Chiaramente A2 ha 25 elementi, mentre Ω2 ha (50 × 49)/2 elementi (vedi Esempio 1.41); pertanto la probabilit`a cercata `e
P (A2) = |A2|
|Ω2| = 25
(50× 49)/2 = 1 49.
Ovviamente la probabilit`a che nell’estrazione il numero pi`u alto sia uguale al doppio del numero pi`u basso non dipende dallo spazio campionario scelto.
Esempio 1.50 Si effettui una estrazione casuale di due numeri da 1 a 50 con rim- piazzo; si vuole calcolare la probabilit`a che i due numeri estratti siano uguali. Ci`o pu`o essere visto come un esperimento con spazio campionario l’insieme Ω1 delle 2-sequenze diI50, o quello con spazio campionarioΩ2 costituito dalle 2-collezioni diI50. Mentre nel primo caso gli elementi diΩ1sono da ritenersi equiprobabili, nel secondo caso gli elementi diΩ2non sono equiprobabili: infatti, ad esempio, la colle- zione[1, 1]si realizza se sia nella prima che nella seconda estrazione esce il numero 1, mentre la collezione[1, 2]si realizza quando la prima volta esce 1 e la seconda 2 o viceversa. Volendo utilizzare la probabilit`a uniforme, affinch´e il risultato sia veritiero, scegliamo lo spazio campionarioΩ1. La probabilit`a cercata `e
|{(x, x); 1 ≤ x ≤ 50}|
|Ω1| = 50
502 = 1 50.
Esempio 1.51 Qual `e la probabilit`a che un numero di quattro cifre contenga una o pi`u cifre ripetute?
Soluzione. I numeri di 4 cifre sono i numeri dal 1 000 al 9 999; in tutto sono pertanto 9 000. I numeri senza cifre ripetute formano un prodotto condizionato di molteplicit`a (9, 9, 8, 7): si osservi infatti che la prima cifra (quella delle migliaia) `e compresa tra 1 e 9, mentre le altre sono comprese tra 0 e 9, ma diverse da quelle gi`a fissate! Quindi i numeri che contengono una o pi`u cifre ripetute sono
9 000− 9 × 9 × 8 × 7 = 9 000 − 4 536 = 4 464.
La probabilit`a cercata vale dunque4 464
9 000 = 0.496.
1.5 Esercizi
Esercizio 1.1 Un negozio ha 8 marche diverse di pantaloni. Per ogni marca ci sono 10 taglie, 6 lunghezze e 4 colori. Quanti differenti tipi di pantaloni ci sono nel negozio?
Esercizio 1.2 Quante “parole” di quattro lettere ci sono utilizzando un alfabeto di 26 lettere? E quante parole di quattro lettere senza ripetizioni?
Esercizio 1.3 Dati 8 libri di inglese diversi tra loro, 7 di francese diversi tra loro e 5 di tedesco diversi tra loro: in quanti modi possono essere scelti tre libri, uno per ciascuna lingua?
Esercizio 1.4 In quanti modi possiamo pescare due carte da un mazzo di 52 carte da gioco in modo tale che:
(a)la prima carta sia un asso e la seconda non sia una regina?
(a�)una sia un asso e l’altra non sia una regina?
(b)la prima carta sia di picche e la seconda non sia una regina?
(b�)una sia di picche e l’altra non sia una regina?
Esercizio 1.5 In quanti modi si possono lanciare due dadi, uno rosso ed uno verde, in modo da ottenere una somma divisibile per 3?
Esercizio 1.6 Si consideri l’insieme X dei numeri di 5 cifre, ovvero dei numeri compresi tra 10 000 e 99 999.
(a)Determinare la cardinalit`a diX; (b)Quanti sono i numeri pari inX?
(c)Quanti sono i numeri inXnei quali compare esattamente un 3?
(d) Quanti sono i numeri di 5 cifre palindromi (ovvero tali che il numero stesso rimanga inalterato se si invertono le sue cifre: ad esempio 15251)?
Esercizio 1.7 Qual `e la probabilit`a che le due carte in cima ad un mazzo di 52 carte non formino una coppia, ovvero non siano due carte con lo stesso valore?
Esercizio 1.8 Una notizia `e stata diffusa in un gruppo di 10 persone nel modo se- guente: la prima persona ha telefonato ad una seconda, la quale ha telefonato a sua volta ad una terza, e cos`ı via, in modo casuale. Una persona pu`o passare la notizia a chiunque altro, eccetto alla persona che lo ha appena chiamato.
(a)In quanti modi differenti pu`o essere diffusa la notizia in tre chiamate? Ed inn chiamate?
(b)Qual `e la probabilit`a, sapendo cheAdiffonde la notizia, cheAriceva la terza chiamata?
(c) Qual `e la probabilit`a, sapendo cheAnon diffonde la notizia, cheA riceva la terza chiamata?
Esercizio 1.9 Quante parole di tre lettere senza ripetizioni si possono fare utilizzan- do le letterea, b, c, d, e, f in modo che compaia o la letteraeo la letteraf oppure entrambe?
Esercizio 1.10 Qual `e la probabilit`a che un numero naturale tra 1 e10 000contenga una volta la cifra 8 e una volta la cifra 9?
Esercizio 1.11 Un’assemblea di 20 persone deve scegliere a voto palese il proprio presidente tra 7 candidati:A, B, C, D, E, F, G.
(a)In quanti differenti modi puo’ esprimersi l’assemblea?
(b)Quanti sono i possibili esiti in cuiAeDottengono esattamente un voto?
Esercizio 1.12 Quanti numeri di 4 cifre si possono formare utilizzando le cifre 1,2,3,4,5 (con eventuali ripetizioni) che siano divisibili per 4?
Esercizio 1.13 In quanti modi si possono mettere due torri identiche nella stessa ri- ga o nella stessa colonna di una scacchiera con 8 righe ed 8 colonne? Ed in una scacchiera connrighe edmcolonne?
Esercizio 1.14 In quanti modi si possono mettere due regine identiche in una scac- chiera con 8 righe ed 8 colonne, in modo che le due regine non stiano nella stessa riga, nella stessa colonna, oppure nella stessa diagonale?
Esercizio 1.15 In quanti modi si possono invitare degli amici (almeno uno!) scelti tra 10 persone?
Esercizio 1.16 In quanti modi, operando come nel gioco della Dama, si possono met- tere una pedina bianca ed una pedina nera in due quadrati neri di una scacchiera in modo che quella bianca possa mangiare quella nera? (Si ricordi che una pedina man- gia in diagonale, saltando la pedina che viene mangiata, e che le pedine non possono tornare indietro).
Soluzioni degli esercizi
Soluzione es. 1.1. Per scegliere un paio di pantaloni dobbiamo specificare marca, taglia, lunghezza e colore: si tratta di un prodotto condizionato di molteplicit`a (8, 10, 6, 4). Per il principio di moltiplicazione vi sono pertanto8× 10 × 6 × 4 = 1 920paia di pantaloni.
Soluzione es. 1.2. L’insieme delle parole di 4 lettere `e un prodotto condizionato di molteplicit`a(26, 26, 26, 26)o di molteplicit`a (26, 25, 24, 23)a seconda che si am- mettano o meno le ripetizioni: nel primo caso vi sono264 = 456 976 parole, nel secondo caso ve ne sono26× 25 × 24 × 23 = 358 800.
Soluzione es. 1.3. Indicati conI,FeTgil insiemi dei libri in inglese, francese e tede- sco, l’insieme delle possibili scelte `e dato dal prodotto cartesianoI×F ×T, ovvero da un prodotto condizionato di molteplicit`a(8, 7, 5). Per il principio di moltiplicazione vi sono pertanto8× 7 × 5 = 280possibili scelte.
Soluzione es. 1.4. (a)Possiamo ottenere una coppia ordinata di carte nella quale la prima `e un asso e la seconda non `e una regina con la seguente procedura in fasi:
prima scegliamo un asso, poi tra le carte rimanenti ne scegliamo una che non sia una regina. Nella prima fase abbiamo 4 scelte, nella seconda52− 4 − 1 = 47. Data una coppia ordinata di carte ottenuta con tale procedura, chiaramente la prima carta `e stata scelta nella prima fase, mentre la seconda nella seconda fase. Si tratta dunque di un prodotto condizionato di molteplicit`a(4, 47)che ha dunque cardinalit`a4×47 = 188. (a�)Prima scegliamo un asso, poi tra le carte rimanenti ne scegliamo una che non sia una regina: in tal modo otteniamo di certo due carte che soddisfano la richiesta.
Non siamo per`o sempre in grado di risalire agli esiti delle due fasi a partire dalle due carte ottenute. Ad esempio le carte Asso di Cuori e Asso di Picche verificano la condizione richiesta e possono essere ottenute con la procedura descritta; non siamo per`o in grado di sapere quale asso `e stato scelto nella prima fase e quale nella seconda.
In questo caso conviene scomporre l’insiemeX che vogliamo studiare nell’unione disgiunta dell’insiemeAdelle coppie di carte formate da un asso e da una carta che non sia n´e una regina, n´e un asso e dell’insiemeBdelle coppie di carte formate da due assi. L’insiemeA `e un prodotto condizionato di molteplicit`a(4, 44). La cardinalit`a diB si ottiene per il principio di divisione dividendo per 2 L’insieme delle coppie ordinate di assi `e un prodotto condizionato di molteplicit`a (4, 3); per il principio di divisione la cardinalit`a di B `e uguale a 4× 3
2 . Pertanto |X| = |A| + |B| = 4× 44 + 6 = 182.
(b)L’insiemeXdi cui vogliamo calcolare la cardinalit`a `e unione disgiunta degli insiemiAdelle coppie ordinate formate dalla regina di picche e da una non regina, e B delle coppie ordinate formate da una carta di picche diversa dalla regina e da una non regina. Si ha|A| = 1 × 48e|B| = 12 × 47; quindi|X| = 612.
(b�) L’insieme X di cui vogliamo calcolare la cardinalit`a `e unione disgiunta degli insiemiAdelle coppie di carte contenenti due picche eB delle coppie di carte contenenti una carta di picche ed una non di picche che non sia regina. Si ha
|X| = |A| + |B| = 13× 12
2 + 13× 36 = 78 + 468 = 546.
Soluzione es. 1.5. Essendo i due dadi colorati in modo diverso si devono contare le coppie ordinate di numeri tra 1 e 6 la cui somma `e 3, 6, 9, 12. Per ogni numerox tra 1 e 6 vi sono esattamente due numeriy, wtra 1 e 6 tali chex + yex + wsiano divisibili per 3. Si tratta dunque di un prodotto condizionato di molteplicit`a(6, 2)che per il principio di moltiplicazione ha cardinalit`a12.
Soluzione es. 1.6. (a): si tratta di un prodotto condizionato di molteplicit`a (9, 10, 10, 10, 10) che per il principio di moltiplicazione ha cardinalit`a 90 000. (b) si tratta di un prodotto condizionato di molteplicit`a (9, 10, 10, 10, 5) che per il principio di moltiplicazione ha cardinalit`a 45 000. (c) I numeri di 5 cifre che hanno il 3 solo come prima cifra formano un prodotto condizionato di molteplicit`a (1, 9, 9, 9, 9). Gli altri si ottengono scegliendo la prima cifra, quindi la posizione
in cui mettere il 3, quindi le cifre nelle altre tre posizioni a partire da quella pi`u a sinistra; si tratta di un prodotto condizionato di molteplicit`a (8, 4, 9, 9, 9). In tutto i numeri cercati sono6 561 + 23 328 = 29 889.(d): si tratta di un prodotto condizionato di molteplicit`a(9, 10, 10); per il principio di moltiplicazione sono900. Soluzione es. 1.7. Lo spazio campionarioΩdelle coppie ordinate di carte da gioco `e formato da elementi equiprobabili e si haΩ = 52× 51. I casi sfavorevoli formano un prodotto condizionato di molteplicit`a(52, 3). Pertanto la probabilit`a cercata `e1−
52× 3 52× 51 = 16
17.
Soluzione es. 1.8. (a): con 3 chiamate si ottiene un prodotto condizionato di mol- teplicit`a(10, 9, 8, 8); connchiamate uno di molteplicit`a (10, 9, 8, 8, ..., 8
� �� �
n−1
). Per il principio di moltiplicazione la notizia pu`o essere diffusa in 90× 8n−1 modi. (b): casi possibili sono un prodotto condizionato di molteplicit`a(1, 9, 8, 8), mentre i casi favorevoli sono un prodotto condizionato di molteplicit`a(1, 9, 8, 1). La probabilit`a cercata vale pertanto1/8.(c): casi possibili sono un prodotto condizionato di molte- plicit`a(9, 9, 8, 8), mentre i casi favorevoli sono un prodotto condizionato di moltepli- cit`a(9, 8, 7, 1). Infatti una quaterna favorevole `e del tipo(X, Y, Z, A)conX �= A perch´eAnon diffonde la notizia,Y �= X perch´eXnon chiama se stesso,Y �= A altrimentiZnon potrebbe chiamareAche lo ha appena chiamato,Z �= Xaltrimenti Y chiamerebbe chi lo ha chiamato,Z �= Y perch´eY non chiama se stesso,Z �= A perch´eZnon chiama se stesso. Dunque ho 9 possibilit`a perX, 8 perY, 7 perZ. La probabilit`a cercata vale pertanto7/72.
Soluzione es. 1.9. Se dalle parole di tre lettere nell’alfabeto {a, b, c, d, e, f} senza ripetizioni togliamo le parole di tre lettere nell’alfabeto {a, b, c, d, }, ci rimangono quelle cercate. Queste sono pertanto6!/3!− 4!/1! = 6 × 5 × 4 − 4 × 3 × 2 = 96. Soluzione es. 1.10. Possiamo costruire un numero contenente una volta la cifra 8 e una volta la cifra 9 con questa procedura: scegliamo la posizione del 9 tra le 4 possibili, poi scegliamo la posizione del 8 tra le tre rimanenti, infine scegliamo come riempire i due buchi rimasti a partire da quello pi`u a sinistra. Si tratta di un prodotto condizionato di molteplicit`a(4, 3, 8, 8). La probabilit`a cercata `e pertanto 4× 3 × 8 × 8
10 000 = 0.0768. Soluzione es. 1.11. (a): si tratta di un prodotto condizionato di molteplicit`a
(7, 7, 7, ..., 7
� �� �
20
); per il principio di moltiplicazione l’assemblea puo`o esprimersi in720modi diversi.(b): un esito che verifichi le condizioni imposte si pu`o ottenere prima scegliendo la persona che vota A, poi la persona che vota D, ed infine il voto delle altre 18 persone. Si tratta di un prodotto condizionato di molteplicit`a (20, 19, 5, 5, ..., 5
� �� �
18
).
Soluzione es. 1.12. Un numero `e divisibile per 4 se e solo se le ultime due cifre sono divisibili per 4. I numeri cercati si ottengono scegliendo la prima cifra, poi la seconda ed infine o il 12, o il 24, o il 32 o il 44 o il 52 come finale (si tratta dei soli numeri di due cifre scelte tra quelle date divisibili per 4); essi sono5× 5 × 5 = 125.
Soluzione es. 1.13. Supponiamo che le due torri siano una bianca ed una nera. Allora ho 64 scelte possibili per la torre bianca e 14 scelte possibili per la torre nera; in tutto 64×14scelte. Se dimentichiamo il colore delle due torri, ogni loro sistemazione sulla scacchiera `e stata contata due volte; pertanto le due torri possono essere sistemate in 64 × 7 = 448 modi. Se la scacchiera ha n righe ed m colonne il risultato `e
m× n × (n − 1 + m − 1)
2 .
Soluzione es. 1.14. Se le due regine fossero una bianca ed una nera, potrei dapprima collocare la regina nera in una delle 64 possibili posizioni, e poi la regina bianca:
per quest’ultima il numero di scelte dipende dalla corona quadrata nella quale `e stata collocata la prima regina. Le corone quadrate sono 4: se la regina nera `e stata collocata nella prima corona (quella pi`u esterna), per la regina bianca ho 64− 8 − 7 − 7 possibili posizioni; se `e stata collocata nella seconda corona, per la regina bianca ho 64− 8 − 7 − 9possibili posizioni; se `e stata collocata nella terza corona, per la regina bianca ho64− 8 − 7 − 11possibili posizioni; infine se `e stata collocata nella quarta corona, per la regina bianca ho64− 8 − 7 − 13possibili posizioni. Dunque le due regine possono essere sistemate in
28× (64 − 8 − 7 − 7) + 20 × (64 − 8 − 7 − 9) + 12 × (64 − 8 − 7 − 11)+
+4× (64 − 8 − 7 − 13) = 2 576
Se dimentichiamo il colore delle due regine, ogni loro sistemazione sulla scacchiera `e stata contata due volte; pertanto le due regine possono essere sistemate in2576/2 = 1288modi.
Soluzione es. 1.15. Messi in fila gli amici, per ciascuno di loro devo decidere se in- vitarlo o no. Ogni scelta dunque corrisponde ad una10-sequenza binaria, tranne la sequenza che esclude tutti e dieci gli amici; pertanto le possibilit`a sono210− 1. Soluzione es. 1.16. Scelto un orientamento della scacchiera, la pedina bianca non pu`o
essere collocata nelle ultime due file, altrimenti non potrebbe mai mangiare una pe- dina nera. Se colloco la pedina bianca in una delle rimanenti 6 file, ho in due casi due possibilit`a per la pedina nera, negli altri due una sola possibilit`a per la pedina nera.
Pertanto le due pedine possono essere collocate in12× 2 + 12 × 1 = 36modi.
