P(Xn+1= k | Xn

III Appello di Processi Stocastici 2011/12 Cognome:

Laurea Magistrale in Matematica Nome:

10 settembre 2012 Email:

Quando non `e espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi `e possibile usare tutti i risultati visti a lezione (compresi quelli di cui non `e stata fornita la dimostrazione).

Esercizio 1. Siano {Xn}_n∈N0 variabili aleatorie reali, definite su uno spazio di probabilit`a (Ω, F , P), tutte a valori nell’insieme {0, 1, . . . , 8}. Introduciamo la filtrazione naturale {F_n}_n∈N0, definita da Fn := σ(X0, X1, . . . , Xn) per n ∈ N0. Supponiamo che per ogni n ∈ N0,

P(Xn+1= k | Fn) = P(Xn+1= k | Xn) , ∀k ∈ {0, . . . , 8} , (1) da cui segue (perch´e?) che

E(Xn+1| F_n) = E(Xn+1| X_n) . (2)

La legge di X₀, e la legge condizionale di X_n+1 dato X_n, sono date rispettivamente da X₀ ∼ U nif ({0, 1, . . . , 8})

P(Xn+1= k | Xn= h) := P(Z^(h)= k) , con Z^(h) ∼ Bin

 8,h

8



, ∀k, h ∈ {0, 1, . . . , 8} , dove con Bin(8, 0) intendiamo la misura di Dirac concentrata nel punto 0, mentre con Bin(8, 1) intendiamo la misura di Dirac concentrata nel punto 8. Pi`u esplicitamente, P(X₀ = k) := ¹₉ per ogni k ∈ {0, . . . , 8}, mentre

P(X_n+1= k | X_n= h) := q(h, k) =











1_{k=0} se h = 0

8 k

_h

8

k

1 −^h₈
8−k

se h ∈ {1, . . . , 7}

1{k=8} se h = 8

. (3)

(a) Si calcoli E(Xn+1| X_n = h), per ogni h ∈ {0, . . . , 8} e n ∈ N. Si derivi quindi E(Xn+1| F_n) e si deduca che {X_n}_n∈N0 `e una martingala.

(b) Si mostri che il limite

X∞ := lim

n→∞X_n

esiste q.c. e in L¹. Per quali p ∈ [1, ∞) la convergenza ha luogo anche in L^p?

Introduciamo ora il tempo d’ingresso τ : Ω → N0∪ {+∞} di {X_n}_n∈N0 nell’insieme {0, 8}:

τ := inf{n ∈ N0 : X_n= 0 oppure X_n= 8} .

(c) Si giustifichino l’uguaglianza e la disuguaglianza nella seguente relazione:

P(Xn+1∈ {0, 8} | F_n) = q(Xn, 0) + q(Xn, 8) ≥  1 8

8

, ∀n ∈ N0. (4)

dove la funzione q(·, ·) `e definita in (3).

(d) Si deduca che esiste c > 0 tale che

P(τ ≤ n + 1 | F_n) ≥ c , ∀n ∈ N0, (5)

e si concluda che E(τ ) < ∞, motivando le risposte.

(e) Si mostri che q.c. vale l’inclusione di eventi

τ < ∞ ⊆ X∞∈ {0, 8}

e si deduca che P(X∞∈ {0, 8}) = 1.

(f) Si determini E(X∞) e si deduca quindi la legge di X∞.

2

Soluzione 1. (a) Si noti che le variabili Xnsono limitate, quindi in L¹, e chiaramente adattate alla filtrazione. Dalle probabilit`a condizionali si calcola facilmente

E(Xn+1| X_n= h) =

8

X

k=0

k P(Xn+1 = k | Xn= h) = E(Z^(h)) = 8 ·h 8 = h ,

avendo usato il fatto che E(Bin(n, p)) = np. Ricordando il legame tra legge condizionale e speranza condizionale, si ha

E(X_n+1| X_n) = E(X_n+1| X_n= h)|_h=Xn = X_n.

Dato che E(Xn+1| F_n) = E(Xn+1| X_n) grazie a (2), segue che {Xn}_n∈N0 `e una martingala.

(b) Dato che |Xn| ≤ 8 per ogni n ∈ N0, la martingala {Xn}_n∈N0 `e limitata in L^p per ogni p ∈ [1, ∞). Di conseguenza il limite X∞esiste q.c. e in L^p per ogni p ∈ [1, ∞).

(c) Grazie a (2), ricordando le propriet`a della legge condizionale, si ha che P(Xn+1∈ {0, 8} | F_n) = P(Xn+1 = 0 | Fn) + P(Xn+1= 8 | Fn)

= P(Xn+1 = 0 | Xn) + P(Xn+1= 8 | Xn) = q(Xn, 0) + q(Xn, 8) . Notiamo che q(0, 0) = 1, q(8, 8) = 1 mentre per h ∈ {1, . . . , 7} si ha q(h, 8) = (^h₈)⁸ ≥ (¹₈)⁸. Questo completa la giustificazione di (4). Per la relazione (5), basta notare che

{τ ≤ n + 1} ⊇ {τ = n + 1} = {X_n+1∈ {0, 8}} , pertanto

P(τ ≤ n + 1 | Fn) ≥ P(Xn+1∈ {0, 8} | F_n) ≥ c :=  1 8

8

.

Infine, per quanto visto a lezione (Williams, §10.11), la relazione (5) implica che E(τ ) < ∞.

(d) Dalla definizione delle probabilit`a di transizione q(h, k) segue immediatamente che 0 e 8 sono stati assorbenti, dato che q(0, 0) = q(8, 8) = 1. In particolare, se Xn ∈ {0, 8} per qualche n ∈ N0, allora q.c. X_n+1∈ {0, 8}, quindi (perch´e?) q.c. X_k∈ {0, 8} per ogni k ≥ n, dunque anche X∞:= limk→∞Xk∈ {0, 8}. In altri termini, q.c.

{X_n∈ {0, 8}} ⊆ {X_∞∈ {0, 8}} , ∀n ∈ N0. Dato che {τ < ∞} =S

n∈N0{X_n∈ {0, 8}}, segue che q.c. {τ < ∞} ⊆ {X_∞∈ {0, 8}}.

Per il punto precedente E(τ ) < ∞, dunque P(τ < ∞) = 1 e quindi P(X∞∈ {0, 8}) = 1.

(e) Dato che X_n → X∞ in L¹, si ha E(X∞) = lim_n→∞E(X_n). Ma E(X_n) = E(X₀) per ogni n ∈ N0, per propriet`a di martingala, e E(X0) = 4 perch´e X0 ∼ U nif ({0, . . . , 8}), dunque E(X∞) = 4. Per il punto precedente P(X∞ = 0) + P(X∞ = 8) = 1, e dato che E(X∞) = 0 P(X∞= 0) + 8 P(X∞= 8) si deduce che P(X∞= 0) = P(X∞= 8) = ¹₂.

3

Esercizio 2. Siano B = {Bt}_t∈[0,∞), W = {Wt}_t∈[0,∞) due moti browniani reali indipendenti, definiti su uno spazio di probabilit`a filtrato (Ω, A, {Ft}_t∈[0,∞), P). Introduciamo un processo X = {X_t}_t∈[0,∞) definito in uno dei cinque modi seguenti:

(1) Xt := √ t B1;

(2) Xt := Bt0+t, con t0∈ (0, ∞) fissato ; (3) Xt := B_t²− t ;

(4) Xt := e^−Bt−t2/2− 1 ; (5) Xt := 2^−1/2(Bt+ Wt) .

Ci riferiremo nel seguito a queste definizioni come “caso (1)”, “caso (2)”, ecc.

(a) In quale/i dei cinque casi il processo X `e un moto browniano?

(b) In quale/i dei cinque casi il processo X `e una martingala (nel caso (2), rispetto alla filtrazione {G_t:= F_t0+t}_t∈[0,∞))?

(c) In quale/i dei cinque casi Xt ha legge normale per ogni t > 0?

Soluzione 2. (a) Nel caso (1) il processo X ha traiettorie q.c. differenziabili in (0, ∞), dunque non `e un moto browniano (in alternativa, nel prossimo punto mostriamo che X non `e una martingala). Nel caso (2) X₀ = B_t0 6= 0 q.c. perch´e B_t0 ∼ N (0, t₀) che `e una legge assolutamente continua per t0 > 0, dunque X non `e un moto browniano. Nel caso (3) si ha X_t ≥ −t, dunque X_t non pu`o avere legge N (0, t), perch´e P(N (0, t) < −t) > 0, quindi X non `e un moto browniano. Analogamente, nel caso (4) Xt≥ −1 e dunque X non `e un moto browniano. Infine, nel caso (5) il processo X `e un moto browniano. Mostriamo innanzitutto che `e un processo gaussiano, cio`e ogni combinazione lineare finita a1Xt1+ . . . + akXtk `e una variabile aleatoria reale normale, per ogni scelta di k ∈ N, a1, . . . , a_k ∈ R e 0 ≤ t1 < . . . <

t_k≤ 1. Si ha

a₁X_t1 + . . . + a_kX_tk = (2^−1/2a₁B_t1+ . . . + 2^−1/2a_kB_tk) + (−2^−1/2a₁W_t1− . . . − 2^−1/2a_kW_tk) , e le variabili aleatorie contenute nelle due parentesi nel membro destro sono normali, in quanto combinazioni lineari di componenti dei processi gaussiani B e W , rispettivamente;

inoltre tali variabili sono indipendenti, perch´e i processi B e W sono indipendenti; dato che somma di variabili normali indipendenti `e normale, abbiamo mostrato che X `e un processo gaussiano. X ha chiaramente traiettorie continue e media nulla. Inoltre

Var(X_t) = 2⁻¹Var(B_t) + 2⁻¹Var(W_t) + 2 2⁻¹Cov(B_t, W_t) = 2⁻¹(t + t + 2 · 0) = t , avendo usato che Cov(Bt, Wt) = 0, perch´e i processi B e W , e dunque le variabili aleatorie Bt e Wt, sono indipendenti. Per la caratterizzazione del moto browniano come processo gaussiano, segue che X `e un moto browniano.

(b) Si mostra facilmente che in tutti i casi X_t∈ L¹ e X_t`e F_t-misurabile (G_t-misurabile nel caso (2)), per cui resta da chiedersi in quali casi

E(Xt|F_s) = Xs, ∀0 ≤ s ≤ t < ∞ (con Fs → G_s nel caso (2)) . (6) Gi`a sappiamo che X `e una martingala nei casi (3) e (5): nel caso (3) `e stato dimostrato a lezione mentre per il caso (5) segue dal fatto che X `e un moto browniano, come gi`a mostrato.

Anche nel caso (2) X `e una martingala, perch´e la relazione (6) `e facilmente verificata:

E(X_t|G_s) = E(B_t0+t|F_t0+s) = B_t0+s = X_s, avendo usato il fatto che il moto browniano B `e una martingala.

Infine, nel caso (1) X non `e una martingala, perch´e ad esempio per s > 1 si ha che B1 `e F_s misurabile, e dunque

E(X_t|F_s) = √

t E(B₁|F_s) = √

tB_t = X_t6= X_s.

4

Anche nel caso (4) X non `e una martingala, perch´e non ha media costante: infatti, dato che B_t∼ N (0, t), E(X_t) = E(e^−Bt)e^−t2/2− 1 = e^t/2−t2/2− 1.

(c) X_t ha legge normale per ogni t nel caso (5), perch´e X `e un moto browniano, e nei casi (1) e (2), perch´e Xt`e funzione lineare di Bu per un opportuno u e Bu `e normale. Nei casi (3) e (4) X<sub>t</sub>non ha legge normale per nessun t > 0, come gi`a mostrato in un punto precedente.