b la distanza reciproca massima ` e 2 d nessuna delle precedenti

Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 12 giugno 2019

(1) Delle soluzioni dell’equazione z

− i = 0 nel piano complesso a una cade sull’asse reale

c nessuna cade nel primo quadrante

b la distanza reciproca massima ` e 2 d nessuna delle precedenti

(2) La serie

+∞

X

n=0

(2n)!

2

(n!)

` e convergente a per ogni α < 2

c se e solo se α > 3

b per nessun α ∈ R

d nessuna delle precedenti (3) La funzione g

(x) = cosh(x

) − √

1 + sin x per x → 0

ha ordine di infinitesimo a 1 per ogni α > 0

c 2 per qualche α > 2

b minore di 1 per qualche α < 1 d nessuna delle precedenti (4) La funzione f (x) = 2

− 2x

a ammette un unico zero in (−∞, 1) c non ammette asintoti

b ammette un unico punto di flesso d nessuna delle precedenti

(5) L’integrale

Z

x

| sin x| dx a 3π

+ 2π

c 2π

+ 3π − 4

b 3π − 6

d nessuna delle precedenti (6) L’integrale improprio

Z

0

e

− 1

x

(cosh x − 1) converge a per qualche α > 3

c per ogni α < 1

b per nessun α ∈ R

d nessuna delle precedenti

Soluzione

(1) La risposta corretta ` e b . Infatti, le soluzioni dell’equazione z

− i = 0 corrispondono alle radici quarte di w = i = cos

+ i sin

e sono date da

z

= cos

π 2+2kπ

4

+ i sin

π 2+2kπ

4

= cos

+ i sin

, k = 0; 1; 2; 3.

Abbiamo pertanto

z

= cos

+ i sin

, z

= cos

+ i sin

z

= cos

+ i sin

, z

= cos

+ i sin

Poich´ e tali radici, nel piano complesso, si dispongono sui vertici di una quadrato inscritto nella cir- conferenza di centro l’origine e raggio 1 (|z

| = 1 per ogni k), la distanza reciproca massima `e pari alla lunghezza della diagonale del quadrato, ovvero del diametro della circonferenza, e dunque vale 2.

(2) La risposta corretta ` e d . Applichiamo il criterio del rapporto, quindi posto a

=

, calcoliamo il limite di

n

per n → +∞. Abbiamo a

a

= (2n + 2)!

2

((n + 1)!)

· 2

(n!)

(2n)! = (2n + 2)(2n + 1)(2n)!

2 2

(n + 1)

(n!)

· 2

(n!)

(2n)!

= (2n + 2)(2n + 1) 2(n + 1)

∼ 2

n

→



 



 



0 se α > 2 2 se α = 2 +∞ se α < 2

Dato che 2 > 1, dal criterio del rapporto possiamo conlcudere che la serie converge se e solo se α > 2.

(3) La risposta corretta ` e b . Dagli sviluppo notevoli per x → 0

, per ogni α > 0 abbiamo g

(x) = cosh(x

) − √

1 + sin x = 1 +

+

+ o(x

) − (1 +

sin x −

sin

x + o(sin

x))

=

+

+ o(x

) −

(x + o(x

)) −

(x + o(x

))

+ o((x + o(x

))

)

=

+

+ o(x

) −

+

+ o(x

) =



 



 



−

+ o(x) se 2α > 1

x²

6

+ o(x

) se 2α = 1

x^2α

2

+ o(x

) se 2α < 1 Ne segue che per x → 0

ord g

(x) =



 



 



1 se α >

2 se α =

2α se α <

in particolare, per ogni α <

abbiamo che ord g

(x) = 2α < 1, e quindi che l’ordine di infinitesimo ` e minore di 1 per qualche α < 1.

(4) La risposta corretta ` e d . La funzione f (x) = 2

− 2x `e definita e continua in R. Abbiamo

x→−∞

lim f (x) = +∞, dato che lim

x→−∞

2

= 0, e lim

x→+∞

f (x) = +∞, poich´ e dalla gerarchia degli infiniti

risulta lim

x→+∞

2

2x = +∞. La funzione non ammette pertanto asintoti verticali e orizzontali, abbiamo per` o

x→−∞

lim

f (x)

x

= lim

x→−∞

2^x

x

− 2 = 2 e lim

x→−∞

f (x) + 2x = lim

x→−∞

2

= 0

e dunque che y = −2x ` e asintoto obliquo per x → −∞. Osserviamo che la funzione non ammette invece asintoto obliquo per x → +∞.

La funzione ` e inoltre derivabile in R con f

(x) = log 2 2

− 2 per ogni x ∈ R e risulta f

(x) > 0 se e solo se x > log

(

) = 1 − log

(log 2) = x

. Dal criterio di monotonia abbiamo allora che la funzione ` e strettamente crescente in (−∞, x

], strettamente decrescente in [x

, +∞) e che x

` e punto di minimo assoluto

. Osserviamo che x

= 1 − log

(log 2) > 1, in quanto log

log 2 < 0. Infatti, essendo 2 < e si ha log 2 < 1 e dunque log

(log 2) < 0.

Infine la funzione ` e derivabile due volte in R con f

(x) = log

2 2

> 0 per ogni x ∈ R. Dal criterio di convessit` a abbiamo quindi che f (x) ` e convessa in R.

Da quanto ottenuto possiamo concludere che

a ` e falsa, la funzione ` e positiva in (−∞, 1) dato che f (1) = 0 e che f (x) ` e strettamente decrescente in (−∞, 1);

b ` e falsa, la funzione ` e convessa in tutto R dunque non ammette punti di flesso;

c ` e falsa, la funzione ammette un asintoto obliquo per x → −∞.

(5) La risposta corretta ` e d . Per calcolare

Z

2

0

x

| sin x|, dx, osserviamo innanzitutto che dalla propriet` a di additivit` a dell’integrale si ha

Z

2

0

x

| sin x| dx =

Z

x

sin x dx −

Z

2

π

x

sin x dx

Per calcolare tali integrali, determiniamo una primitiva di x

sin x. Integrando per parti due volte otteniamo

Z

x

sin x, dx = −x

cos x +

Z

2x cos x dx = −x

cos x + 2x sin x −

Z

2 sin x dx

= x

cos x + 2x sin x + 2 cos x + c, c ∈ R quindi

Z

0

x

| sin x| dx =

Z

x

sin x dx −

Z

π

x

sin x dx

= ^î x

cos x + 2x sin x + 2 cos x ^ó

0

− ^î x

cos x + 2x sin x + 2 cos x ^ó

3π 2

π

= 2π

+ 3π − 6

(6) La risposta corretta ` e d . Per stabilire per quali valori di α ∈ R l’integrale ^R

dx converge, osservato che la funzione integranda ` e continua in (0, +∞), dobbiamo stabilire per quali valori di α ∈ R risultano convergenti entrambi gli integrali

Z

e

− 1

x

(cosh x − 1) dx e

Z

1

e

− 1

x

(cosh x − 1) dx

1

Osservato che f (1) = 0, otteniamo che f (x

) < f (1) = 0. Dal teorema dei valori intermedi e dalla monotonia

stretta possiamo allora concludere che la funzione ammette due soli zeri, uno in (−∞, x

) e uno in (x

, +∞).

Riguardo al primo integrale, osserviamo che e

− 1

x

(cosh x − 1) ∼ x

x

= 2

x

, per x → 0

,

e ricordando che ^R

dx converge se e solo se p < 1, dal criterio del confronto asintotico otteniamo che ^R

dx converge se e solo se α − 1 < 1, ovvero α < 2.

Riguardo all’integrale ^R

dx, osservato che cosh x =

∼

per x → +∞, si ha e

− 1

x

(cosh x − 1) ∼ e

x

= 2

x

, per x → +∞.

Dal criterio del confronto asintotico, ricordando che ^R

dx converge se e solo se p > 1, otteniamo che ^R

dx converge se e solo se α > 1.

Riunendo quanto trovato possiamo concludere che l’integrale dato converge se e solo se 1 < α < 2.