Elementi di Probabilità e Statistica - 052AA - A.A.
2015-2016
Prova scritta - 9 settembre 2016
Problema 1. (pt 12) Su uno spazio probabilizzato ( ; F; P ), supponiamo di avere una successione (Zn) di v.a. discrete indipendenti, tali che P (Zn= 1) = P (Zn= 1) = 1=2. Si ponga Xn=Pn
i=1Zi, n 2 N, Zn= Xn=n.
1. Calcolare la funzione 7! f ( ) := E e Xn , 2 R e tracciarne sommaria- mente il gra…co. Mostrare inoltre che P (Xn> n ) exp ( n ) E e Z1 n per ogni ; > 0.
2. Dedurre che
lim sup
n!1
1
nlog P Zn> < 0
per ogni > 0 (bastano i valori piccoli) e che vale la stessa proprietà per
1
nlog P Zn E [Z1] > .
3. Se si utilizzano altre v.a. i.i.d. Zn, con legge diversa da quella data, la funzione f ( ) dipende solo da valore atteso e varianza di Z1? In altre parole, noti valore atteso e varianza di Z1, la funzione f ( ) è identi…cata?
4. Si arriverebbe allo stesso risultato del punto 2 tramite il Teorema Limite Centrale? Non si richiede una risoluzione rigorosa (non possibile con gli strumenti del corso) ma solo un tentativo corredato di considerazioni qual- itative anche solo ipotetiche. Si ra¢ nino le conclusioni, intuitive, tramite il punto 3.
Problema 2. (pt 9) Sia X una v.a. di densità f ( ; x) = p 1
8 2jxjexp 2jxj2 , dove il parametro varia nell’insieme dei valori per cui questa funzione è be de…nita, non negativa e integrabile.
1. Determinare l’insieme , veri…cando che per ogni 2 la funzione f ( ; x) sia davvero una densità di probabilità.
2. Considerare la v.a. Y = sign (X)p
jXj. Determinarne la densità di prob- abilità. Si commenti, anche solo concettualmente, a parole, sui metodi al- ternativi di calcolo e sul rigore del calcolo eseguito o di quelli dei metodi alternativi.
3. Calcolare E [jXj], discutendo sommariamente modi alternativi (alla …ne somiglianti, ma basati su punti di partenza diversi).
Problema 3. (pt 9) Un’azienda con 20 punti vendita raccoglie i dati delle ven- dite di un prodotto relative al mese di luglio 2016, x1; :::; x20. Essi hanno media aritmetica x = 34:6, deviazione standard s = 12:2. Si supponga che tali vendite, quando considerate come variabili aleatorie, siano distribuite in modo gaussiano e siano indipendenti.
1. L’azienda utilizza tali dati per stimare il valore atteso delle vendite (di una generica succursale in luglio per quel prodotto). Che intervallo di …ducia può calcolare, per , al 90%?
2. Si sospetta che le vendite nel mese di settembre calino rispetto a quelle di luglio, considerando la natura del prodotto e l’inclinazione dei consumatori.
Si vuole apprestare un test statistico per valutare se c’è un calo del valore atteso oppure no (l’azienda esclude che ci sia un aumento). Si vuole eseguire il test al 90%, desiderando una potenza pari a 80%, relativa ad un calo del valore atteso di 5 unità rispetto al valor medio di luglio. Basteranno i dati di settembre dei 20 negozi? Nel rispondere a questa domanda si supponga che la media vera di luglio sia quella data al punto 1 e che la varianza sia nota e inalterata, pari a quella data al punto 1. Prima di svolgere calcoli si chiarisca a che test ci si sta riferendo e cosa sia la potenza che si intende calcolare.
3. In ottobre vengono raccolti tali dati x01; :::; x020. Essi hanno media aritmetica pari a 30.2 e deviazione standard 11.9 (che quindi si può pensare inalterata).
Calcolare il valore p (la soglia di accettazione) del test del punto precedente.
1 Soluzioni
Esercizio 1.
1.
E e Xn = Eh
e Pni=1Zii
= E
" n Y
i=1
e Zi
#
indip
= Yn i=1
E e Zi
= E e Z1 n= 1
2n e + e n:
P (Xn > n ) = P e Xn > e n e n E e Xn exp ( n ) E e Z1 n:
2.
P Zn > = P (Xn > n) exp ( n ) E e Z1 n= exp ( n ) 1
2n e + e n da cui
1
nlog P Zn> 1
n n n log 2 + n log e + e = log 2+log e + e per ogni > 0; calcoliamo il minimo (o l’inf) al variare dei > 0 della
funzione
g ( ) = log 2 + log e + e
che estendiamo per continuità in = 0. Vale g (0) = 0, lim !+1g ( ) = +1, per piccolo. Vale g0( ) = + ee +e+e da cui g0(0) = < 0, quindi il minimo è negativo. Vale poi
P Zn E [Z1] > = P Zn > = P Zn > +P Zn< = 2P Zn> : 3. Dipende anche da altro, come si intuisce dalla formula E e Xn ; per veri…-
carlo, basta prendere una v.a. Z1 con gli stessi due parametri e mostrare che f ( )è diversa. Ad esempio, P (Zn = 2) = P (Zn = 2) = 1=8, P (Zn= 0) = 3=4; vale E e Xn = E e Z1 n= 21n
1
8e 2 +18e2 + 34 n. 4.
P Zn> = P Xn
i=1
Zi > n
!
= P Pn
i=1Zi pn >p
n :
Se il TLC garantisse un risultato di approssimazione uniforme, si avrebbe P
Pn i=1Zi
pn >p
n 1 (p
n )da cuin1 log P Zn> 1nlog (1 (p n )).
Si vede subito una discrepanza con la formula del punto 2: l’espressione
1
nlog (1 (p
n )) dipende solo da valore atteso e varianza di Z1, mentre il minimo di g ( ) dipende da f ( ). Vediamo comunque se il limite, per n! 1, di n1 log (1 (p
n )) è negativo. Applichiamo l’Hopital due volte, chiamando ' la densità gaussiana standard:
x!1lim 1
xlog 1 p
x = lim
x!1
'(px)
2p x
1 (p
x )
= lim
x!1
'0(px)
2px 2p
x '(px)p1x
4x '(px)
2p x
= lim
x!1
'0(px ) px ' (px ) 2x' (p
x )
= lim
x!1
px exp 22x p
x exp 22x 2x exp 22x
= lim
x!1
x 2 1
2x =
2
2: Esercizio 2.
1. Qualsiasi valore di 6= 0 è ammissibile: p1
jxj è integrabile in x = 0 e l’esponenziale rende integrabile f all’in…nito. Vale poi
Z +1
1
f ( ; x) dx = 2 p8 2
Z +1
1
1 2p
jxjexp 0 B@
pjxj
2
2 2 1 CA dx
= 1
p2 2 Z +1
1
exp y2
2 2 dy = 1:
2. Y = g (X), g (x) = sign (x)p
jxj monotona crescente, però non derivabile in x = 0. Formalmente (agiamo come se fosse derivabile),
fY (y) = fX(x) jg0(x)j y=g(x)
= p 1
8 2jxjexp 2jxj2
1 2p
jxj x=sign(y)y2
= 1
p2 2 exp y2
2 2 N (0; ) :
Il rigore si potrebbe recuperare in tre modi: o regolarizzando g e passando al limite (va però chiarito perché debba valere la formula limite), o ripetendo
la dimostrazione e curando che i passaggi siano validi (ad esempio spezzando opportunamente il dominio), oppure passando per le funzioni di ripartizione, dove però anche lì va curato come si tratta il punto singolare.
3. Si può calcolare direttamente E [jXj] =
Z +1
1
jxj 1
p8 2jxjexp jxj 2 2 dx
= Z +1
1
pjxj
2 1
p8 2jxjexp 0 B@
pjxj
2
2 2 1
CA dx = :::
con lo stesso cambio di variabile eseguito sopra, oppure riferirsi a distribuzioni note oppure riscrivendo E [jXj] = E [jg 1(Y )j] ed usando la legge di Y . Esercizio 3.
1. Si tratta di un intervallo di …ducia per la media di una gaussiana con varianza incognita quindi usuamo la formula
x s t(1 2;n 1)
pn 34:6 12:2 1:729
p20 34:6 4:7167:
2. Eseguiamo un test unilatero per la media con varianza nota; il test ha come ipotesi nulla 34:6 ed = 0:1. La potenza richiesta è data dalla proba- bilità di ri…utare l’ipotesi nulla al 90%, se la nuova media è pari alla vecchia meno 2.5. Quindi (usando la notazione P ; , non P ; 2)
P34:6 5; X 34:6 q1 pn
= P34:6 5;12:2 X 34:6 12:2 1:28 p20
= P29:6;12:2 X 31:108
= P29:6;12:2 X 29:6 12:2
p20 31:108 29:6 12:2
p20
= (0:55279) 0:71
quindi il test non avrà la potenza richiesta.
3.
P34:6;12:2 X < 30:2 = P34:6;12:2 X 34:6 12:2
p20 < 30:2 34:6 12:2
p20
= ( 1:6129) = 0:053:
