EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE PRIME CONSIDERAZIONI .

EQUAZIONI

DIFFERENZIALI ORDINARIE

PRIME

CONSIDERAZIONI .

 Generalità sulle equazioni Generalità sulle equazioni differenziali.

differenziali.

Argomenti della lezione Argomenti della lezione

 Alcuni tipi d’equazioni del Alcuni tipi d’equazioni del prim’ordine.

prim’ordine.

GENERALITÀ SULLE GENERALITÀ SULLE

EQUAZIONI EQUAZIONI

DIFFERENZIALI

DIFFERENZIALI

Molti problemi di tipo Molti problemi di tipo

fisico-tecnico o geometrico, fisico-tecnico o geometrico,

conducono a considerare conducono a considerare

equazioni nelle quali equazioni nelle quali

intervengono come incognite intervengono come incognite

i valori di una funzione

i valori di una funzione y(x) y(x) e e delle sue derivate

delle sue derivate y’, y’’,.. y’, y’’,..

Abbondano gli esempi Abbondano gli esempi

1) Equazione d’un semplice circuito 1) Equazione d’un semplice circuito

elettrico in serie elettrico in serie

V(t)= R i(t) + L di/dt

Qui la funzione incognita è

Qui la funzione incognita è i(t)..

2) Traiettoria di un galleggiante 2) Traiettoria di un galleggiante

che si muove nella corrente di un che si muove nella corrente di un

fiume.

fiume.

In ogni punto di un insieme aperto In ogni punto di un insieme aperto A  R² che rappresenta la superficieche rappresenta la superficie

di un tratto del fiume è assegnata di un tratto del fiume è assegnata

una direzione di moto (un campo una direzione di moto (un campo

di direzioni).

di direzioni).

y

(x) = f(x,y)

Si cerca la traiettoria del Si cerca la traiettoria del

galleggiante che, partendo da una galleggiante che, partendo da una

posizione iniziale

posizione iniziale (x⁰,y⁰) si muove in si muove in modo che il suo moto sia sempre

modo che il suo moto sia sempre tangente alla corrente.

tangente alla corrente.

y’(x) = f(x,y)

y





x⁰ y⁰

3) Data una famiglia di curve piane 3) Data una famiglia di curve piane

dipendenti da un parametro

dipendenti da un parametro f(x,y;c)=0, , trovare l’equazione differenziale

trovare l’equazione differenziale della famiglia.

della famiglia.

Si ottiene, in condizioni favorevoli, Si ottiene, in condizioni favorevoli,

eliminando la costante

eliminando la costante cc dalle dalle equazioni

equazioni

f(x,y;c) =

f0_x(x,y;c) + f_y(x,y;c) y’

= 0

Per esempio, la famiglia delle Per esempio, la famiglia delle

circonferenze con centro sull’asse circonferenze con centro sull’asse xx e passanti per l’origine: e passanti per l’origine:

(x-a)² + y² = a²

ha equazione differenziale ha equazione differenziale

y² - x² - 2 xyy’ = 0.

Data

Data f : A  Rⁿ⁺²  R, A aperto, un’equazione del tipo:

f(x,y,y’,…,y⁽ⁿ⁾) = 0

si dice un’equazione

differenziale d’ordine n se f

dipende effettivamente da y⁽ⁿ⁾. L’equazione si dice di forma

normale se è risolta nella derivata d’ordine massimo:

y⁽ⁿ⁾ = f(x,y,y’,…,y^(n-

1))

Una funzione y(x) che sia n volte derivabile e che sostituita nell’

equazione differenziale la soddisfi identicamente si dice una soluzione o integrale dell’equazione.

Un problema tipico che si pone per equazioni differenziali del prim’ordine o per sistemi

d’equazioni del prim’ordine è il Problema di Cauchy o ai valori iniziali:

y’(x) = f(x,y(x))

y





trovare y(x) definita su un

intervallo I, con x⁰  I, tale che (1)

Vale in proposito il seguente

Teorema

Se f : A  R²  R è continua, allora esistono h >0 e y : ] x⁰ - h,x⁰ + h[

soluzione del problema. Se

esiste ed è continua, allora

la soluzione è unica.

Ci occuperemo ora della soluzione di alcuni tipi particolari d’equazioni del prim’ordine.

ALCUNI TIPI ALCUNI TIPI PARTICOLARI PARTICOLARI D’EQUAZIONI D’EQUAZIONI DIFFERENZIALI DIFFERENZIALI

DEL PRIM’ORDINE

DEL PRIM’ORDINE

Equazioni a

Equazioni a variabili separabilivariabili separabili.. Sono le equazioni del tipo

Sono le equazioni del tipo

con g(x) con definita e continua su undefinita e continua su un intervallo

intervallo II di di RR e h(y) e di classe di classe

C¹(J) su JJ intervallo di di R. (A = I R  J) Sotto queste condizioni il problema di Cauchy ha una e una sola

soluzione locale

y’ = g(x)  h(y) [ = f(x,y)]

(2)

Se h(y⁰) = 0, allora y(x)  y⁰, cioè la soluzione è la funzione costante.

Se h(y⁰) ≠ 0, allora la soluzione non s’annulla in alcun punto.. (perché?) Dividendo la (2) per h(y) ≠ 0, si trova

y’(x)/ h(y(x)) = g(x)

e quindi.. (calcoli a parte)

Esempio:

y’ = y²

y(x) = ____________y⁰ 1 + y⁰(x⁰- x)

È interessante notare che la

soluzione non è definita su tutto R, benché f(x,y)sia definita in R².

Equazioni

Equazioni omogeneeomogenee..

Sono le equazioni del tipo Sono le equazioni del tipo

(3) y’ = f(y(x)/x)

Prendendo come nuova funzione Prendendo come nuova funzione

incognita incognita

u(x) = y(x)/x

L’equazione

L’equazione (3) si trasforma nella si trasforma nella seguente

seguente

u’(x) = (f(u(x))- u(x))/x

che è a variabili separabili.

che è a variabili separabili.

Esempio 1:

Esempio 1: y

y’ = ______x+y Esempio 2:

Esempio 2: y’ = (y/x) + tg(y/x)