Lezione del giorno 20 aprile 2009 Lemma. Sia a un elemento di periodo n>1 nel gruppo moltiplicativo G (dunque le potenze distinte di a sono a

(1)

Lezione del giorno 20 aprile 2009 Lemma.

Sia a un elemento di periodo n>1 nel gruppo moltiplicativo G (dunque le potenze distinte di a sono a

⁰

,a

¹

,…,a

^n-1

). Allora fra le potenze distinte di a:

{a

⁰

,a

¹

,…,a

^n-1

}

quelle di periodo n sono tutte e sole le potenze a

ⁱ

con 1in-1 ed i,n coprimi, e in particolare sono in numero di (n) .

Dimostrazione:

Notiamo che a

⁰

=1

G

ha periodo 1n, dunque le potenze di periodo n sono da ricercare fra le potenze a

ⁱ

con 1in-1.

Se a

ⁱ

ha periodo n, poniamo d=mcd(i,n): ovviamente i/d, n/d sono numeri naturali.

Si ottiene:

(a

ⁱ

)

^n/d

= (a

ⁿ

)

^i/d

= 1

Gi/d

= 1

G

Per una proprietà del periodo n dell’elemento a

ⁱ

, si ha che l’esponente n/d è multiplo di n, cioè n/d = nk, con k intero, da cui dk=1, d=1 e si ha la tesi che i,n sono coprimi.

Viceversa supponiamo i,n coprimi. La tesi è che a

ⁱ

ha periodo n. Sia c il periodo di a

ⁱ

: è il minimo esponente positivo tale che (a

ⁱ

)

^c

= a

^ic

=1

G

.

Per una proprietà del periodo n dell’elemento a, si ha che l’esponente ic è multiplo di n: ma i,n coprimi ed nic implicano nc, in particolare nc. D’altronde (a

ⁱ

)

ⁿ

=(a

ⁿ

)

ⁱ

= 1

Gi

= 1

G

, e per una proprietà del periodo c dell’elemento a

ⁱ

si ha che l’esponente n è multiplo di c, in particolare cn.

In totale n=c=periodo di a

ⁱ

e si ha la tesi.

Teorema.

Sia G un gruppo (moltiplicativo) ciclico finito di cardinalità n>1 e sia aG un generatore di G.

Allora fra gli elementi distinti di G (che sono per ipotesi le potenze distinte di a):

a

⁰

,a

¹

,…,a

^n.-1

si ha che un generico a

ⁱ

è generatore di G se e solo se 1in-1 ed i,n sono coprimi.

In particolare il numero dei generatori di G è (n) (funzione di Eulero di n).

Dimostrazione:

Basta applicare il Lemma, ricordando che un generatore di G non è altro che un elemento di periodo n.

Esempio.

Nel gruppo moltiplicativo ciclico Z

5

*= {[1], [2], [3], [4]} si è visto in un esempio precedente che a=[2] è un generatore : poiché la cardinalità è 4, tutti e soli i generatori saranno le potenze a

ⁱ

con 1i3 ed i,4 coprimi, cioè le potenze a

¹

=[2], a

³

=[8]=[3].

Se il gruppo moltiplicativo Z

n

* è ciclico per un certo valore di n>1, e se [a] è un generatore, essendo

(n) la cardinalità di Z

n

*, tutti e soli i generatori saranno le potenze [a]

ⁱ

= [a

ⁱ

], dove 1i(n)-1, e i,(n) sono coprimi, ed essi sono in numero di ((n)).

In particolare, se a è una radice primitiva modulo n (sempre che essa esista), le radici primitive modulo n sono tutte e sole le riduzioni a

ⁱ

modn, dove 1i(n)-1, e i,(n) sono coprimi, ed esse sono in numero di ((n)).

Anelli, campi e polinomi.

Un anello è insieme non vuoto in cui sono definite 2 operazioni (indicate rispettivamente con somma e prodotto) tali che:

- A(+) é gruppo commutativo

(2)

- A(×) é un semigruppo (cioè vale la proprietà associativa del prodotto)

- valgono le proprietà distributive: per ogni a,b,cA si ha a(b+c)=ab+ac, (b+c)a=ba+ca In un anello A vale la seguente proprietà:

per ogni aA, si ha 0

A

a=a0

A

=0

A

(infatti per esempio 0

A

+0

A

a=0

A

a=(0

A

+0

A

)a=0

A

a+0

A

a e basta usare la legge di cancellazione valida nel gruppo A(+)).

Un anello A è commutativo se il prodotto soddisfa la proprietà commutativa; è con unità se esiste l’elemento neutro del prodotto (indicato con 1

A

).

Sono esempi di anelli commutativi con unità: l’anello degli interi relativi, l’anello dei numeri razionali relativi, l’anello dei numeri reali relativi.

Anche l’insieme Z

n

rispetto alla somma e prodotto di classi di congruenza è un anello commutativo con unità.

Se A è un anello con unità, rispetto al prodotto è un monoide, dunque si può considerare il gruppo moltiplicativo A* degli elementi invertibili di A rispetto al prodotto.

Un anello commutativo con unità A è un campo se ogni elemento aA, a0

A

ha inverso in A rispetto al prodotto. In tale caso il gruppo A* è un gruppo commutativo coincidente con A-{0

A

} . Sono esempi di campi: il campo razionale e il campo reale. L’anello degli interi relativi non è un campo, perché gli unici elementi invertibili sono 1, -1.

Teorema.

In un campo A vale la legge di annullamento del prodotto: comunque dati a,bA, se ab=0

A

si ha a=0

A

oppure b=0

A

(equivalentemente se a,b0

A

allora ab0

A

).

Dimostrazione:

Sia per assurdo ab=0

A

con a,b0

A

. Per ipotesi esiste a

^-1

A, da cui b=1

A

b=(a

^-1

a)b=a

^-1

(ab)=a

^-1

0

A

=0

A

, contraddizione.

Se A è un anello commutativo con unità, ed x è una indeterminata, si può costruire l’insieme A[x]

dei polinomi a coefficienti in A nell’indeterminata x, formato dalle espressioni algebriche della forma: f(x) = a

0

+a

1

x+a

2

x

²

+….+a

m

x

^m

dove a

i

A, m intero³0.

Il polinomio nullo è quello con tutti i coefficienti =0

A

. Per un polinomio non nullo f(x) si definisce il grado gr(f(x)) uguale al massimo indice k tale che il coefficiente a

k

sia 0

A

: il coefficiente a

k

è allora detto coefficiente principale di f(x).

Fra i polinomi di A[x] si possono definire nel modo usuale una somma e un prodotto di polinomi (sfruttando le operazioni dell’anello A) che rendono A[x] un anello commutativo con unità, come A.

Nell’anello dei polinomi A[x] si possono definire i concetti di divisore e multiplo in modo analogo a quanto fatto per gli interi: dati f(x), g(x)A[x] si dice che f(x) è divisore di g(x) (o che g(x) è multiplo di f(x)) e si scrive f(x)ôg(x), se esiste h(x)A[x] tale che f(x)h(x)=g(x).

Dato un polinomio f(x)= a

0

+a

1

x+a

2

x

²

+….+a

m

x

^m

A[x] ed un elemento aA, si chiama valore assunto da f(x) in a l’elemento f(a)= a

0

+a

1

a+a

2

a

²

+….+a

m

a

^m

A ottenuto sostituendo x con a.

Se f(a)=0

A

si dice che a è radice o soluzione di f(x).

E’ facile verificare che, se f(x), g(x)A[x], h(x)=f(x)g(x), dato aA, si ha: h(a)=f(a)g(a).

Teorema di Ruffini.

Dato un polinomio f(x)A[x]:

un elemento aA è radice di f(x) Û (x-a)ôf(x).

(3)

Dimostrazione:

(Ü) Se esiste h(x)A[x] tale che f(x)=(x-a)h(x), si ha, calcolando il valore in a: f(a)=0

A

h(a)=0

A

(Þ) Per ogni aA ed ogni intero t>0 vale l’identità algebrica (che si può dimostrare direttamente o per induzione su t):

x

^t

- a

^t

= (x-a)(x

^t-1

+ax

^t-2

+…..+a

^t-2

x+a

^t-1

)

e da ciò segue che, se f(x)= a

0

+a

1

x+a

2

x

²

+….+a

m

x

^m

: (x-a) é divisore di

f(x)-f(a)=a

1

(x-a)+a

2

(x

²

-a

²

)+…..+a

m

(x

^m

-a

^m

)

(perché (x-a) è divisore di ogni x

^t

- a

^t

con t=1,2,….,m).

In particolare, se per ipotesi f(a)=0

A

, (x-a) è divisore di f(x).

Corollario.

Siano A un campo ed f(x) un polinomio non nullo in A[x] di grado n. Il numero di radici distinte di f(x) in A è n.

Dimostrazione:

Siano a

1

,a

2

,…,a

r

A radici distinte di f(x). Per il Teorema di Ruffini si ha f(x)=(x-a

1

)g

1

(x), con g

1

(x)A[x]. Da 0

A

=f(a

2

)=(a

2

-a

1

)g

1

(a

2

) e da a

2

-a

1

0

A

segue g

1

(a

2

)=0

A

(per la legge di annullamento del prodotto valida nel campo A). Di nuovo per il Teorema di Ruffini si ha g

2

(x)=(x-a

2

)g

2

(x), con g

2

(x)A[x], da cui f(x)=(x-a

1

)(x-a

2

)g

2

(x). Così procedendo, dopo r passi, si ha:

f(x)=(x-a

1

)(x-a

2

)…….(x-a

r

)g

r

(x) con g

r