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(1) Using Magma determine for which values of m, n, e the Ball B

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Academic year: 2021

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(1)

EXERCISES CODING THEORY SHEET 02

(1) Using Magma determine for which values of m, n, e the Ball B

e

(∗) defined over an alphabet with m elements and of length n, has size a power of m, with 1 ≤ n, m ≤ 10 and 1 ≤ e ≤ n.

(2) Let H be the 7 by 3 matrix over F

2

whose i-th row is (a

0

, a

1

, a

2

), where i = a

0

+2a

1

+4a

3

. Let σ ∈Sym(7) and define σ(H) as the 7×3 matrix whose σ(i)-th row is the i-th row of H. Let C

σ

= ker σ(H).

Using Magma determine |{C

σ

: σ ∈Sym(7)}|. Can you interpret the result analysing the action of Sym(7) on the above set?

(3) Given an alphabet A and C ⊆ A

n

, show that d

min

(C) = n implies

|C| ≤ | A|.

(4) Given 1 ≤ s ≤ m, m = | A|, exhibit codes as above with |C| = s.

(5) Let F be a field of size q, C =Rep

n

(F ). Prove that for any v ∈ F

n

, d

min

(C + v) = n, where C + v = {c + v : c ∈ C}.

E-mail address: andrea.previtali@unimib.it Webpage: http://www.matapp.unimib/~prevital

Date: November 14, 2016.

Andrea Previtali. c

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