Gli esercizi stessi vengono da una variet`a di fonti, principalmente vecchi compiti sia proposti da me sia tramandati, come “memoria del dipartimento”, dagli esercitatori del passato, spesso con modifiche e aggiornamenti.

Sommario

Questa `e una raccolta di esercizi indirizzati al corso di Fisica Generale II, elettromagnetismo, corso di laurea in Fisica. Si tratta di esercizi che propongo e svolgo a lezione durante il corso alla facolt`a di Fisica dell’Universit`a di Padova. Vuole essere di aiuto agli studenti che desiderano provare a fare gli esercizi per conto loro, ma non sostituisce la lezione in aula.

In particolare, le soluzioni, che si trovano alla fine dei capitoli, sono il pi` u delle volte solo accennate o `e messo solo il risultato numerico. Questo sia per non andare in competizione con il corso stesso, sia per la noia mortale che `e scrivere una soluzione completa di un esercizio per quanto semplice.

Gli esercizi stessi vengono da una variet`a di fonti, principalmente vecchi compiti sia proposti da me sia tramandati, come “memoria del dipartimento”, dagli esercitatori del passato, spesso con modifiche e aggiornamenti.

L’ordine degli esercizi segue pi` u o meno lo svolgimento del corso, e richiede, ovviamente, lo studio della teoria, che qui non viene minimamente trattata.

Le formule utilizzate per gli esercizi svolti in modo completo sono considerate

“date”, e non vengono dimostrate o giustificate, a meno che si tratti di casi particolari non coperti da un normale libro di testo.

La correzione delle bozze `e, o meglio dovrebbe essere, una parte importante della stesura di questi esercizi: per quanto abbia fatto attenzione, errori e imprecisioni sono sempre possibili, e anzi vi sar`o grato se vorrete segnalarmele.

Ultima nota riguardo alla licenza: questo scritto `e rilasciato con la licenza Creative Commons

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1se lo fate, vi voglio venire a vedere! O forse no . . .

1 Elettrostatica 1

1.1 Legge di Coulomb . . . . 1

1.2 Moto di cariche in campo elettrico . . . . 7

1.3 Carica immagine . . . . 9

1.4 Dipoli . . . 11

1.5 Condensatori . . . 13

1.6 Circuiti resistivi . . . 20

2 Magnetostatica 25 2.1 Campo magnetico . . . 25

2.2 Induzione elettromagnetica . . . 30

2.3 Circuiti RL . . . 33

2.4 Campi magnetici nella materia . . . 35

3 Onde e oscillazioni 37 3.1 Equazioni di Maxwell . . . 37

3.2 Onde E.M. . . 40

3.3 Circuiti RLC . . . 42

3.4 Sistemi a infiniti gradi di libert`a . . . 47

4 Ottica 50 4.1 Rifrazione . . . 50

4.2 Interferenza . . . 54

4.3 Diffrazione . . . 62

4.4 Reticoli . . . 65

4.5 Polarizzazione . . . 70

4.6 Lenti . . . 76

Capitolo 1

Elettrostatica

1.1 Legge di Coulomb

Esercizio 1

Quattro cariche puntiformi uguali, q = 1.0 µC, sono poste ai vertici di un quadrato di lato l = 0.1 m.

Determinare:

a. la forza ~ F su ogni carica;

b. l’energia elettrostatica U

del sistema;

c. il potenziale V

al centro del quadrato;

d. quale carica Q

si deve mettere al centro del quadrato per avere equilibrio;

e. se tale equilibrio `e stabile o meno.

Esercizio 2

y

x P

Si ha una distribuzione di carica uniforme su una sfera di raggio R = 1 m, la densit`a di carica per unit`a di volume `e pari a ρ = 1.9 ·10

C/m

. Vi `e all’interno della sfera una cavit`a anch’essa sferica, di raggio R

= R/2 e con centro sull’asse ˆ x ad una distanza pari a R/2 dal centro della sfera.

a. Calcolare il campo elettrico ~ E

b. e il potenziale V nel punto di P coordinate

(R, R, 0) (vedi figura)

Esercizio 3

Un filo di lunghezza 2l `e uniformemente carico con densit`a lineare di carica λ.

a. Calcolare il campo elettrico sull’asse del filo;

b. e il potenziale. Estendere al caso di lunghezza indefinita.

Esercizio 4

Calcolare il campo elettrico e il potenziale dovuto ad una sfera di raggio R uniformemente carica con densit`a di carica ρ.

a. Lo stesso se la carica `e solo sulla superficie.

b. Oppure se `e distribuita su un guscio sferico con raggio interno r.

Esercizio 5

Una piccola sfera con massa m = 11.2 mg `e carica con q = 0.76 nC. Essa `e appesa ad un filo lungo l = 5 cm e forma un angolo θ = 9.2 · 10

rad con la verticale, e si trova di fronte ad un foglio isolante e carico uniformemente con densit`a superficiale di carica σ.

a. Determinare σ.

b. Che angolo forma il filo se il foglio e’ un conduttore scarico?

Esercizio 6

Due fili indefiniti, paralleli, carichi uniformemente con densit`a di carica λ = 10

C/m, con segno opposto, distano d = 5 cm tra loro.

Calcolare:

a. il campo elettrico ~ E in un punto che dista 3 cm e 4 cm dal filo positivo e negativo, rispettivamente;

b. la forza per unit`a di lunghezza di attrazione tra i fili.

Esercizio 7

Un piano uniformemente carico con densit`a superficiale di carica pari a σ = 1.0 · 10

C/m

ha un foro circolare di raggio R = 10 cm. Sull’asse del foro, ad una distanza d = R si trova una carica puntiforme q = 2 · 10

C.

Calcolare:

a. la forza ~ F sulla carica;

b. il lavoro W per portare la carica q al centro del foro;

c. studiare la discontinuit`a del campo elettrico attraverso il foro,

1.1 Legge di Coulomb Capitolo 1 Elettrostatica

Esercizio 8

Tre cariche puntiformi q

= 8q, q

= 2q e q

= q con q = 1 · 10

C sono vincolate ad una circonferenza di raggio R = 9 cm e inizialmente si trovano ai vertici di un triangolo equilatero.

Determinare:

a. l’energia potenziale di q

; b. la forza agente su q

.

Successivamente q

viene spostata all’estremit`a del diametro che parte da q

, mentre q

viene lasciata libera di muoversi lungo la circonferenza.

Calcolare:

c. la posizione di equilibrio di q

;

d. l’energia elettrostatica del sistema all’equilibrio;

Esercizio 9

Da un anello sottile di materiale isolante, di raggio R = 10 cm, uniformemente carico con densit`a lineare λ = 1 · 10

C/m, viene rimossa una piccola sezione di lunghezza d = 1 cm.

Calcolare:

a. il campo elettrico su un punto generico dell’asse dell’anello;

b. la forza esercitata su carica q = 1 · 10

C che si trova al centro dell’anello;

c. il lavoro necessario per portare la carica q all’infinito.

Esercizio 10

Un cilindro metallico di raggio R = 10 cm e altezza h, isolato e neutro, ruota attorno al suo asse con velocit`a angolare ω = 3 · 10

rad/s. Gli elettroni di conduzione sono liberi di muoversi solo radialmente e quindi sono trascinati nel moto di rotazione del cilindro,

Calcolare:

a. il campo elettrico dentro il cilindro;

b. la differenza di potenziale tra l’asse e la superficie esterna;

c. la densit`a di carica sulla superficie e nel volume.

Soluzione esercizio 1

a. La forza totale sulla carica in basso a destra, rispetto ad un sistema cartesiano (x, y) `e:

F ~

=

0

q² l²



1 +

(ˆ x − ˆy) F

= 1.72 N b. U

=

Σ

U

=

4 +

= 0.48 J

c. V

= Σi = 1

V

=

0

√8 2

q

l

= 0.509 M V d. Q

= −

√

2 +

= −0.957 µC e. Equilibrio instabile.

Soluzione esercizio 2

a. Uso il principio di sovrapposizione e riduco il problema ad una sfera uniformemente carica R, +ρ e una R/2, −ρ. Visto che il punto P si trova fuori dalle sfere, per il teorema di Gauss e la simmetria delle sfere, il campo e il potenziale sono equivalenti al sistema con tutte le cariche concentrate al centro delle rispettive sfere.

E ~

= (2200ˆ x + 1890ˆ y) V /m b. V

= 4264 V .

Soluzione esercizio 3

a. ~ E =

r Dove ¯ ˆ θ `e l’angolo sotto cui viene visto il mezzo filo.

E = ~

0

1

r

ˆ r nel caso di filo indefinito.

b. V (r) =

0

ln

−l+√ l²+r²



Nel caso indefinito (l → ∞) V (r) non `e definito. Invece la differenza di potenziale `e ben definita:

∆V (r

, r

) =

ln

Soluzione esercizio 5

a. Equilibrio delle forze: σ = 2.36 · 10

C/m

b. Uso tecnica della carica immagine: il foglio conduttore `e equivalente ad una carica uguale e opposta a q posta simmetricamente rispetto al piano stesso. Ancora dall’equilibrio delle forze; θ = 0.17 rad

Soluzione esercizio 6

a. E

= 7.20 · 10

V /v E

= 2.1 · 10

V /m

b. F/l = 3.6 · 10

N/m

1.1 Legge di Coulomb Capitolo 1 Elettrostatica

Soluzione esercizio 7

a. Uso principio di sovrapposizione e considero un piano indefinito e un disco carico −σ. F = 8 · 10

N .

b. L = −∆U =



√

2 − 1

= 9.4 · 10

J

c. Non c’`e discontinuit`a a meno che il raggio del foro non tenda a zero, nel qual caso ∆E

=

0

Soluzione esercizio 8 a. U

= Q

V

= 2q

0

8q l

+

0

q l



= 1 · 10

J b.

F

= 3.7 · 10

N F

= −5.1 · 10

N

c. Studio il potenziale e cerco un minimo.

V

=

0

8q

2R cos θ

+

0

q 2R sin θ

Minimo per

= 0 cio`e θ = 26.5

. d. U

= 1.5 · 10

J.

Soluzione esercizio 9

a. Considero il principio di sovrapposizione tra anello completo e carica

−dλ sul buco.

E

= 1

4πǫ

λx

(x

+ R

)

(2πR − d) E

= 0

E

= 1

4πǫ

dRλ (x

+ R

)

b. ~ F (~0) =

0

λqd

R²

z = 9 · 10 ˆ

z N ˆ

c. L

= −

= −5.6 · 10

J

Soluzione esercizio 10

a. All’equilibrio gli elettroni di conduzione risentono di una forza centrifuga dovuta ad un campo elettrico che si crea per l’accumulo di cariche sulla superficie esterna del cilindro. E(r) =

.

b. Integrando il campo elettrico, ottengo la differenza di potenziale.

c. Usando Gauss su un cilindro coassiale di raggio r < R.

2πlE(r) = 1/ǫ

Z r

0

ρr2πrldr

Da cui risulta che ρ(r) =

= 9.06 · 10

C costante.

Dato che la carica iniziale del cilindro era nulla, la densit`a di carica superficiale si ottiene

σ = Q

S

= −Q

S

= −2m/eǫ

ω

πR

l

2πRl = −0.45 · 10

C/m

1.2 Moto di cariche in campo elettrico Capitolo 1 Elettrostatica

1.2 Moto di cariche in campo elettrico

Esercizio 11

Una carica puntiforme q = −2.0·10

C, massa m = 2·10

kg, viene attratta da una carica Q = 10

C distribuita uniformemente entro una sfera di raggio R = 1 m e massa molto grande. Quando la particella si trova a d = 2 m dal centro della sfera, viaggia ad una velocit`a pari a a v

= 264.5 m/s verso il centro della sfera.

Calcolare:

a. la velocit`a v

quando la particella incontra la superficie della sfera;

b. la velocit`a v

quando si trova al centro della sfera;

c. la distanza massima raggiunta dalla particella.

Esercizio 12

Una elettrone (e, m

) con velocit`a v

= 6.6 ·10

m/s attraversa uno spazio di lunghezza l = 2 cm, dove si trova un campo elettrico uniforme E = 1250 V /m perpendicolare a v

.

a. Calcolare la deflessione dell’elettrone ad una distanza L = 15 cm dopo la regione con campo elettrico.

b. Supponendo che l’elettrone sia accelerato, partendo da fermo, calcolare la d.d.p. V

necessaria.

c. Calcolare il lavoro L fatto dal campo deflettente.

Esercizio 13

Un corpo puntiforme con carica q, massa m, inizialmente fermo si trova all’interno di una sfera di raggio R uniformemente carica con densit`a ρ, ad una distanza r < R. Descrivere il moto.

Esercizio 14

Un sistema `e formato da un anello sottile, di raggio R = 0.2 cm e un filo indefinito entrambi carichi con densit`a di carica uniforme. La densit`a lineare di carica del filo `e pari a λ

= 10 · 10

C/m, quella dell’anello `e λ

. L’anello giace su un piano parallelo al filo, e la distanza del suo centro dal filo `e d = 45 cm. Si osserva che il campo elettrico nel punto P equidistante dal filo e dall’anello `e nullo.

a. Calcolare il valore di λ

;

Un protone si trova ad una distanza L = 2.0 m dal centro dell’anello, sul suo asse e dalla parte opposta rispetto al filo, con una velocit`a v

diretta verso l’anello.

Determinare:

b. v

affinch`e il protone si fermi al centro dell’anello;

c. la forza che subisce il protone quando si trova al centro dell’anello.

Soluzione esercizio 11

a. Uso conservazione dell’energia:

mv

+ U (d

) =

mv

+ U (R) . . . v

= 400 m/s

b. Attenzione: ho gi`a scelto il riferimento del potenziale U (R = ∞) = 0, devo calcolare U (0). Conosco il campo elettrico (usando th. Gauss), lo integro e ottengo la differenza di potenziale del centro della sfera rispetto alla superficie.

V (0) =

V (R) . . . v

= 500 m/s

c. Alla distanza massima, l’energia cinetica `e nulla. R

= 9 m Soluzione esercizio 12

a. Il moto `e uniforme lungo x e accelerato lungo y dentro il condensatore.

Deflessione ∆ = 1.61 cm.

b. V

=

= 124 V .

c. Il lavoro non `e nullo perch´e il moto non `e perpendicolare alla forza elettrica, solo all’ingresso del condensatore. Si pu`o calcolare integrando la forza o calcolando la differenza di energia potenziale.

L =

0

= 2 · 10

J = 1.25 eV

1.3 Carica immagine Capitolo 1 Elettrostatica

1.3 Carica immagine

Esercizio 15

Una sfera conduttrice di raggio R = 80 cm `e mantenuta a potenziale zero.

Ad una distanza pari a d = 1 m dal centro viene posta una carica puntiforme q = 3 · 10

C.

Calcolare:

a. la forza cui `e soggetta la carica;

b. la densit`a della carica indotta sulla sfera.

c. Si ripeta l’esercizio nel caso in cui la sfera sia inizialmente scarica e isolata.

d. Oppure isolata e inizialmente carica con q

= 6 · 10

C.

Esercizio 16

Ad un filo indefinito verticale con densit`a lineare di carica λ = 1.3·10

C/m

`e appesa, tramite un filo di lunghezza l = 20 cm, inestensibile, privo di massa e dielettrico, una carica puntiforme Q2 · 10

C, di massa m = 11.2 mg.

a. Calcolare la posizione di equilibrio della carica;

b. si tratta di equilibrio stabile o instabile?

Soluzione esercizio 15

a. Uso carica immagine: carica q

= −

q a distanza x

=

dal centro della sfera. F = 0.5 · 10

N .

b. So che sulla superficie E = σ/ǫ

, quindi devo calcolare il campo E sulla superficie (so gi`a che avr`a solo componente radiale). Parto dal potenziale e poi

E

= − ∂V (r = R)

∂r = 1

4πǫ

q R

R

− d

(d

+ R

− 2Rd cos θ)

ˆ r σ = ǫ

E.

c. Stessa situazione di prima, ma sulla superficie della sfera il potenziale

`e costante ma V (R) 6= 0. Metto una seconda carica immagine Q

al

centro della sfera. Dato che la sfera `e globalmente carica, Q

= −q

.

F = −0.435 · 10

N

d. Metto una ulteriore carica immagine Q = q

al centro della sfera e mi riconduco al caso precedente. F = −2.73 · 10

N .

Soluzione esercizio 16

a. L’equilibrio si ottiene quando tan θ =

, nell’ipotesi di angoli piccoli, si ottiene θ

=

, quindi θ = .146 rad

b.

1.4 Dipoli Capitolo 1 Elettrostatica

1.4 Dipoli

Esercizio 17

Un dipolo elettrico di momento p = 2 ·10

Cm viene posto ad una distanza d = 0.5 m da un filo molto lungo, uniformemente carico con densit`a lineare di carica λ = 10

C/m.

Il dipolo `e posto sul piano del filo, perpendicolare ad esso e orientato verso l’esterno.

Calcolare:

a. il lavoro necessario per trasportare il dipolo ad una distanza d/2 dal filo, mantenendo costante il suo allineamento. E’ fatto dal campo o contro il campo?

b. il lavoro necessario per ruotare di 30

il dipolo;

c. il momento torcente del dipolo prima e dopo la rotazione.

Esercizio 18

Tre dipoli elettrici identici, di momento ~p, |~p| = 1·10

Cm vengono portati dall’infinito nei punti P

, di coordinate, rispettivamente: P

(0, 0, 0), P

(0, −a, 0) e P

(0, +a, 0) con a = 1 · 10

m, e con il momento di dipolo orientato come l’asse z.

Calcolare:

a. il lavoro compiuto dalle forze del campo durante il processo;

b. il campo elettrico ~ E nei punti dell’asse z;

c. la componente lungo z della forza cui `e soggetto il dipolo nel punto P

.

Esercizio 19

Un quadrupolo elettrico `e costituito da quattro cariche identiche q, due positive e due negative, poste sui vertici di un quadrato di lato 2a, con cariche dello stesso segno poste sulle diagonali.

a. Calcolare il campo elettrico in un punto su uno degli assi del quadrato ad una distanza molto grande rispetto ad a.

Soluzione esercizio 17

a. La forza che subisce il dipolo `e F = ~

p

∂x

+ p

∂y

+ p

∂z



E ~

Per la simmetria del problema, la forza ´e radiale: F

= p

W =

p

dx =

pdE

=

2

= 7.2 · 10

J b. W = U

(1 − cos θ) =

(1 − cos θ) = −1.9 · 10

J

c. M = pE sin θ = 7 · 10

N m Soluzione esercizio 18 a.

U

= −~p

· ~ E

= −pE

= + 1 4πǫ

p

1 d

!

L = −∆U = −U

= p

4πǫ

1 a

+ 1

a

+ 1 (2a)

!

= −1.9 · 10

J b. E

=

0

2

r³

−



c. F

= −

= −

−~p · ~ E

=

pE

= p

E

F

(z = 0) = 0

Soluzione esercizio 19

a. Si pu`o considerare il sistema come due dipoli identici, con momento di dipolo p = 2qa, orientati in direzioni opposte. Il campo risultante

`e la somma dei due campi dei dipoli.

E

(R) =

−

i

= . . . =

1.5 Condensatori Capitolo 1 Elettrostatica

1.5 Condensatori

Esercizio 20

Quattro gocce d’acqua, uguali e sferiche, sono portate ad uno stesso potenziale V

= 100 V e poi isolate. Successivamente coalescono a formare una unica goccia.

a. Quale `e il potenziale della goccia?

b. Quale `e il rapporto tra l’energia elettrostatica finale e iniziale?

Esercizio 21

Due sferette metalliche uguali, S

e S

, inizialmente lontane tra loro, con raggio R

= 2 cm e massa m

= 5 g, inizialmente scariche, vengono collegate con fili conduttori ad una terza sfera metallica S

, R = 0.5 m, lontana da entrambe, che `e carica con Q

. Successivamente i fili vengono staccati e le sferette vengono sospese ad un unico punto tramite due fili isolanti lunghi l = 25 cm e si osserva che restano in equilibrio ad un angolo di θ = 30

con la verticale.

Calcolare, trascurando gli effetti di induzione mutua:

a. le cariche q

sulle sferette;

b. il potenziale della sfera S

prima del contatto;

c. l’energia elettrostatica della sfera S

prima del contatto;

Esercizio 22

V0

C2

C1

C

− +

B

3

A

Dato il circuito in figura, con C

= 1 µF , C

= 2 µF , C

= 3 µF e V

= 100 V , calcolare:

a. carica sulle armature;

b. energia elettrostatica totale del sistema;

c. cariche e energia elettrostatica totale del sistema se il punto B viene messo a terra;

d. cariche, energia elettrostatica e ∆V

se il punto A viene scollegato e poi B viene messo a terra.

Esercizio 23

Un condensatore `e formato da due armature semicircolari di raggio R =

50 cm, parallele, distanti d = 2 mm, incernierate al centro. Le armature

si sovrappongono per φ

= 60

e sono collegare ad una fem V

= 50 V . Successivamente il generatore viene staccato e le armature sono ruotate in modo da sovrapporle di φ

= 120

.

Trascurando tutti gli effetti di bordo, calcolare:

a. la ddp tra le armature;

b. il lavoro delle forze esterne per fare la rotazione.

Successivamente il generatore viene collegato e lo spazio tra le armature viene riempito con un dielettrico con κ = 3.

c. Determinare il lavoro compiuto dal generatore durante l’inserimento del dielettrico.

Esercizio 24

V0 C₂

C₃ C1

C4

− +

Il sistema di condensatori in figura `e collegato ad una d.d.p. V

= 15 V e i valori dei condensatori sono, rispettivamente: C

= 10 pF , C

= 4 pF , C

= 2 pF . Ai capi di C

si misura una d.d.p.

V

= 10 V . Calcolare:

a. Valore di C

;

b. energia elettrostatica totale del circuito.

Nel condensatore C

si inserisce una lastra di dielettrico con costante dielettrica relative κ = 5. Determinare:

c. il lavoro svolto dal generatore.

Esercizio 25

Un sistema `e costituito da un condensatore con piastre quadrate, di lato l = 20 cm, distanti d = 1 mm, alimentato con una ddp = 10 kV . Una delle due piastre `e collegata ad una molla di costante elastica k = 5 · 10

N/m, inizialmente a riposo. Il condensatore viene caricato dal generatore e successivamente isolato.

a. la posizione di equilibrio d

; b. studiare il moto delle piastre;

c. l’elongazione massima della molla.

Esercizio 26

Un condensatore piano ha armature quadrate di lato l = 20 cm, e distanti

1.5 Condensatori Capitolo 1 Elettrostatica

h = 1 cm. Lo spazio tra le due armature viene inserita una lastra conduttrice di spessore d = 5 mm.

a. Calcolare la forza esercitata sulle piastre se il condensatore `e carico e isolato.

b. Lo stesso se `e il condensatore `e collegato ad un generatore con ddp costante.

Esercizio 27

Un condensatore piano con piastre di superficie Σ = 200 cm

, e distanza h = 5 mm `e connesso ad generatore con ∆V = 500 V . Appoggiata all’armatura superiore si trova una lastra di dielettrico con la stessa superficie Σ e spessore d = 2 mm, costante dielettrica relativa κ = 2.

Nello spazio vuoto tra le armature c’`e un elettrone che viaggia orizzontalmente con v = 5 · 10

m/s, parallelamente alle armature.

a. Calcolare il campo elettrico dentro il dielettrico.

b. la carica totale presente sulla superficie inferiore del dielettrico;

c. la forza sull’elettrone.

Esercizio 28

Un condensatore sferico ha raggio interno R

, ad un potenziale V

= 1·10

V , e raggio esterno R

= 1 m, collegato a terra. L’energia elettrostatica del generatore `e W

= 5 · 10

J.

La sfera esterna, inizialmente a potenziale V = 0, viene portata al potenziale V

= 3 · 10

V rispetto alla terra, lasciando la sfera interna isolata.

L’intercapedine viene infine riempita, ad armature isolate, con un dielettrico liquido con costante dielettrica relativa κ = 2.

a. Calcolare R

.

b. L’energia del campo elettrico interno ed esterno con l’armatura esterna a potenziale V

.

c. Trovare l’energia elettrostatica del sistema con il dielettrico.

Esercizio 29

Un condensatore a facce piane e parallele, quadrate L = 5 cm, distanza h = 3 mm `e collegato ad una ddp ∆V = 1 kV . Una lastra di dielettrico, di spessore s = 1 mm, κ = 4, viene inserita tra le armature con velocit`a costante v. Calcolare:

a. v sapendo che nel circuito, durante l’inserimento, scorre una corrente

di I = 1 µA;

b. la forza esterna F

cui la lastra `e sottoposta;

c. la densit`a di carica di polarizzazione sul dielettrico quando `e completamente inserito.

Esercizio 30

Un condensatore piano, con armature quadrate (Σ = 0.1 m

, h = 1 cm) `e riempito con un dielettrico non omogeneo la cui costante dielettrica relativa κ varia in modo continuo da κ = 3 a κ = 5, passando dall’armatura positiva a quella negativa. E’ alimentato con una ddp ∆V = 1 kV .

Calcolare:

a. La capacit`a C del condensatore;

b. la densit`a di carica di polarizzazione sul dielettrico.

Soluzione esercizio 20 a. V

=

0

Q

R

, Q

= 4Q, il volume `e quattro volte quello della singola goccia, quindi il raggio `e R

= R4

. V

= 4

V = 252 V

b. R = 4

= 10.1.

Soluzione esercizio 21 a. All’equilibrio tan θ =

=

0

q²

(2l sin θ)²mg

|q| = 0.44 · 10

C

b. Dopo il contatto, il potenziale delle sfere `e lo stesso: Q

=

q

. Q

= Q

+ 2q

= 1 · 10

C. Il potenziale della sfera S

all’inizio del processo V

=

0

Q0

R0

= 1.8 · 10

V c. U

=

Q

V

= 0.9 J.

Soluzione esercizio 22

a. C

`e in serie con il parallelo di C

e C

.

Q

= 0.5·10

C, Q

= 1.0·10

C, Q

= 1.5·10

C. U = 0.75·10

J b. Resta solo il parallelo di C

e C

alimentato da ∆V

Q

= 1 · 10

C, Q

= 2 · 10

, U = 1.5 · 10

J.

c. Parallelo di C

e C

con carica uguale a quella presente prima di scollegare il generatore. ∆V

=

= 50 V .

Q

= 0.5 · 10

C, Q

= 1.0 · 10

C

1.5 Condensatori Capitolo 1 Elettrostatica

Soluzione esercizio 23

a. C

=

=

πR

= 23 pF C

= 2C

.

Le armature sono isolate, quindi la carica `e costante. V

=

f

V

= 25 V

b. L

= +∆U =

C

V

−

C

V

= −1.44 · 10

J Rotazione `e spontanea.

c. L

= V

∆Q = V

(Q

− Q

) = V

C

(κ − 1) = 2.3 · 10

J Soluzione esercizio 24

a. C

= 2 pF ;

b. U

= 4.5 · 10

J;

c. L

= 1.4 · 10

J.

Soluzione esercizio 25

a. La forza elettrostatica `e costante F

= Σ

0

=

= 17.7 N , la forza elastica F

= −kx. Equilibrio quando kx = F

: x

= 0.354 mm.

b. Il moto `e armonico, attorno alla posizione di equilibrio del punto precedente. x(t) = x

(1 − cos (ωt))

c. x

= 2x

= .708 mm Soluzione esercizio 26

a. Mentre la lastra di conduttore viene inserito per una profondit`a x, considero il sistema come due condensatori in parallelo, uno con e uno senza lastra di conduttore. Quello con il conduttore `e equivalente a due condensatori in serie, con una distanza totale tra le lastre h − d.

La capacit`a equivalente del sistema risulta:

C

=

(x(α − 1) + l) dove α =

L’energia elettrostatica risulta U

=

Ceq

Nel caso di carica costante, l’energia totale `e solo quella elettrostatica del condensatore, quindi la forza che subisce la lastra `e

F

= −∂U

∂x =

0l α−1 (x(α−1)+l)²

.

La forza `e positiva, la lastra viene risucchiata.

Si pu`o anche calcolare il lavoro totale durante l’inserimento della lastra.

L = −

−

> 0

b. Con condensatore collegato, l’energia totale tiene conto anche del lavoro del generatore per mantenere la ddp costante, che risulta essere il doppio della corrispondente variazione di energia elettrostatica:

quindi risulta F

= −∂U

∂x = +∂U

∂x U

=

, da cui F

=

(α − 1) Sempre attrattiva, come prima.

Da notare che anche se la forza `e attrattiva in entrambi casi, le forze sono diverse (dipendente da x nel primo caso, costante nel nel secondo) e anche il lavoro totale risulta diverso.

Soluzione esercizio 27

a. ∆V = E

(h − d) + E

d, e E

= κE

, quindi E

=

= 6.25 · 10

V /m; E

= 1.25 · 10

V /m.

Il campo nel condensatore completamente vuoto `e E = 1 · 10

V /m.

b. Q

= Σσ

= Σǫ

(κ − 1)E

= 1.11 · 10

C

La carica sulle armature `e Q = C∆V = 2.53 · 10

C c. F

= E

e

Soluzione esercizio 28

a. La capacit`a di un condensatore sferico `e C = 4πǫ

R2−R1

, essendo W

=

CV

si ottiene R

= 0.9 m.

b. Il sistema non `e pi` u un semplice condensatore, visto che non c’`e pi` u induzione totale tra le armature.

La carica sull’armatura interna `e Q

= V

∗ 4πǫ

R

= 1 · 10

C

Sull’armatura esterna, la carica `e invece Q

= V

∗ 4πǫ

R

= 3.33 · 10

C

Inoltre c’`e induzione totale tra l’armatura interna e quella esterna, quindi sulla superficie interna della armatura esterna, si trova una carica −Q

. La carica totale che vedo dall’esterno `e quindi solo Q

(schermo elettrostatico).

Il sistema `e quindi equivalente ad un condensatore sferico con raggio R

e R

e uno sferico con R

e R = ∞. L’energia risulta quindi:

W

=

1/R2−1/R2

W

=

c. Nel dielettrico E

= E

/κ, la densit`a di energia w

E

=

E ~

D =

ǫ ǫ E²

1.5 Condensatori Capitolo 1 Elettrostatica

W

= W

/κ, W

= W

W

= 7.5 · 10

J.

Soluzione esercizio 29

a. La capacit`a durante l’inserimento `e C(x) =

+

i =

= V

dt

= V

v

κh

−

Da cui si ricava v = 20.3 m/s

b. F

= +

=

C(x)V

= 2.5 · 10

N Soluzione esercizio 30

a. κ(x) = 3 +

1

C

=

=

ln

C = 0.35 nF

b. Q

= C∆V = 0.35 · 10

C.

Dentro il dielettrico ~ D `e costante, dato che dipende solo dalla carica libera D =

.

Il vettore polarizzazione P =

D e dipende da x tramite κ.

La densit`a di carica di polarizzazione sulle superficii del dielettrico vale:

σ

= ~ P ˆ n =

σ

(x = 0) = −

= −2.3 · 10

C/m

σ

(x = h) = +

= +2.8 · 10

C/m

All’interno del dielettrico, la densit`a di carica `e:

ρ

= −~ ∇ ~ P = − ∂P

∂x = − Q Σ

2/h (3 + 2x/h)

!

La carica totale che si trova dentro il dielettrico si ottiene integrando la densit`a nel volume. Q

= −

Q.

Come prevedibile, la somma totale delle cariche nel dielettrico risulta

nulla Q

=

−

−

+

Q = 0

1.6 Circuiti resistivi

Esercizio 31

Il circuito in figura `e alimentato con una generatore reale, con fem V

= 100 V e una resistenza interna R

= 10 Ω. Le resistenze hanno valori: R

= 1.0 kΩ, R

= 1.5 kΩ, R

= 2.0 kΩ.

R

R₃ R R1

2

i

A

B

C +

−

Calcolare:

a. il potenziale (rispetto a terra) dei punti A, B, e C;

b. la tensione ai capi del generatore reale.

Esercizio 32

Le resistenze del circuito in figura hanno valori: R

= 3 Ω, R

= 20 Ω, R

= 12 Ω, R

= 6 Ω, R

= 4 Ω, R

= 5 Ω, e la ddp ai capi del circuito `e

∆V = 5.4 V

R1

R2

R R

R

R6 3

4

5

Calcolare:

a. il valore della resistenza vista ai capi del circuito;

b. la corrente su ciascuna resistenza;

c. la differenza di potenziale resistenza.

Esercizio 33

Un festone di lampadine per l’albero di Natale `e composto da 50 lampadine

1.6 Circuiti resistivi Capitolo 1 Elettrostatica

poste in serie. Una di queste si brucia, e viene esclusa dal festone, cortocircuitando i capi.

a. Collegando il festone allo stesso generatore, la luce prodotta aumenta o diminuisce?

Esercizio 34

Una linea elettrica trasporta una potenza pari a W

= 45 M W ad una distanza di L = 25 km, con due cavi di alluminio (ρ

= 2.65 · 10

Ωm) con una sezione circolare di raggio R = 3 cm.

La potenza dissipata non deve superare complessivamente W

= 35 kW . a. Quale `e la minima ∆V che deve essere prodotta dal generatore?

b. Quale `e la caduta di potenziale tra il generatore e il carico a valle?

c. Quale sarebbe la potenza che il generatore dovrebbe erogare data la

∆V del punto a. per avere il massimo trasferimento di potenza sul carico?

Esercizio 35

Si consideri il circuito in figura.

+

−

R

R

R R

R

R +

−

1 2

3 4

5

6

a. Calcolare la corrente su ogni resistenza.

Esercizio 36

Si consideri il circuito in figura.

+

−

+

−

+

−

+

− 3

3V

10

4

10

6

6 5

V Ω

Ω

Ω

Ω

V V 1_Ω

a. Calcolare la corrente su ogni resistenza.

Esercizio 37

Gli elementi del circuito in figura sono i seguenti: R

= R

= 200 Ω, R

= 300 Ω, C = 10µC, V = 100 V e l’interruttore T inizialmente aperto.

All’istante t = 0 l’interruttore T viene chiuso, e si attende che il circuito arrivi all’equilibrio.

+

−

C V

R

R

R1

3

2

T

Calcolare:

a. I

su R

per t < 0;

b. la carica Q presente sulla capacit`a a regime;

c. la corrente I

in funzione del tempo;

d. la potenza P

dissipata sulla resistenza R

all’istante t = 4 ms.

Esercizio 38

Gli elementi del circuito in figura sono i seguenti: C

= 33 µF inizialmente carico con V

= 100 V , C

= 100 µF carico con V

= 50 V . La resistenza vale R = 75 Ω All’istante t = 0 l’interruttore T viene chiuso.

T

C C

1 2

V=0

R

Calcolare:

a. La corrente I(t) sulla resistenza;

b. L’energia W dissipata sulla resistenza.

1.6 Circuiti resistivi Capitolo 1 Elettrostatica

Soluzione esercizio 31

a. V

= 100 V , V

= 77.6 V V

= 44.3 V ; b. ∆V

= (100 − 0.22) V .

Soluzione esercizio 32 a. R

= 9 Ω;

b. i

= 0.48 A, i

= 0.12 A, i

= 0.08 A, i

= 0.16 A, i

= 0.24 A, i

= 0.6 A;

c. ∆V

= 1.44 V , ∆V

= 2.40 V , ∆V

= 0.96 V , ∆V

= 0.96 V ,

∆V

= 0.96 V , ∆V

= 3.00 V ; Soluzione esercizio 33

a. La luce emessa da una lampadina `e proporzionale alla potenza dissipata per effetto joule. Si pu`o quindi ragionare in termini di potenza dissipata da 50 o 49 lampadine. Occorre anche tenere conto della resistenza interna del generatore.

I = V

/R

+ N · R con N = 50, 49 P

=

i+N ·R)²

P

> P

se R <

50·49

Soluzione esercizio 34

a. La resistenza di ciascuno dei cavi `e R

=

= .235 Ω

La potenza dissipata sul carico `e W

= ∆V i, dove ∆V `e la ddp ai capi del carico, per ipotesi, da verificare a posteriori, supponiamo che sia la stessa ddp ai capi del generatore. La potenza dissipata sui due fili `e 2R

i

< W

. Quindi: ∆V > 164.4 kV .

b. La corrente erogata nel generatore `e i = W

/∆V = 273 A, quindi sui fili cadono complessivamente 128 V , trascurabili rispetto a ∆V c. Il massimo trasferimento si ottiene quando la potenza sul carico `e

massima, e questo avviene quando la resistenza di carico `e uguale alla

resistenza interna, nel nostro caso R = 2R

. Con la ∆V del punto

a. la corrente dovrebbe essere i

≈ 165 kA, e quindi il generatore

dovrebbe erogare W

= 25 GW , di cui met`a verrebbe dissipata sui

fili, e met`a sul carico. Per confronto, la potenza totale impiegata in Italia `e dell’ordine di 30 GW .

Soluzione esercizio 35

a. Nel verso indicato in figura su ogni resistenza: I

= 2.15 A, I

= 2.62 A, I

= −0.38 A, I

= 1.77 A, I

= −0.85 A, I

= 1.77 A.

Soluzione esercizio 36

a. Nel verso indicato in figura su ogni resistenza: I

= −0.544 A, I

= 0.474 A, I

= 1.018 A, I

= −0.105 A, I

= 1.123 A.

Soluzione esercizio 37 a. i =

1+R2

= 0.25 A;

b. Q =

1+R2

= 5 · 10

C;

c. I

(t) = 0.25 [A] ·



1 − 0.25e



d. P

= R

I

(t = 4 ms) = 15.45 W Soluzione esercizio 38

a. i(t) =

k



1 −

e

t RCk

b. W

= U

− U

=

−

= 3.1 · 10

J, dove V

=

1+C2

= 62.4 V

Capitolo 2

Magnetostatica

2.1 Campo magnetico

Esercizio 39

Due fili rettilinei indefiniti, paralleli, distanti d = 1 m, sono percorsi in versi opposti da correnti i

= 1 A e i

= 2 A. Tra i due fili, e complanare ad essi, si trova una spira quadrata con lato a = 20 cm, con due lati paralleli ai fili e percorsa da corrente i

.

Calcolare:

a. la forza tra i fili per unit`a di lunghezza;

b. la posizione di equilibrio della spira.

Esercizio 40

Una spira circolare di raggio R = 10 cm `e percorsa da una corrente I = 10 A.

Calcolare:

a. Campo magnetico ~ B sull’asse della spira;

b. ~ B al centro della spira;

c. La circuitazione di ~ B lungo l’asse della spira;

Esercizio 41

Un solenoide di lunghezza finita L e raggio R `e costituito da N avvolgimenti di un filo percorso da una corrente I.

Calcolare:

a. Campo magnetico ~ B sull’asse del solenoide;

b. Il rapporto tra il campo al centro e quello di un solenoide infinito;

c.

affinch´e il campo al centro sia 1% inferiore di quello di un solenoide infinito;

d. Il rapporto tra il campo ai bordi del solenoide e quello al centro.

Esercizio 42 Bobine di Helmoltz

Due spire uguali, parallele, percorse nello stesso verso dalla stessa corrente I, di raggio a sono distanti 2b tra loro.

Calcolare:

a. Campo magnetico ~ B sull’asse del sistema;

b. la condizione per cui B(x) vicino al centro risulta indipendente da x fino alla 3

potenza;

c. fino a quali valori di x, data la condizione di cui al punto precedente,

B(x)−B(0)

B(0)

< 1%.

Esercizio 43

Una sottile barra di grafite (ρ = 1 · 10

Ωm), lunga L = 200 cm e sezione quadrata a = 2 mm, `e immersa in un campo magnetico B = 0.8 T , perpendicolare ad una delle facce laterali. Le due estremit`a della barra sono collegate ad una fem V

= 5 V .

Calcolare:

a. la potenza erogata dal generatore;

b. la forza necessaria per tenere ferma la barra;

c. la d.d.p. tra le due coppie di facce opposte N (e

) = 0.5 · 10

mm

.

Esercizio 44

Un solenoide con densit`a di spire n = 10spire/cm `e percorso da una corrente I = 12 mA, ha asse perpendicolare al campo magnetico terrestre ~ B

. Un ago magnetico, con momento di dipolo µ = 6.6 · 10

Am

, massa m = 10 g e lunghezza l = 1 cm, si orienta a θ = 30

rispetto alla direzione di ~ B

.

a. ~ B

b. il momento delle forze per tenere fermo il dipolo lungo B

;

c. la frequenza di oscillazione del dipolo per piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio;

d. il lavoro meccanico necessario per invertire la direzione del dipolo

rispetto al punto b..

2.1 Campo magnetico Capitolo 2 Magnetostatica

Esercizio 45

Un tubo cilindrico dielettrico molto lungo, con raggio R = 10 cm la la superficie carica con densit`a σ = 0.5 C/m

e ruota attorno al suo asse con velocit`a angolare ω = 10 rad/s.

a. Calcolare ~ E e ~ B all’interno e all’esterno del del cilindro.

b. Calcolare ~ E e ~ B all’interno e all’esterno del del cilindro nell’ipotesi che

la velocit`a angolare aumenti linearmente ω = αt, con α = 2 rad/s

.

Soluzione esercizio 39 a. F/l = 1 · 10

N/m;

b. x

= 32 cm, x

= −2.5 cm Soluzione esercizio 40 a. B =

sin

θ;

b. B(0) = 6.28 · 10

T ; c. C(B) = µ

I.

Soluzione esercizio 41 a. .

b. . c.

> 14 d. .

Soluzione esercizio 42 a. .

b. a = 2b;

c. x < 0.305 a

Soluzione esercizio 43 a. P = 5 W ;

b. F = 1.6 N ; c. ∆V = 10 µV .

Soluzione esercizio 44 a. B

=

= 2.6 · 10

T ; b. τ = µB

= 9.9 · 10

N m

c. ¨ θ = −

θ , ω =

, ν =

= 7.76 · 10

Hz

Soluzione esercizio 45