(b) Si calcoli E(Xn2) per ogni n ∈ N

V Appello di Processi Stocastici 2010/11 Cognome:

Laurea Magistrale in Matematica Nome:

22 febbraio 2012 Email:

Quando non è espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi è possibile usare tutti i risultati visti a lezione (compresi quelli di cui non è stata fornita la dimostrazione).

Esercizio 1. Siano {Z_n}_n∈N variabili aleatorie reali i.i.d., definite su uno spazio di probabilità (Ω, F , P), con leggi marginali Z_n∼ N (0, 1). Sia {t_n}_n∈N una successione fissata di numeri positivi,

tali cheP

i∈Nt²_i < ∞. Definiamo X₀ := 0 e Xn :=

n

X

i=1

tiZi, ∀n ∈ N .

(a) Si mostri che il processo X = {X_n}_n∈N0 è una martingala rispetto a un’opportuna filtrazione (da specificare).

(b) Si calcoli E(X_n²) per ogni n ∈ N. Si deduca che Xn → X_∞ q.c., con X_∞ < ∞ q.c., e la convergenza ha luogo anche in L².

(c) La martingala X è uniformemente integrabile? Quanto valgono E(X∞) e E(X_∞² )?

(d) Si determini la legge di X_n, per ogni n ∈ N. Si deduca la legge di X^∞.

(e) Sia τ := inf{n ∈ N : Xn≥ 1}. Si mostri che τ è un tempo d’arresto. Si deduca che non può essere τ < ∞ q.c..

[Sugg.: se τ < ∞ q.c. potremmo applicare il teorema d’arresto (perché?) . . . ] Soluzione 1. (a) Facile (con F₀ := {∅, Ω} e Fn:= σ(Z1, . . . , Zn) per n ∈ N).

(b) Basta notare che X_n ∼ N (0, t²₁ + . . . + t²_n) (somma di normali indipendenti) e dunque E(X_n²) = t²₁+ . . . + t²_n. Per ipotesi P

i∈Nt²_i < ∞ dunque la martingala X è limitata in L² e quindi X_n→ X_∞ q.c. e in L² con X_∞< ∞ q.c., per un risultato visto a lezione.

(c) Essendo limitato in L², il processo X è uniformemente integrabile. Dato che X_n→ X_∞in L², si ha convergenza dei momenti primo e secondo, dunque E(X∞) = lim_n→∞E(X_n) = 0 e E(X_∞² ) = limn→∞E(X_n²) =P

i∈Nt²_i.

(d) Come visto nei punti precedenti, X_n è normale per ogni n ∈ N, dunque anche X∞ è normale in quanto limite q.c. di normali, pertanto X_∞∼ N (0,P

i∈Nt²_i).

(e) Se τ < ∞ q.c. si può applicare il teorema di arresto perché X è uniformemente integrabile e dunque E(X_τ) = E(X0) = 0, ma ciò è impossibile in quanto sull’evento {τ < ∞} si ha per costruzione X_τ ≥ 1.

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Esercizio 2. Su uno spazio di probabilità filtrato standard (Ω, F , {F_t}_t∈[0,∞), P) è definito un {F_t}_t∈[0,∞)-moto browniano reale B = {B_t}_t∈[0,∞). Fissata un’arbitraria successione {t_i}_i∈N in (0, ∞) strettamente crescente, poniamo t₀ := 0 e definiamo

Yi:= Bti− B_ti−1, ∀i ∈ N . (a) Si mostri che per ogni n ∈ N

P(Y₁ > 0, . . . , Y_n> 0) = 1 2ⁿ. (b) Si deduca che per ogni n ∈ N

P(B_tn > B_tn−1 > . . . > B_t2 > B_t1 > B_t0) = 1 2ⁿ.

(c) Si deduca che, per q.o. ω ∈ Ω, la successione {B_tk(ω)}_k∈N non è strettamente crescente.

(d) Si mostri che, viceversa, per q.o. ω ∈ Ω, esiste una successione aleatoria {t_i(ω)}_i∈N in (0, ∞) strettamente crescente, tale che {B_t

k(ω)(ω)}_k∈N è strettamente crescente.

[Sugg.: si sfruttino proprietà note delle traiettorie del moto browniano.]

Definiamo ora il processo Z = {Z_t}_t∈[0,∞) ponendo Z_t:=

Z t 0

B_s²

2 + B_s² dB_s.

(e) Si spieghi perché Z è un processo di Itô e se ne scriva il differenziale stocastico. Si mostri quindi che E(Z_t) = 0 e 0 < Var(Zt) ≤ t per ogni t > 0.

(f) Posto X_t := aZ_t³+ bZ_t²+ cZt+ d, si determini per quali valori di a, b, c, d ∈ R il processo X = {X_t}_t∈[0,∞) è una {F_t}_t∈[0,∞)-martingala locale.

Soluzione 2. (a) Le variabili Y_i sono i.i.d. con leggi simmetriche (normali con media zero) dunque P(Y₁ > 0, . . . , Y_n> 0) = P(Y₁> 0) · · · P(Y_n> 0) = ₂¹n.

(b) I due eventi {B_tn > B_tn−1 > . . . > B_t2 > B_t1 > B_t0} e {Y₁ > 0, . . . , Y_n > 0} coincidono (sono lo stesso evento).

(c) Si ha l’uguaglianza tra eventi

{k 7→ B_tk è strettamente crescente} = \

n∈N

{B_tn > Btn−1 > . . . > Bt2 > Bt1 > Bt0}

e per continuità dall’altro

P(k 7→ B_tk è strettamente crescente) = lim

n→∞P(B_tn > B_tn−1 > . . . > B_t2 > B_t1 > B_t0) = 0 . (d) Sia t₁ := 1. Dato che lim sup_t→+∞Bt = +∞ q.c. (ad esempio per la legge del logaritmo

iterato), segue che per q.o. ω ∈ Ω esiste t₂(ω) tale che B_t2(ω)(ω) > B_t1(ω). Procedendo ricorsivamente, si definisce la (una) successione cercata.

(e) L’integrando {_2+B^B2s2

s}_s∈[0,∞) è un processo q.c. continuo e adattato, dunque progressivamente misurabile e in M²_loc. Inoltre |_2+B^B2s₂

s| ≤ 1 e dunque l’integrando è in M². Segue che l’integrale stocastico Z_tè ben definito, ha differenziale stocastico dZ_t= _2+B^B2t2

t

dB_ted è una martingala di quadrato integrabile. Dunque E(Z_t) = E(Z0) = 0 e per l’isometria di Itô Var(Zt) = E(Z_t²) = E(Rt

0(_2+B^Bs22

s)⁴ds). La variabile aleatoria che compare nel valore atteso è q.c. strettamente positiva e ≤ t, da cui 0 < Var(Z_t) ≤ t.

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(f) Per la formula di Itô, X è un processo di Itô con differenziale stocastico dX_t= (3aZ_t²+ 2bZt+ c)dZt+1

2(6aZt+ 2b)dhZit

= (3aZ_t²+ 2bZ_t+ c)dZ_t+1

2(6aZ_t+ 2b)

 B²_t 2 + B²_t

 2dt .

Affinché X sia una {F_t}_t∈[0,∞)-martingala locale serve e basta che il suo differenziale di Itô non contenga termini a variazione finita, dunque si deve annullare identicamente il termine in dt, che è possibile se e solo se a = b = 0. In caso contrario, per ogni t > 0 si dovrebbe avere Zt= −b/(3a) = cost. q.c. e dunque Var(Zt) = 0, mentre abbiamo visto che Var(Zt) > 0.