(a) dimostrare che per ogni n ∈ N (P n ) ammette un’unica soluzione massimale y n ; (b) dimostrare che per ogni n ∈ N y n `e definita globalmente;

Esercizio 1. Data la successione di problemi di Cauchy (P _n )

(

y _n ⁰ = x ²ⁿ⁺¹ − arctan y _n y _n (0) = 0,

(a) dimostrare che per ogni n ∈ N (P _n ) ammette un’unica soluzione massimale y _n ; (b) dimostrare che per ogni n ∈ N y n `e definita globalmente;

(c) dimostrare che per ogni n ∈ N y n `e crescente in [0, ∞) e decrescente in (−∞, 0];

(d) calcolare lim x→±∞ y n (x);

(f) calcolare se possibile lim _n→∞ y _n (x) per x ∈ [0, 1/2]. Dire poi se tale limite `e uniforme.

Esercizio 2. Dato il sistema

½ Y ⁰ = AY + B,

Y (0) = (0, 0, 2) ^t , dove A =



 1 0 0

−1 2 0 1 1 3



 e B =



 1 0 0



 ,

si chiede di:

(a) scrivere una matrice fondamentale del sistema;

(b) calcolare det e ^A ; (c) trovare la matrice e ^Ax ;

(c) calcolare la soluzione del sistema.

Esercizio 3. Risolvere 





y ⁰ = 1 arctan ¡ _y

x

¢ + y x , y(1) = 1.

Esercizio 4. Risolvere (

x ² y ⁰⁰ − 2xy ⁰ + 2y = ln x y(1) = 3/4, y ⁰ (1) = 1/2.

Esercizio 5. Considerato il problema di Cauchy (P )

(

u ⁰⁰ = −ue ^u − e ^u + sin u, u(0) = e, u ⁰ (0) = π,

si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

(a) (P ) ha un’unica soluzione locale; V F

(b) u `e definita in tutto R; V F

(c) u `e di classe C ^∞ in R; V F

(d) u `e convessa in un intorno di x = 0. V F

N.B. Giustificare tutte le risposte!

A.A. 2007/2008 – II Esercitazione – 10 giugno 2008 Esercizio 1. Dato il problema di Cauchy

(P )

 



y ⁰ = y ³ − x e ^y

+ ln ² x y(1) = 0,

(a) dimostrare che (P ) ammette un’unica soluzione massimale y;

(b) dimostrare che y `e definita globalmente;

(c) dimostrare che esiste x ₀ ∈ (0, 1) di massimo assoluto per y;

(d) calcolare se possibile lim _x→∞ y(x);

(e) tracciare un grafico approssimativo di y.

Esercizio 2. Trovare l’unica funzione f ∈ C ² (R) con f (0) = 0 e f ⁰ (0) = 1 tale che la f.d.l.

ω(x, y) = ¡

ye ^xy + f ⁰ (x)f ⁰ (y) ¢

dx + ¡

xe ^xy − f (x)f (y) ¢ dy risulti esatta in R ² . Si chiede poi di:

(a) calcolare il potenziale F tale che F (0, 0) = 1;

(b) calcolare Z

γ

ω,

dove γ : [0, π] → R ² `e definita da γ(t) = (sin t ^π , cos t ^e ).

Esercizio 3. Risolvere 

 



 



y ⁰ = − e ^x ln y 2 e ^x

y + 1 ,

y(1) = e.

Esercizio 4. Dire quali tra le seguenti serie trigonometriche `e la serie di Fourier di una funzione f ∈ L ² _2π ed in quali casi certamente f ∈ C 2π :

X ∞ n=1

ln(2 + cos(n!))

cos n + n ^4/7 cos nx, X ∞ n=2

cos(ln(Γ( √ n)))

n ^3/2 − n ^−3/2 sin nx, X ∞ n=1

Γ(e ⁻ⁿ ) + sin n

ln n + sin e ⁿ cos nx.

Esercizio 5. Considerati i problemi di Cauchy seguenti, si dimostri o si confuti l’affermazione per cui tutti ammettono una ed una sola soluzione locale, che, in caso affermativo, si chiede di scrivere esplicitamente:

 



y ⁰ = ln y + y − 1 e ^x + tan y , y(0) = 1;

( y ⁰ = p

|y|x, y(0) = 0;

( y ⁰ = p

|y|x, y(0) = π;

 



y ⁰ = − 1

√ y + 1 ,

y(0) = 0.

A.A. 2007/2008 – 16 giugno 2008

Esercizio 1. Dato il problema di Cauchy (P )

(

y ⁰ = e ^x − p

y ² + e ² y(0) = 0,

(a) dimostrare che (P ) ammette un’unica soluzione massimale y;

(b) dimostrare che y `e definita globalmente;

(c) dimostrare che esiste x 0 > 1 di minimo assoluto per y;

(d) calcolare se possibile lim x→±∞ y(x);

(e) tracciare un grafico approssimativo di y.

Esercizio 2. Trovare l’unica funzione continua f definita in un intorno di x = 2 tale che f (2) = 1 e tale che per ogni x nel suo dominio risulti

Z _x

1

t ² f (t) dt = x Z _x

1

f (t) dt.

Cosa cambierebbe se R _x

1 fosse sostituito da R _x

a , a 6= 1?

Esercizio 3. Risolvere, se possibile,

rot U = (2e ^x , −ye ^x + z, −ze ^x + x), e calcolare quindi div U.

Esercizio 4. Dire quali tra le seguenti serie trigonometriche `e la serie di Fourier di una funzione f ∈ L ² _2π ed in quali casi certamente f ∈ C _2π :

X ∞ n=1

X n k=2

sin k ln k

1

n ^3/4 − sin ^2/3 n cos nx, X ∞ n=1

µ cos 1

n − 1

¶ Γ

µ

1 − cos 1 n

¶

sin nx, X ∞

n=2

(ζ(n) − 1)(ln n − 1)

nζ(n) ln ³ n cos nx.

Esercizio 5. Dire se le funzioni f : R ⁿ → R sotto definite sono convesse, e in caso affermativo scrivere l’equazione di un piano di supporto in x = 0:

f (x) =

 



e ^|x| − 1

|x| x 6= 0

1 x = 0

, f (x) = (

|x| ln |x| x 6= 0

0 x = 0 , f (x) = p

|x|, f (x) = sin |x|.

A.A. 2007/2008 – 1 luglio 2008 Esercizio 1. Dato il problema di Cauchy

 



y ⁰ = ln x + |y|

y ² + 1 , y(1) = 0,

si chiede di

(a) dimostrare che esiste una ed una sola soluzione massimale globale y;

(b) dimostrare che x = 1 `e l’unico punto di minimo assoluto per y;

(c) calcolare, se esiste, lim _x→∞ y(x);

(d) dimostrare che esiste lim _x→0

y(x) = ` e che risulta ` ∈ [1/2, 1] (sugg.: si trovino un’opportuna sottosoluzione e un’opportuna soprasoluzione).

Esercizio 2. Sia f > 0 tale che ln f ∈ L ¹ _loc (R) e tale che Z _x

0

ln f (t) dt = f (x) − 1 ∀ x ∈ R.

Dopo averne determinato la massima regolarit`a, si chiede di calcolarla.

Esercizio 3. Dire quali tra le seguenti serie trigonometriche `e la serie di Fourier di una funzione f ∈ L ² _2π ed in quali casi certamente f ∈ C 2π :

X ∞ n=1

ln ⁿ n

n ¹⁰⁰ + e cos nx, X ∞ n=1

(ln n) ^1/n

n − sin n sin nx, X ∞ n=1

| cos n| ^1/n

n ^{cos n} − n ^π/2 cos nx.

Esercizio 4. Data la f.d.l.

ω(x, y) = y µ π

2 − arctan 1 x

¶ dx +

µ

x arctan x − 1

2 ln(1 + x ² )

¶ dy, si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

(a) ω `e chiusa in D = {(x, y) ∈ R ² : x > 0}; V F

(b) ω `e esatta in D; V F

(c) Il potenziale F tale che F (1, 0) = 0 `e dato da F (x, y) = y

µ

x arctan x − 1

2 ln(1 + x ² )

¶ .

V F

A.A. 2007/2008 – 14 luglio 2008

Esercizio 1. Dato il problema di Cauchy

½ y ⁰ = ln y + x ² , y(0) = 1, si chiede di

(a) dimostrare che esiste una ed una sola soluzione massimale locale y;

(b) dimostrare che y `e crescente nel suo dominio massimale;

(c) dimostrare che y `e definita in tutto R (sugg.: per x > 0 cercare una soprasoluzione definita globalmente);

(d) calcolare lim _x→±∞ y(x);

(e) dimostrare che y `e convessa in R ⁺ .

Esercizio 2. Sia f tale che e ^f ∈ L ¹ _loc (R) e tale che Z _x

0

e ^{f (t)} dt = e ^{f (x)} − a ∀ x ∈ R,

per un certo a > 0. Dopo aver determinato la massima regolarit`a di f , si chiede di calcolare quest’ultima. Cosa succederebbe se fosse a = 0?

Esercizio 3. Dire quali tra le seguenti serie trigonometriche `e la serie di Fourier di una funzione f ∈ L ² _2π ed in quali casi certamente f ∈ C 2π :

X ∞ n=2

2 ⁿ

n − Γ(n) cos nx, X ∞ n=1

√ 1

n + π Γ µ 1

n

¶

sin nx, X ∞ n=1

n − cos ⁴ n

cos ²ⁿ n + n ² cos nx.

Esercizio 4. Sia B = {x ∈ R ³ : |x| < 1} e sia u ∈ C ² (B) ∩ C ¹ ( ¯ B) soluzione di

½ −∆u = e in B, u = 0 su ∂B.

Si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

(a) Z

B

u(x) dx > 0; V F

(b) u `e convessa; V F

(c) Z

∂B

∂u

∂ν (x) dσ = − 4πe

3 ; V F

(d) u ammette punti interni di minimo relativo. V F

A.A. 2007/2008 – 5 settembre 2008

Esercizio 1. Dato il problema di Cauchy

 



y ⁰ = e ^x + sin ²

µ y

y ² + 1

¶ , y(0) = 0,

si chiede di

(a) dimostrare che esiste una ed una sola soluzione massimale globale y;

(b) dimostrare che y `e crescente;

(c) calcolare lim x→±∞ y(x);

(d) dimostrare che per ogni x > 0 risulta

e ^x − 1 ≤ y(x) ≤ e ^x − 1 + 1 2 x;

(e) tracciare un grafico approssimativo di y.

Esercizio 2. Dire se esiste una funzione y di classe C ¹ che sia positiva in un intorno di x = 0 e che risolva l’equazione

Z _x

0

y(t) y ⁰ (t) dt = y ² (x) + Z _x

0

y(t) dt − 1.

Dopo aver determinato la massima regolarit`a di y, si chiede di calcolarla. Cosa succe- derebbe se nel termine destro dell’equazione scomparisse il ”−1”?

Esercizio 3. Dire quali tra le seguenti serie trigonometriche `e la serie di Fourier di una funzione f ∈ L ² _2π ed in quali casi certamente f ∈ C 2π :

X ∞ n=2

sin n

cos n − n ^3/2 cos nx, X ∞ n=1

n! + e ^1/n Γ ¡ ₁

n

¢ − sin n sin nx, X ∞ n=1

e ^1/n − 1 cos ¡ ₁

n

¢ − 1 cos nx.

Esercizio 4. Considerati i problemi di Cauchy seguenti, si dimostri o si confuti l’affermazione per cui tutti ammettono una ed una sola soluzione locale, che, in caso affermativo, si chiede di scrivere esplicitamente:

 

 y ⁰ = x

µ

e ^y + ln 1 − y e

¶ , y(0) = 0;

(

y ⁰ = y ^1/3 x, y(0) = 0;

(

y ⁰ = y ^1/3 x, y(0) = e;

(

y ⁰ = − ln ² (y ^1/4 + 1),

y(0) = 0.

A.A. 2005/2006 – 22 settembre 2008

Esercizio 1. Dato il problema di Cauchy

( y ⁰ = x + sin y, y(0) = 0, si chiede di:

a) riconoscere che ammette un’unica soluzione globale y;

b) studiare la monotonia di y;

c) calcolare, se sistono, lim

x→±∞ y(x);

d) dimostrare che y non `e convessa in R cercando punti opportuni in cui y ⁰⁰ < 0 e dedurre che lim inf

x→±∞ y ⁰⁰ (x) = −∞;

e) tracciare un grafico approssimativo di y.

Esercizio 2. Trovare l’unica funzione f : R → R di classe C ¹ tale che f (0) = 0 e per cui la f.d.l.

ω(x, y) = (y cos x + f (y)) dx + (f (x) + xf ⁰ (y)) dy risulti esatta in R ² . Discutere poi l’affermazione seguente:

Z

γ

ω >

Z

γ

ω, dove γ ₁ (t) = (t ^e − sin t, t ^π + cos t), γ ₂ (t) = (t ^π − sin t, t ^e + cos t), t ∈ [0, 1].

Esercizio 3. Dire quale tra le seguenti serie trigonometriche `e la serie di Fourier di una funzione f ∈ L ² _2π ed in quali casi certamente f ∈ C _2π :

X ∞ n=1

[ √

n]! + arctan n Γ( √

n) + √

n cos nx, X ∞ n=1

ln n + cos n

n ^{ln 9−1} − sin n sin nx, X ∞ n=1

1/n ² − tan 1/n

2 + cos n cos nx.

Esercizio 4. Data la funzione f : R ⁿ → R, n ≥ 1, definita da f (x) =

(

|x| ln |x| x 6= 0

0 x = 0 ,

si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

(a) f `e convessa in R ⁿ ; V F

(b) f ha punti di minimo locale; V F

(c) f ha punti di massimo locale; V F

(d) il grafico di f ammette piano tangente in (0, 0). V F

A.A. 2007/2008 – 19 gennaio 2009

Esercizio 1. Dato il problema di Cauchy

( y ⁰ = ln |y| + x, y(0) = −1, si chiede di:

a) riconoscere che ammette un’unica soluzione locale y;

b) studiare la monotonia di y;

c) dimostrare che y non `e definita globalmente;

d) calcolare i limiti di y agli estremi del suo dominio massimale di definizione;

e) tracciare un grafico approssimativo di y.

Esercizio 2. Dato il campo vettoriale F (x, y, z) = x

|x| + y − z, dire se Z

∂B(x

,1)

F · ν dσ = 0 per i = 1, 2,

dove x ₁ = (0, 0, 0) e x ₂ = (4, 5, 6), e ν rappresenta la normale esterna a ciascuna palla.

Esercizio 3. Dire quale tra le seguenti serie trigonometriche `e la serie di Fourier di una funzione f ∈ L ² _2π ed in quali casi certamente f ∈ C _2π :

X ∞ n=1

π ⁿ + sin n

4 ⁿ − e ⁻ⁿ cos nx, X ∞ n=1

π

e − n ln n cos nx, X ∞ n=1

Γ ¡ sin _n ¹ ¢

tan _n ¹ sin nx.

Esercizio 4. Data una funzione continua y definita in un intorno di 0, definita dall’equazione ln y(x) =

Z _x

0

e ^y(t) dt,

si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

(a) y(0) = 1; V F

(b) y `e crescente in tutto il suo dominio; V F

(c) y `e convessa in tutto il suo dominio; V F

(d) y(x) > e ^x per x > 0 nel suo dominio di definizione; V F

(e) y `e definita anche in x = 1. V F