Problem 12011
(American Mathematical Monthly, Vol.124, December 2017) Proposed by C. I. Valean (Romania).
Calculate
n→∞lim
1 n!
Z ∞
0
Z ∞
0
xn−yn
ex−ey dx dy −2n
.
Solution proposed by Roberto Tauraso, Dipartimento di Matematica, Universit`a di Roma “Tor Vergata”, via della Ricerca Scientifica, 00133 Roma, Italy.
Solution. We have that Z ∞
0
Z ∞
0
xn−yn
ex−ey dx dy= 2 Z ∞
0
e−xdx Z x
y=0
xn−yn
1 − e−(x−y)dy= 2An+ 2Bn, where
An= Z ∞
0
e−xdx Z x
z=0
(xn−yn) dy
= Z ∞
0
xn+1e−xdx − 1 n+ 1
Z ∞
0
xn+1e−xdx= (n + 1)! − n! = n n!
and Bn=
Z ∞
0
e−xdx Z x
y=0
(xn−yn)e−(x−y) 1 − e−(x−y) dy
= Z ∞
0
e−xdx Z x
y=0
(xn−yn)
∞
X
j=1
e−j(x−y)dy
=
∞
X
j=1
Z ∞
0
xne−(j+1)xdx Z x
y=0
ejydy − Z ∞
0
e−(j+1)xdx Z x
y=0
ynejydy
=
∞
X
j=1
1 j
Z ∞
0
xne−(j+1)x ejx−1 dx −(−1)nn!
jn+1 Z ∞
0
e−(j+1)x ejx
n
X
k=0
(−jx)k k! −1
! dx
!
=
∞
X
j=1
1 j
Z ∞
0
xne−xdx − 1 j
Z ∞
0
xne−(j+1)xdx −(−1)nn!
jn+1
n
X
k=0
(−j)k k!
Z ∞
0
xke−xdx − Z ∞
0
e−(j+1)xdx
!!
= n!
∞
X
j=1
1
j − 1
j(j + 1)n+1 −(−1)n jn+1
n
X
k=0
(−j)k+ (−1)n jn+1(j + 1)
!
= n!
∞
X
j=1
1
j − 1
j(j + 1)n+1 −(−1)n
jn+1 ·1 − (−j)n+1
1 − (−j) + (−1)n jn+1(j + 1)
= n!
∞
X
j=1
1
j − 1
j(j + 1)n+1 − 1 j+ 1
= n!
1 −
∞
X
j=1
1 j(j + 1)n+1
. Hence, as n goes to infinity,
1 n!
Z ∞
0
Z ∞
0
xn−yn
ex−ey dx dy −2n = 2An+ 2Bn
n! −2n = 2 − 2
∞
X
j=1
1
j(j + 1)n+1 →2 because
0 ≤
∞
X
j=1
1
j(j + 1)n+1 ≤ 1 2n
∞
X
j=1
1
j(j + 1) = 1 2n →0.
