjiixxxxA 121K

∑ ∑

====

n jj

i jji ixx AA Q 11 niFi= 1,==∀≥nniiQFeiQF iiQF− 0121====−nQQQK4

•Come indice sintetico si usa il rapporto di concentrazione di Giniche si ottiene come rapporto trae il suo valore massimo: •L’indice di Ginicresce al crescere del livello di concentrazione ed èsempre compreso tra 0 (nel caso di equidistribuzione) e 1 (nel caso di massima concentrazione). •Un altro strumento che permette di valutare il grado di concentrazione èlacurva di Lorenz. Si tratta di un grafico ottenuto unendo con dei segmenti i punti di coordinate (Fi, Qi), per i = 1,…,n. Maggiore èl’area tra la curva di Lorenze la bisettrice, maggiore èla concentrazione.

()

∑

− =−1 1

n iiiQF ()

∑ ∑ ∑ ∑

− =− = − =

− = −=− = 1 1

1 1 1 1

1 1 1 n ii

n ii n ii

n iii FQ FQF R

(2)

5

E s e m p io

•Per un gruppo di 5 soggetti si ha la seguente distribuzione del reddito mensile 5000Totale

3505

7504

30003

6502

2501

Reddito(xi)Unità(i) 6

•Non c’èequidistribuzionee quindi c’èconcentrazione. Per quantificarne il livello si ordinano prima le modalitàottenendo 210,8

0,6

0,4

0,2

Fi --

1,00

0,40

0,25

0,12

0,05

Qi 5000

3000

750

650

350

250

Reddito(xi) 1,18--

0,005000

0,402000

0,351250

0,28600

0,15250

Fi-QiAi da cui l’indice di Ginièpari a R =1,18/ 2 = 0,59

Curva di Lorenz 01 00,51 Fi

Qi

7

M is u ra z io n e d e lla c o n c e n tr a z io n e (d is tr ib u z io n e d i fr e q u e n z e )

•Ammontare del carattereposseduto dalle unità“piùpovere” (ossia quelle che possiedono un ammontare ≤xi) •Ammontare relativo del carattereposseduto dalle unitàcon ammontare ≤xi •Ammontare relativo del carattereposseduto dallaunitàcon ammontare ≤xinel caso (ipotetico) di equidistribuzione:

∑

==+++=

i jjjiiinxnxnxnxA 12211K

∑ ∑

====

K jjj

i jjji inxnx AA Q 11 nNFii= 8

M is u ra z io n e d e lla c o n c e n tr a z io n e (d is tr ib u z io n e in c la s s i)

•Ammontare del carattereposseduto dalle iclassi “piùpovere” dove abbiamo fatto l’ipotesi di uniforme distribuzione del carattere all’interno della classe e usato il valore centrale della classe •Ammontare relativo del carattereposseduto dalle iclassi “più povere” •Ammontare relativo del carattereposseduto dalleiclassi “più povere”nel caso (ipotetico) di equidistribuzione:

∑

==+++=

i jjjiiinxnxnxnxA 12211K

∑ ∑

====

K jjj

i jjji inxnx AA Q 11 nNFii=

(3)

9

•Un’approssimazione del rapporto di concentrazionesi ottiene in questo caso come in cui F0e Q0sono state poste per convenzione uguali a zero. •Se si ha a disposizione l’ammontare delle classi, questo viene utilizzato al posto dell’ammontare approssimativo

()()

∑

− =+++−−=

1 0111

K iiiiiQQFFR jjnx 10

E s e m p io

10,7352

0,4277

0,2264

0,0113 191163731687,562,52725-100

0,9708844685,5196017,511210-25

0,8477722725,51282,57,51715-10

0,6606011443137134571-5

0,15814472720,51440-1

Freq. (nj)Fatturato jxjjnx jAjQjNjF

( )( )

562,0...)2264,00113,0)(158,0660,0(0113,0158,01

1

1 011 =−+−−⋅−

=+−−=

∑

− =++

K jjjjjQQFFR 11

A s im m e tr ia

•Una distribuzione di frequenza con mediana Meèsimmetrica se:

K,,,23121ekeekeekeMxMxMxMxMxMx−=−−=−−=−−− K,,,23121−−===kkknnnnnn 12

•Una distribuzione si diceasimmetricase le condizioni precedenti non sono rispettate. In particolare, si può avere Asimmetria positiva: sono piùfrequenti le modalitàpiùpiccole; Asimmetria negativa: sono piùfrequenti le modalitàpiùgrandi.

(4)

13

M is u ra z io n e d e ll’ a s im m e tr ia

•L’indice di asimmetriapiùutilizzato èquello di Fisher: •Si noti che se la distribuzione di frequenza èsimmetrica si ha: e quindi si può costruire un indice di asimmetria basato su statistiche d’ordine: •Usualmente, quando gli indici sono maggiori di 0 si ha asimmetria positiva e quando sono negativi si ha asimmetria negativa.

( )

^{ }

 

 −=

∑

=

k jjjnxx n1

3 3111 σβ eeMQQM−=−31 ()() 13

13 2 QQ

QMMQee −−−− =β 14

•Per la prima distribuzione del numero di figli per un collettivo di 25 famiglie, che ha media 2,04 e deviazione standard 0,871 si ha: 25Totale

24

33

152

41

10

Frequenze(nj)N. Figli(xj)

Popolazione1 286,0 257232,4 871,0

1 31=

 



 

 =β

4,7232

15,0591

2,6542

-0,0010

-4,4995

-8,4897

( )

jjnxx3 −