Università degli Studi di Trento

Università degli Studi di Trento

CORSO DI ANALISI MATEMATICA II DIPARTIMENTO DI FISICA ANNO ACCADEMICO 2017/2018

ALBERTO MAIONE

Undicesima lezione - 09/05/2018

1. Esercizi

Esercizio 1. Sia X = C(R) (insieme delle funzioni continue) e sia (f n ) _n ⊂ X la successione di funzioni definita puntualmente da f _n (x) = arctan(x) ∀n ∈ N, ∀x ∈ R. Studiare convergenza puntuale ed uniforme della successione (f _n ) _n e determinare il più grande sottoinsieme di R in cui si ha convergenza uniforme.

Soluzione:

Prima di andare a calcolare l’eventuale funzione limite f , osserviamo cosa accade a livello grafico:

Qui abbiamo riportato i grafici di f n (x) per i valori n = 1, 2, 3, 100.

Osserviamo le seguenti cose:

• al crescere di n ∈ N, e fuori da un intorno dell’origine sufficientemente piccolo, la successione (f n (x)) n si comporta nel seguente modo:

( f n (x) → ^π ₂ se x>0 f _n (x) → − ^π ₂ se x<0 al tendere di n all’infinito;

• in x = 0 invece:

f n (0) = arctan(0) = 0 → 0.

Intuiamo quindi che, se esistesse una funzione limite f , essa dovrebbe avere la seguente forma:

f : R → R

x 7→ f (x) =



 

 

π

2 se x > 0 0 se x = 0

− ^π ₂ se x < 0

Per dimostrare l’effettiva convergenza puntuale di (f _n ) _n a f fissiamo x ∈ R ⁺ e verifichiamo che

n→+∞ lim f n (x) = π 2

A tal fine, applicando la definizione di limite, fissiamo ε > 0 e andiamo a valutare la distanza in R:

d _R (f n (x), f (x)) = |f n (x) − f (x)| =  

 arctan(nx) − π 2    = π

2 − arctan(nx)

2

Osserviamo che tale quantità è minore di ε se e solo se:

π

2 − arctan(nx) < ε ⇐⇒ arctan(nx) > π

2 − ε ⇐⇒ nx > tan  π 2 − ε 

= cot(ε) ⇐⇒ n > 1 x cot(ε) Scelto quindi N = N (ε, x) = d 1

x cot(ε)e ∈ N (si osservi che tale quantità diventa molto grande per ε tendente a 0), sappiamo con certezza che d _R (f _n (x), f (x)) < ε ∀n > N , ovvero che (f _n ) _n converge puntualmente a f in R ⁺ (il caso x ∈ R ⁻ risulterà analogo, con opportuni aggiustamenti, mentre il caso x = 0 è già stato trattato precedentemente).

Osservazione 1. Essendo N = N (ε, x), non possiamo asserire che vi sia convergenza uniforme in tutto R (andrebbe verificato attraverso la definizione di convergenza uniforme); tuttavia, non essendo la funzione limite f continua in tutto R, per i noti teoremi, possiamo asserire con certezza che non c’è speranza di avere convergenza uniforme in tutto R. Per lo studio di tale convergenza, ci restringeremo al più grande sottoinsieme di R in cui la funzione limite f risulta essere continua: R ⁺ (oppure, analogamente, R ⁻ ).

Ricordiamo che condizione necessaria e sufficiente affinché la successione (f n ) n converga uniformemente a f (x) = ^π ₂ in R ⁺ è che la corrispondente successione numerica a n converga a 0 ∈ R, dove:

a n := sup

x∈R

|f n (x) − f (x)| = sup

x∈R

 arctan(nx) − π 2    = sup

x∈R

 π

2 − arctan(nx) 

= π 2 − inf

x∈R

arctan(nx) = π 2 Capiamo quindi che non vi è convergenza uniforme in tutto R ⁺ . Il problema risulta essere la vicinanza all’origine, che rende la quantità inf _x∈R

arctan(nx) = 0. Per poterci ’allontanare’ dall’origine, dobbiamo fissare α ∈ R ⁺ e studiare la convergenza uniforme nell’intervallo [α, +∞[. Graficamente:

Risulta infatti che

n→∞ lim a n = lim

n→∞ sup

x∈[α,+∞[

|f n (x) − f (x)| = lim

n→∞

 π

2 − inf

x∈[α,+∞[ arctan(nx)



= lim

n→∞

h π

2 − arctan(nα) i

= 0 poiché, dalla definizione di limite, fissato ε > 0 si ha che

π

2 − arctan(nα) < ε ⇐⇒ arctan(nα) > π

2 − ε ⇐⇒ nα > tan  π 2 − ε 

= cot(ε) ⇐⇒ n > 1 α cot(ε) Scelto quindi N = N (ε) = d 1

α cot(ε)e ∈ N, risulta essere verificata la definizione di limite ∀n > N . (Si

può, in modo del tutto analogo, dimostrare che il più grande sottoinsieme di R ⁻ in cui vi è convergenza

uniforme è del tipo ] − ∞, −β], con β ∈ R ⁺ prossimo allo 0).