Coefficiente di correlazione

(1)

yy xx

xy

SS SS

r SS

2

2

Coefficiente di correlazione





ⁿ

i

xx

x x

SS

1

2

) -

( 



ⁿ

i

yy

y y

SS

1

2

) - (





ⁿ

i

i i

xy

x x y y

SS

1

) - ( ) - (

2 1

2

) -

(

_xx

n

i

xx

x x n

SS    



2 1

2

) -

(

_yy

n

i

yy

y y n

SS ^  ^ 



xy n

i

i i

xy

x x y y n

SS    

1

) - ( ) - (

yy xx

r

xy



²

2



(2)

yy xx

xy

SS SS

r SS

2 2

 



   





ⁿ

i

n

i i n

i

xx

x x x x x x

SS

1 1

2 1

2

- 2

) - (

2 2

1

2

n x 2 x n

x SS

n

i i

xx

   



2 1

2

n x

x SS

n

i i

xx

  



2 1

2

n y

y SS

n

i i

yy

  



(3)





ⁿ

i

i i

xy

x x y y

SS

1

) - ( ) - (

 



   







ⁿ

i

n

i i n

i

i i

xy

x y x y x y x y

SS

1 1



  







ⁿ

i i n

i

i i

xy

x y y x x y n x y

SS

1 1

1

y x n y n x x n y y

x SS

n

i

i i

xy

    

1

y x n y x SS

n

i

i i

xy









1

(4)

yy xx

xy

SS SS

r SS

2 2

) )(

(

) (

2 1

2 2 1

2

2 2 1

y n y

x n x

y x n y x

r

_n

i i n

i i

n

i

i i







 

2 1

) (

x n x

y x n y

x

a

_n

i i n

i

i i



 





[6]

xx xy

SS a  SS

Se invece di “fittare” una retta di forma y=ax+b, usassimo una retta x=a’y+b’ (scambiando di fatto la x con la y)

2 1

) ( '

y n y

y x n y

x

a

_n

i i n

i

i i



 





r

²^

a a '

(5)

Se la retta è la stessa

a a 1

'  r

²^

1

(6)

Possiamo decidere di minimizzare la “vera distanza” dalla

retta (e non la sua proiezione lungo l’asse y)

(7)

La distanza di un punto da una retta di equazione y=ax +b è

1 ) (

a

2

b ax

d

_i

y

ⁱ ⁱ



 

Considerando tutti i punti avremo che la somma di tutte le distanze sarà

) , ( x

_i

y

_i

 

 



 

n

i

i i

n

i

a

b ax

d y

1 2

1

1 ) (

Eleviamo questa quantità al quadrato e la minimizziamo

(uguagliando a zero le derivate)

(8)

1 0

)]

( [

2

1

 







 



a

b ax

y a

i i

n

i

1 0

)]

( [

2

1

 







 



a

b ax

y b

i i

n

i

0 ) )](

( 1 [

2 1

1

2

   

  

 n

i

i i

i

ax b x

a y [ ( )]( 1 ) 0

1 2 1

1

2

   

  

 n

i

ax b

a y

... ...

(9)

(10)

) ( )

( )

(

_* ^* _*

L d L L e

n L dL

L

^L

L







^

dM e

n dM

M ) 0 . 4 ln( 10 ) 10

⁰^.⁴⁽ ¹⁾⁽^M ^M⁾ ¹⁰⁰^.⁴⁽^M ^M⁾

(

^

  









^

(11)

0.8]

- : [-1.3

 

L

BO

h L

^

 10

¹⁰ ^²

3 -

3

Mpc

0.02

^



 h

n M

^

 - 19.7  5log h

(12)

(13)

(14)

(15)

Catalogo RC3 (Third Reference Catalogue of bright galaxies) de Vaucouleurs et al. 1991

-

RC1 de Vaucouleurs & de Vaucouleurs 1964

-

RC2 de Vaucouleurs et al. 1976

12 000 galassie con:

D > 1’, cz < 15000 km/s B

_T

 15 . 5

Più altre 11000 galassie fuori dai limiti

5490 galassie entro 6000 km/s

(16)

cz≤6000 km/s

(17)

cz≤5000 km/s

(18)

cz≤4000 km/s

(19)

cz≤3000 km/s

(20)

cz≤6000 km/s

(21)

(22)

0.7  -



3 -

3

Mpc

0.03

^



 h

n

h

M

^

 - 20.5  5log

(23)

0.9  -



3 -

3

Mpc

0.02

^



 h

n

h

M

^

 - 20.5  5log

(24)

0.9  -



3 -

3

Mpc

0.01

^



 h

n

h

M

^

 - 21.3  5log