1
Esercizio 1
Data una variabile X di media 6, varianza 9, indice di asimmetria 𝑎3𝑥=0.75 e indice di curtosi 𝑎4𝑥=2.5, si consideri la variabile Y=3+4X e se ne calcoli:
a) la media b) la varianza
c) la deviazione standard d) l’indice di asimmetria 𝑎3𝑦 e) l’indice di curtosi 𝑎4𝑦
Soluzione
Per determinare i diversi indici basta tenere presente le proprietà delle trasformazioni lineari e che in questo caso i parametri sono:
a=3 b=4 Si ottiene quindi
a) 𝑦̅ = 𝑎 + 𝑏𝑥̅ = 3 + 4𝑥̅ = 3 + 4 × 6=27 b) 𝑠𝑦2 = 𝑏2𝑠𝑥2 = 42𝑠𝑥2 = 16 × 9 =144 c) 𝑠𝑦 = |𝑏|𝑠𝑥 = |4|𝑠𝑥 = 4 × 3 =12 d) 𝑎3𝑦 = 𝑠𝑒𝑔𝑛𝑜(𝑏)𝑎3𝑥 =0.75 e) 𝑎4𝑦 = 𝑎4𝑥 =2.5
2
Esercizio 2
Siano 𝑥̅ = 10 e 𝑠𝑥2 = 4 rispettivamente la media e la varianza calcolate su un insieme di n osservazioni x1, x2, …, xn relative a una variabile X.
Determinare il valore del coefficiente di variazione delle osservazioni relative alla variabile Y = 5+2X
Soluzione
Per una generica combinazione lineare Y= 𝑎 + 𝑏X il coefficiente di variazione è dato da
𝐶𝑉𝑦 = 𝑠𝑦
𝑦̅ = |𝑏|𝑠𝑥 𝑎 + 𝑏𝑥̅
Per l’esempio considerato si ottiene quindi
𝐶𝑉𝑦 = |2| × √4
5 + 2 × 10 = 4 25
3
Esercizio 3
Su 10 studenti è stata rilevata la variabile X che rappresenta il numero di esami superati nel I semestre ottenendo 𝑥̅ = 2.1.
Rilevando il numero di esami superati su altri due studenti, che hanno superato rispettivamente 1 e 2 esami, calcolare il numero medio di esami superati dai 12 studenti.
Soluzione
Dall’uguaglianza
𝑥̅ = 1
10∑ 𝑥𝑖 =
10
𝑖=1
2.1 si ottiene
∑ 𝑥𝑖 =
10
𝑖=1
2.1 × 10 = 21
La media calcolata sui 12 individui totali sarà quindi pari a
𝑥̅ = 1
12∑ 𝑥𝑖 =
12
𝑖=1
1
12× (21 + 1 + 2) = 2
4
Esercizio 4
Data una collettività di 8 individui su cui la media è risultata pari a 5 e la varianza pari a 4, calcolare la varianza della stessa collettività se si vanno ad aggiungere due nuovi individui sui quali la variabile di interesse assume rispettivamente valore 4 e valore 6
Soluzione
Dall’uguaglianza
𝑥̅ = 1
8∑ 𝑥𝑖 =
8
𝑖=1
5 si ottiene
∑ 𝑥𝑖 =
8
𝑖=1
5 × 8 = 40
La media calcolata sui 10 individui totali sarà quindi pari a
𝑥̅ = 1
10∑ 𝑥𝑖 =
10
𝑖=1
1
10× (40 + 4 + 6) = 5 Dall’uguaglianza
𝑠𝑥2 = 𝑚2𝑥 − 𝑥̅2 Per i primi 8 individui si ottiene
𝑚2𝑥 = 𝑠𝑥2 + 𝑥̅2 = 4 + 52 = 29 Per cui, dall’uguaglianza
1
8∑ 𝑥𝑖2
8
𝑖=1
= 29
si ottiene che la somma delle intensità al quadrato dei primi 8 individui è
∑ 𝑥𝑖2
8
𝑖=1
= 29 × 8 = 232
La somma dei quadrati delle intensità calcolata sui 10 individui totali sarà quindi pari a
5
∑ 𝑥𝑖2
10
𝑖=1
= 232 + 42+ 62 = 284
e quindi la media dei quadrati, sempre calcolata sui 10 individui totali, è
𝑚2𝑥 = 1
10∑ 𝑥𝑖2
10
𝑖=1
= 28.4
Per cui la varianza calcolata sui 10 individui totali è
𝑠𝑥2 = 𝑚2𝑥 − 𝑥̅2 = 28.4 − 52 = 3.4
6
Esercizio 5
Su 15 studenti di sesso maschile è stata rilevata la variabile X che rappresenta il voto all’esame di statistica ottenendo un voto medio pari a 24 e una varianza pari a 5. Sapendo che il voto medio allo stesso esame ottenuto da 5 studentesse è pari a 26 e che la varianza è 4, calcolare la varianza complessiva dei voti ottenuti dai 20 studenti.
Soluzione
Per ottenere la varianza complessiva è necessario ricordare che 𝑠2 = 𝑠𝑏2+ 𝑠𝑤2
Di seguito si riportano i dati forniti dal testo,
𝑛1 = 15, 𝑥̅1 = 24, 𝑠12 = 5 𝑛2 = 5, 𝑥̅2 = 26, 𝑠22 = 4
in base ai quali si ottiene la numerosità complessiva 𝑛 = 15 + 5 = 20
e la media generale, pari alla media delle medie dei gruppi ponderata con le numerosità corrispondenti
𝑥̅ =24 × 15 + 26 × 5
20 = 24.5
La varianza between corrisponde alla varianza delle medie dei gruppi, dove lo scarto al quadrato fra ciascuna media del gruppo e la media generale è moltiplicato per la numerosità del gruppo. Risulta quindi
𝑠𝑏2 = 1
20[(24 − 24.5)2× 15 + (26 − 24.5)2× 5] = 0.75
La varianza within è invece la media delle varianze, sempre ponderata con le numerosità dei gruppi e vale quindi
𝑠𝑤2 = 1
20[5 × 15 + 4 × 5] = 4.75 La varianza complessiva della variabile è quindi pari a
𝑠2 = 0.75 + 4.75 = 5.5
7
Esercizio 6
Su n unità statistiche si sono rilevati i valori di due variabili quantitative X e Y ed è risultato che la media della variabile X è esattamente il doppio della media della Y, ossia
𝑥̅ = 2𝑦̅
mentre la varianza della X è risultata pari alla metà della varianza della Y, ossia 𝑠𝑥2 = 1
2𝑠𝑦2
Si considerino le seguenti variabili scarto standardizzato 𝑈 = 𝑋 − 𝑥̅
𝑠𝑥 𝑉 = 𝑌 − 𝑦̅
𝑠𝑦
e si indichi quale delle due variabili ha la media maggiore e quale ha la varianza maggiore
Soluzione
Una qualsiasi variabile scarto standardizzato, per costruzione, ha una media pari a zero e una varianza pari a 1, per cui
𝑢̅ = 𝑣̅ = 0 𝑠𝑢2 = 𝑠𝑣2 = 1
