Equazioni differenziali ordinarie di Bernoulli

Analisi Mat. Ing. Civile (Canale A-K e L-Z) Silvia Marconi - 10 Dicembre 2012 -

 Equazioni differenziali ordinarie di Bernoulli

Metodo di soluzione di equazioni differenziali ordinarie di Bernoulli.

• Risolvere i seguenti problemi di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie di Bernoulli.

• (I)  2y ⁰ + y cot x = y ³ sin x

y ^π ₂
= 0 (II)  2y ⁰ + y cot x = y ³ sin x y ^π ₂
= 1

[Risp.: y ≡ 0 soluzione globale in (0, π) per (I); y(x) = q ¹

(

^+1−x ) ^{sin x} soluzione locale in 0, ^π ₂ + 1
per (II)].

•  y ⁰ = ^4y _x + x √ y y(1) = 0

[Risp.: y(x) = x ⁴ (ln √

x) soluzione globale in (0, +∞); y ≡ 0 soluzione stazionaria singolare].

• Determinare l’integrale generale dell’equazione y ⁰ + 1

4(x + √ x) y =

√ x y . [Risp.: y(x) =

q 3x

+4

√ x

+d 3( √

x+1) , d ∈ R].

 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coeffi- cienti costanti non omogenee.

Integrale generale. Problema di Cauchy. Principio di sovrapposizione.

Metodo della somiglianza per il calcolo delle soluzioni particolari.

Risolvere le seguenti equazioni o problemi di Cauchy per equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee.

• y ⁰⁰ + y = x ² − 2 [Risp.: y(x) = c ₁ cos x + c ₂ sin x + x ² − 4, c ₁ , c ₂ ∈ R].

•







16y ⁰⁰ − 8y ⁰ + y = e

y(0) = −2

y ⁰ (0) = 1

[Risp.: y(x) = e

₃₂ ¹ x ² + ³ ₂ x − 2
].

• y ⁰⁰ − y + 1 = 3e ^2x [Risp.: y(x) = c 1 e ^x + c 2 e ^−x + e ^2x + 1, c 1 , c 2 ∈ R].

• y ⁰⁰ + y = cos x + _{cos x} ¹

[Risp.: y(x) = c ₁ cos x + c ₂ sin x + ³ ₂ x sin x + cos x ln | cos x|, c ₁ , c ₂ ∈ R, x 6=

π

2 + kπ, k ∈ Z].

• y ⁰⁰ − 4y ⁰ + 5y = e ^2x (1 + cos x) + 5x ²

[Risp.: y(x) = c ₁ e ^2x cos x+c ₂ e ^2x sin x+e ^2x + ¹ ₂ xe ^2x sin x+x ² + ⁸ ₅ x+ ²² ₂₅ , c ₁ , c ₂ ∈ R].