Esercizio 1. Descrivere l'insieme

POSSIBILE SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI PER IL TUTORAGGIO DEL 22/10/2010

Esercizio 1. Descrivere l'insieme

{x ∈ R : |x − 1| < |x + 2|}

e trovare eventuali estremi superiori e inferiori e massimo e minimo.

Soluzione. Per studiare la soluzione della disequazione possiamo disegnare le funzio- ni f(x) = |x − 1| e g(x) = |x + 2| e vedere gracamente in quali casi la disequazione è soddisfatta. Il graco che ne risulta è

-4 -2 2 4

-2 -1 1 2 3 4 5

dove f è la funzione in blu e g la funzione in rosso. Si vede che g è più grande di f nell'intervallo aperto (−

, +∞) (zona più scura). L'estremo inferiore di questo intervallo è −

che non è però un punto di minimo.  Esercizio 2. Dimostrare per induzione la seguente formula

n

X

k=1

2k = n(n + 1).

Soluzione. Per n = 1 l'identità è chiaramente vera. Supponiamo quindi l'identità vera per n e proviamola per n + 1. Dobbiamo quindi provare che

n+1

X

k=1

2k = (n + 1)(n + 2).

Abbiamo che

n+1

X

k=1

2k = 2 · 1 + 2 · 2 + 2 · 3 + . . . + 2n + 2(n + 1) =

=

n

X

k=1

2k + 2(n + 1) i.i. = n(n + 1) + 2(n + 1) = (n + 1)(n + 2), dove con i.i. stiamo indicando il fatto che abbiamo usato l'ipotesi induttiva, ovvero

che la formula è valida per n. 

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2POSSIBILE SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI PER IL TUTORAGGIO DEL 22/10/2010

Esercizio 3. Trovare funzioni continue (diverse!!) denite nell'intervallo (−1, 1) con le seguenti proprietà:

a) f è limitata superiormente, ma non inferiormente;

b) f non è limitata né inferiormente né superiormente;

c) f è limitata superiormente e inferiormente;

d) f è limitata inferiormente, ma non superiormente.

Soluzione. Abbiamo detto che la funzione f(x) =

non è continua (!!!) in (−1, 1) tuttavia è illimitata sia superiormente che inferiormente. Possiamo quindi modifarla leggermente per ottenere qualche esempio voluto. Se consideriamo f(x) =

(abbiamo spostato la funzione

un pochetto a destra) otteniamo un esempio per a). Se prendiamo invece f(x) =

(abbiamo spostato la solita funzione

un pochetto a sinistra) otteniamo invece un esempio per d). Per c) possiamo prendere qualsiasi polinomio o le funzioni sin(x), cos(x) (altri esempi fateli voi). Mentre per

b) un possibile esempio è f(x) = tan(

x) . 

Esercizio 4. Tracciare il graco della funzione f (x) = [sin x]

(per a ∈ R, [a] denota la parte intera di a) per 0 ≤ x ≤ 2π.

Soluzione. Con parte intera di a si indica il più grande intero minore o uguale ad a (credo di non aver dato la denizione in modo preciso a lezione!). La funzione che dobbiamo disegnare è

[sin(x)] =







1 x =

,

0 0 ≤ x <

,

< x ≤ π e x = 2π,

−1 π ≤ x < 2π.

Il graco è

1 2 3 4 5 6

-1.0 -0.5 0.5 1.0

dove la funzione in blu è la funzione sin(x) mentre quella in rosso è quella cercata (dovete immaginare un buco in x =

, dove la funzione vale 1, come evidenziato

dal pallino rosso). 

Ringrazio moltissimo il dott. Stefano Pazqo Pascolutti per i disegni e

per il tempo (da me rubato) che ha dedicato a farli.