I CRITERI DI CONGRUENZA ( o ISOMETRIA) NEI TRIANGOLI
Due triangoli sono congruenti se si possono sovrapporre con tutti i loro elementi, chiamati elementi corrispondenti.
Per capire se due triangoli sono congruenti senza sovrapporli si usano i CRITERI DI CONGRUENZA.
Il PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA stabilisce che due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso.
Il SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA stabilisce che due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti due angoli e il lato compreso tra essi.
Il TERZO CRITERIO DI CONGRUENZA stabilisce che due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati ordinatamente congruenti.
Facciamo delle considerazioni.
Sono davvero necessarie queste richieste? Ci chiediamo:
1.Se due triangoli hanno due lati e un qualsiasi angolo rispettivamente congruenti, allora sono congruenti?
La risposta a questa domanda è NO, come possiamo vedere dalla figura sottostante:
Però se due triangoli hanno due lati congruenti e un angolo non compreso tra di essi ma questo non è acuto allora i due triangoli saranno congruenti. (PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA “SPECIALE”)
2.Se due triangoli hanno due angoli e un qualsiasi lato rispettivamente congruenti, allora sono congruenti?
La risposta a questa domanda è SI, infatti se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due angoli e un lato, essi sono congruenti. (SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA GENERALIZZATO)
PER CONCLUDERE:
Due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti:
-DUE LATI E UN ANGOLO QUALSIASI NON ACUTO -DUE LATI E L’ANGOLO TRA ESSI COMPRESO -DUE ANGOLI E UN LATO QUALSIASI
-TRE LATI
CRITERI DI CONGRUENZA NEI TRIANGOLI RETTANGOLI Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno:
DEFINIZIONE TRIANGOLI SIMILI
Due triangoli si dicono simili se rispettano le seguenti condizioni:
1. I tre angoli devono essere ordinatamente congruenti 2. I tre lati devono essere proporzionali tra loro
Esistono anche tre differenti criteri di similitudine:
Il PRIMO CRITERIO DI SIMILITUDINE dice che due triangoli sono simili se hanno tre angoli rispettivamente congruenti.
Quindi se due triangoli hanno due angoli corrispondenti congruenti anche il terzo angolo dovrà essere congruente. In particolare:
• Tutti i triangoli equilateri sono simili tra loro (ogni triangolo equilatero ha tutti gli angoli di 60°)
• Due triangoli isosceli sono simili se hanno congruenti gli angoli al vertice, o gli angoli alla base
• Due triangoli rettangoli sono simili se hanno un angolo acuto rispettivamente congruente
Il SECONDO CRITERIO DI SIMILITUDINE dice che due triangoli sono simili se hanno una coppia di lati proporzionali e l’angolo compreso tra essi congruente.
Questo criterio ci ricorda qualcosa. Assomiglia molto al primo criterio di congruenza dei triangoli. Questa volta però le due coppie di lati sono proporzionali invece che congruenti e i triangoli sono simili. In particolare:
-due triangoli rettangoli con i cateti proporzionali sono simili
-due triangoli isosceli con gli angoli al vertice congruenti sono simili
Il TERZO CRITERIO DI SIMILITUDINE dice che due triangoli sono simili se hanno tutti e tre i lati proporzionalmente congruenti.
In particolare due triangoli equilateri sono sempre simili (un triangolo equilatero ha tutti i lati congruenti)
Esercizi di dimostrazione sui criteri di congruenza dei triangoli
Nel triangolo ABC indica con M il punto medio del lato BC. Congiungi A con M e prolunga AM di un segmento ME congruente ad AM. Congiungi B con E. Dimostra che AC è congruente a BE.
Da fare in classe:
Sui lati AC e A’C’ dei triangoli congruenti ABC e A’B’C’ , considera i segmenti AQ e A’Q’ congruenti. Dimostra che:
a. BQ è congruente a B’Q’
b. Gli angoli CBQ e C’B’Q’ sono congruenti Da fare in classe:
Sui lati AC e A’C’ dei triangoli congruenti ABC e A’B’C’ , considera i segmenti AQ e A’Q’ congruenti. Dimostra che:
a. BQ ≅ B’Q’
b. Gli angoli CBQ ≅ C’B’Q’
Esercizi sui criteri di similitudine dei triangoli
1- Un triangolo che ha un angolo di 43° e uno di 37° e un altro triangolo con gli angoli di 100° e 37° sono simili?
SI, perché essendo la somma degli angoli interni di un triangolo sempre uguale a 180° per differenza ottengo:
Nel primo triangolo 180°- (43°+37°) = 100°
Nel secondo triangolo 180°- (100°+37°) = 43°
Pertanto avendo tre angoli congruenti i due triangoli sono simili per il primo criterio di similitudine
MEGGIORIN THOMAS 1^B Da fare in classe:
Un triangolo rettangolo che ha un cateto di 10 cm e uno di 4 cm è simile ad un altro triangolo rettangolo con cateti lunghi 5 cm e 2 cm?
