De…nizione di lim- ite

P ROGRAM M A DEL CORSO DI M AT EM AT ICA Calcolo di¤erenziale in una variabile.

Funzioni: dominio, immagine, funzioni composte ed inverse. Esempi: Curve e super…ci. Simmetrie, periodicità, gra…ci. Funzioni elementari: Potenze, espo- nenziale e logaritmo, seno, coseno, tangente e arcotangente. De…nizione di lim- ite. Calcolo di limiti. Forme di indecisione. Due numeri speciali: e, . Funzioni continue. Il teorema degli zeri ed il metodo di bisezione per il calcolo approssi- mato di uno zero. Esistenza di massimi e minimi. Rapporto incrementale e derivata, equazione della retta tangente al gra…co di una funzione. Derivata seconda: concavità e convessità. Regole di derivazione: Somma e di¤erenza, prodotto e quoziente, derivata della funzione composta ed inversa. Derivate di funzioni elementari: Potenze, esponenziale e logaritmo, seno, coseno, tangente e arcotangente. I teoremi del calcolo di¤erenziale: Fermat, Rolle, Lagrange, de l’Hopital. Sudio di funzioni: Dominio e immagine, simmetrie, limiti agli estremi del dominio, massimi e minimi, concavità e convessità, asintoti, gra…co.

Calcolo integrale in una variabile.

Integrale di Riemann: De…nizione e signi…cato geometrico. Calcolo ap- prossimato di un integrale: Il metodo dei rettangoli e dei trapezi. Proprietà dell’integrale de…nito. Il teorema della media. Il teorema fondamentale del cal- colo integrale. Funzioni primitive e integrale inde…nito. Metodi di integrazione:

Scomposizione, per parti, per sostituzione. La formula di Taylor con il resto integrale. Lo sviluppo in serie di potenze delle funzioni elementari.

Calcolo di¤erenziale ed integrale in più variabili.

Derivate direzionali e parziali. Gradiente, direzione di massima pendenza.

Equazione del piano tangente ad una super…cie. Derivate di ordine superiore.

Formula di Taylor. Segno di un polinomio di secondo grado. Massimi e minimi liberi e vincolati. Integrali multipli. Riduzione di un integrale multiplo ad integrali semplici successivi. Integrazione in coordinate polari. Calcolo di aree, volumi, baricentri. Area del cerchio, volume della sfera.

Equazioni di¤erenziali.

Esempi dalla …sica: F = ma, velocità e accelerazione. Equazioni di¤eren- ziali del primo ordine e problema di Cauchy. Signi…cato geometrico: Campo di direzioni. Soluzioni approssimate di equazioni di¤erenziali: Poligonali di Eulero. Sviluppo in serie di potenze della soluzione di una equazione di¤eren- ziale. Equazioni a variabili separabili e lineari. Equazioni del secondo ordine lineari con coe¢ cienti costanti. L’oscillatore armonico.

Algebra lineare.

Spazi vettoriali. Esempi: Vettori del piano e dello spazio, regola del paral- lelogramma, prodotto scalare. Combinazione lineare di vettori, vettori indipen- denti. Base e dimensione di uno spazio vettoriale. Algebra delle matrici. Sistemi di equazioni lineari.

AP P U N T I DEL CORSO DI M AT EM AT ICA

Questi appunti sono una traccia degli argomenti che si cerca di trattare nelle ore di lezione. Non devono essere usati come surrogato di un buon libro di testo, anche perché le dimostrazioni dei risultati presentati sono appena accennate, ed a volte sono anche imprecise. L’algebra, la geometria analitica e la trigonome- tria dei programmi delle scuole superiori sono prerequisiti fondamentali. In par- ticolare bisogna sapere cosa sono le equazioni e disequazioni, l’equazione della retta, le proprietà delle potenze, gli esponenziali e logaritmi, il seno e coseno e la tangente, i gra…ci di tutte queste funzioni, etc. La logica elementare è un prerequisito ancor più fondamentale. In particolare bisogna saper usare un lin- guaggio non ambiguo ed aver ben chiaro cosa sono ipotesi, tesi, dimostrazione.

Le de…nizioni ed i teoremi devono essere enunciati con precisione ed illustrati con esempi e controesempi.

N U M ERI REALI

Con i numeri naturali N = f1; 2; 3; :::g si possono fare somme e prodotti, con gli interi relativi Z = f:::; 2; 1; 0; 1; 2; :::g somme, sottrazioni, prodotti, con i razionali Q = fp=qg somme, sottrazioni, prodotti, divisioni. Con queste quattro operazioni elementari si possono già risolvere le equazioni di primo grado a coe¢ cienti interi qx p = 0, x = p=q. Per risolvere le equazioni di secondo grado ax²+ bx + c = 0 non bastano i razionali, ma occorrono le radici quadrate.

Le formule risolutive delle equazioni di terzo e quarto grado fanno intervenire anche radici terze e quarte. E per equazioni più complicate che numeri bisogna inventare?

I numeri reali R sono in corrispondenza biunivoca con i punti della retta. I numeri reali sono anche in corrispondenza con gli allineamenti decimali in…niti, ma lo sviluppo decimale non è unico! Per esempio 1 : 3 = 0; 333:::, 0; 333::: 3 = 0; 999::: Quindi 0; 999::: = 1.

Teorema: Un numero è razionale se e solo se ha uno sviluppo decimale periodico.

Dimostrazione: Razionale implica periodico. Dividendo p : q trovo dei resti 0 r < q che dopo al più q volte si ripetono. Questo è il periodo. Periodico implica razionale. 1=9 = 0; 111:::, 1=99 = 0; 010101:::, 1=999 = 0; 001001001:::.

Quindi, per esempio, 0; abcbcbc::: = a=10 + bc=990 = (99a + bc)=990.

Teorema: Le soluzioni di xⁿ+ ax^{n 1}+ ::: + bx + c = 0, con a,..., b, c interi, o sono intere o sono irrazionali. In particolare la radice n-esima di un intero k, soluzione di xⁿ k = 0, se non è intera non è neanche razionale.

Dimostrazione: Se x = p=q è soluzione, sostituendola nell’equazione ed eliminando i denominatori si ottiene un’eguaglianza tra numeri interi, pⁿ = q ap^{n 1}+ ::: + bpq^{n 2}+ cq^{n 1} . Quindi q divide pⁿe, se p e q sono primi tra loro, deve essere q = 1.

Un corollario dei due teoremi precedenti è che esistono dei numeri irrazionali.

Per esempio,p

2 è soluzione dell’equazione x² 2 = 0 e non è un intero,quindi non è una frazione.

Esercizi: Dimostrare che se x è razionale e y irrazionale, allora x + y, x y, x y, x=y, sono irrazionali. E se sia x che y sono irrazionali? Le radici dei numeri interi o sono intere o sono irrazionali. Cercare un polinomio a coe¢ cienti interi con radice x = p²

2 +p³

3 e concludere che questo numero è irrazionale. log_a(b) è razionale? Se log_a(b) = p=q, allora a^p= b^q...

De…nizione di Dedekind di numero reale: Una sezione dei razionali è una suddivisione di questi numeri in due classi fA; Bg tali che ogni elemento della prima è minore di ogni elemento della seconda. Ogni sezione dei numeri razionali de…nisce un numero reale ed ogni reale è de…nito da una sezione dei razionali.

Questo numero può essere visto come l’elemento separatore tra le due classi.

Come un razionale p=q è de…nito da una coppia di interi fp; qg, così un reale x è de…nito da una sezione dei razionali fA; Bg. Più in generale, ogni coppia di classi contigue di numeri reali fA; Bg ha un elemento separatore, che è contem- poraneamente maggiore o uguale a tutti gli elementi in A e minore o uguale a tutti gli elementi in B. Per esempio, l’insieme dei perimetri dei poligoni inscritti e circoscritti ad un cerchio sono una coppia di classi contigue che de…niscono il perimetro del cerchio.

N U M ERI COM P LESSI

Un numero positivo elevato al quadrato resta positivo, ed un numero neg- ativo elevato al quadrato divento positivo. Quindi la radice quadrata di un numero negativo non è un numero positivo e non è un numero negativo. O non esiste, o è un nuovo tipo di numero! In matematica si opta per questa seconda possibilità. Si de…nisce un numero i immaginario, cioè non reale, con la pro- prietà che i² = 1, cioè i = p

1. Si de…scono poi i numeri complessi a + ib, con a e b reali. In particolare, se b = 0 il numero è reale e se a = 0 il numero è immaginario. Le regole del calcolo sono quelle usuali, ma ad i² si sostituisce

1:

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d) ;

(a + ib) (c + id) = ac + iad + ibc + i²= (ac bd) + i (ad + bc) ; a + ib

c + id = a + ib c + id

c id

c id = (a + ib) (c id)

(c + id) (c id) = ac + bd

c²+ d² + ibc ad c²+ d²: Se i numeri reali stanno su una retta, quelli complessi stanno su un piano. Al numero a+ib corrisponde il punto di coordinate (a; b). In coordinate polari, è un vettore di lunghezza =p

a²+ b²ed angolo #, con a = cos (#) e b = sin (#).

=p

a²+ b² è il modulo e # l’argomento del numero complesso. La somma di due numeri complessi è la somma dei vettori con la regola del parallelogramma:

(a; b) + (c; d) = (a + c; b + d). Se a + ib = (cos (#) + i sin (#)) e c + id =

(cos (') + i sin (')), allora

(a + ib) (c + id) = (cos (#) + i sin (#)) (cos (') + i sin ('))

= (cos (#) cos (') sin (#) sin (')) + i (cos (#) sin (') + sin (#) cos ('))

= (cos (# + ') + i sin (# + ')) :

Il prodotto di due numeri complessi è un numero complesso con modulo uguale al prodotto dei moduli, ed argomento uguale alla somma degli argomenti.

SU CCESSION I E SERIE Progressioni aritmetiche: a(n + 1) a(n) = c.

Progressioni geometriche: a(n + 1)=a(n) = c.

::: 3 2 1 0 1 2 3 :::

::: 1=8 1=4 1=2 1 2 4 8 :::

Alla somma sulla riga sopra corrisponde il prodotto sulla riga sotto. I numeri della riga sopra sono i logaritmi di quelli sotto. I numeri della riga sotto sono gli esponenziali di quelli sopra. Le tavole dei logaritmi sono progressioni aritmetiche e geometriche simili, solo più “…tte”.

Una successione fa(1); a(2); a(3); :::g è una …la di numeri. Quando la suc- cessione è in…nita, è interessante conoscerne il comportamento “al limite”, se i termini crescono a dismisura lim_n!+1fa(n)g = +1, se si avvicinano ad un dato valore lim_n!+1fa(n)g = A, o se hanno un comportamento caotico lim_n!+1fa(n)g non esiste.

Teorema(Archimede): 3 +¹⁰₇₁ < < 3 +¹₇.

Dimostrazione: Il perimetro di un poligono regolare di n lati inscritto in un cerchio di raggio uno è 2n sin ( =n) ed il perimetro di un poligono circoscritto è 2n tan ( =n). Il perimetro del cerchio è il limite dei perimetri dei poligoni inscritti o circoscritti. Osserviamo ora che si può passare dal perimetro di un poligono con un dato numero di lati al perimetro di un poligono con un numero di lati doppio utilizzando le formula di bisezione, se P (n) = n sin ( =n),

P (2n) = 2n sin ( =2n) = 2n

r1 cos( =n)

2 = 2n

vu ut 1

q

1 sin²( =n) 2

= n r

2 q

4 4 sin²( =n) = n r

2 q

4 4 (P (n)=n)²:

Quindi

P (6) = 6 sin( =6) = 3 P (12) = 6

q

2 p

3 = 3; 105:::

P (24) = 12 r

2 q

2 +p

3 = 3; 132:::

P (48) = 24 s

2 r

2 + q

2 +p

3 = 3; 139:::

P (96) = 48 vu ut 2

s 2 +

r 2 +

q 2 +p

3 = 3; 141:::

Il limite di n sin ( =n) è = 3; 141592 6535:::

Il problema dell’interesse composto: Con un interesse annuo dell’x% un capitale, o un debito, C in k anni diventa C (1 + x=100)^k. E se l’interesse matura mensilmente o giornalmente? C (1 + x=1200)^12k, C (1 + x=36500)^365k. E se l’interesse matura istantaneamente?

Teorema: La successione f(1 + 1=n)ⁿg ha un limite e = 2; 7182818284:::.

Più in generale, se fa(n)g ! +1, allora (1 + 1=a(n))^a(n) ! e.

Dimostrazione: f(1 + 1=n)ⁿg cresce e (1 + 1=n)ⁿ⁺¹decresce, in mezzo ci sta il limite e.

De…nizionedi funzione esponenziale: exp(x) = lim_n!+1f(1 + x=n)ⁿg.

Infatti (1 + x=n)ⁿ= (1 + x=n)^{n=x x} e^x.

De…nizionedi logaritmo: log(y) = lim_n!+1 n(y¹⁼ⁿ 1) . Infatti, se (1 + x=n)ⁿ= y allora x = n(y¹⁼ⁿ 1).

Vedremo in seguito che per le funzioni trigonometriche è naturale misurare gli angoli non in gradi ma in radianti, in modo da avere l’angolo piatto uguale a . Similmente, per gli esponenziali e i logaritmi la base naturale è il numero e, quindi “non avrai altra base all’infuori di e”.

De…nizione di Cauchy di limite limn!+1fa(n)g = A: La successione fa(n)g ha limite A se ad ogni " > 0 è possibile associare un N tale che se n > N allora ja(n) Aj < ". Cioè, …ssato un intorno di A, l’intervallo (A "; A + "), tutti i termini della successione da un certo posto in poi cadono nell’intorno.

De…nizione di limn!+1fa(n)g = +1: La successione fa(n)g ha limite +1 se ad ogni M > 0 è possibile associare un N tale che se n > N allora a(n) > M . Cioè, …ssato un intono di +1, l’intervallo (M; +1), tutti i termini della successione da un certo posto in poi cadono nell’intorno.

Esempi: La successione fsin (n)g non ha limite. La successione fn sin ( =n)g ha limite . I numeri reali sono de…niti da successioni. Per esempio è il limite della successione f3; 3; 1; 3; 14; 3; 141; 3; 1415; 3; 14159; :::g, 0 < a(n) <

10 ⁿ.

Teorema: Il limite, se esiste, è unico.

Dimostrazione: Se esistessero due limiti A e B, i termini della successione da un certo posto in poi dovrebbero stare contemporaneamente in due intorni (A "; A + ") e (B "; B + "). Scegliendo tali intorni disgiunti si giunge ad una contraddizione.

Teorema: Il limite di una successione monotona crescente, a(1) a(2) a(3) ::: esiste ed è uguale all’estremo superiore dell’insieme fa(n)g.

Dimostrazione: Se A è l’estremo superiore di fa(n)g, A " non è l’estremo superiore e A " < a(N ) A per un qualche N . Ma per la monotonia A " < a(N ) a(n) A per ogni n > N .

Teorema(dei due Carabinieri): Se a(n) b(n) c(n) e se sia fa(n)g che fc(n)g convergono ad uno stesso limite, dove volete che vada a …nire fb(n)g?

Una successione positiva può convergere ad un limite negativo?

Operazioni sui limiti: Il limite della somma, di¤erenza, prodotto, quoziente,..., di successioni è la somma, di¤erenza, prodotto, quoziente,..., dei limiti. Ma es- istono delle forme indeterminate: +1 1, 1=1, 0 1, 0=0, 1⁰, 1¹,...

Esempi: Se P (n) e Q(n) sono polinomi, P (n)=Q(n) = 1=1. p

n + 1 p n = +1 1. n¹⁼ⁿ = 1⁰...

8>

<

>: p1;

q 1 +p

1;

r 1 +

q 1 +p

1;

s 1 +

r 1 +

q 1 +p

1; :::

9>

=

>;

La successione de…nita per ricorrenza, a(n + 1) = p

1 + a(n), cresce ed è compresa tra 1 e 2. Quindi converge ed al limite x = p

1 + x, cioè x = 1 +p

5 =2.

Un limite facile ed uno di¢ cile: Se (n) è il numero di numeri primi minori o uguali ad n,

n!+1lim (n) = +1; lim

n!+1

(n) n= log(n) = 1:

Il simbolo di somma: Xⁿ

k=ma(k) = a(m) + a(m + 1) + ::: + a(n).

Esempi: Xⁿ

k=1k = n(n + 1)=2,Xⁿ

k=1k²= n(n + 1)(2n + 1)=6.

De…nizione: Una somma di in…niti termini è il limite, se esiste, della suc- cessione delle somme parziali,X+1

k=0a(k) = lim_n!+1nXn

k=0a(k)o .

Esempio: Lo sviluppo decimale di un numero è una serie di potenze di 10, 3; 1415::: = 3 10⁰+ 1 10 ¹+ 4 10 ²+ 1 10 ³+ 5 10 ⁴+ :::

La serie geometrica: X⁺1

k=1x^k = 1

1 x se jxj < 1.

(1 x) 1 + x + x²+ ::: + xⁿ

= 1 + x + x²+ ::: + xⁿ x + x²+ ::: + xⁿ+ xⁿ⁺¹ = 1 xⁿ⁺¹; Xn

k=1

x^k= 1 xⁿ⁺¹

1 x ! 1

1 x se xⁿ⁺¹ ! 0:

La serie armonicaX⁺1

k=11=k = +1.

1 + 1 2+ 1

3 +1

4 + 1

5+ ::: + 1

8 + 1

9 + ::: + 1 16 + :::

1 + 1 2 + 1

4 +1

4 + 1

8+ ::: + 1

8 + 1

16+ ::: + 1 16 + :::

1 + 1 2+1

2 +1 2 +1

2+ ::: = +1:

La serie di EuleroX⁺1

k=11=k²= ²=6 e la serieX⁺1

k=11=k³=?

Oltre alle somme in…nite, esistono anche i prodotti e quozienti di in…niti termini. Per esempio,

sin(x) = x(1 + x )(1 x

)(1 + x

2 )(1 x 2 ):::

tan(x) = x

1 x²

3 x²

5 x²

7 :::

:

F U N ZION I

De…nizione: Una funzione da un insieme A in un insieme B è una relazione y = f (x) che ad ogni elemento x in A, il dominio della funzione, associa uno ed un solo elemento y in B, il codominio. L’immagine di un insieme C A è f (C) = ff(x); x 2 Cg e la controimmagine di un insieme D B è f ¹(D) = fx; f(x) 2 Dg. Una funzione è suriettiva se f(A) = B, cioè se per ogni y in B l’equazione y = f (x) ha almeno una soluzione. Una funzione è iniettiva se per u 6= v si ha che f(u) 6= f(v), cioè se per ogni y in B l’equazione y = f(x) ha

al più una soluzione. Se una funzione y = f (x) è suriettiva ed iniettiva, si può considerare la funzione inversa x = f ¹(y), che ad y in B associa x in A. Data una funzione y = f (x) da A in B ed una funzione z = g(y) da B in C, si può considerare la funzione composta z = g(f (x)) da A in C. In particolare, per una funzione invertibile f ¹(f (x)) = f (f ¹(x)) = x.

Esempi: Le successioni sono funzioni de…nite sull’insieme dei numeri natu- rali.

La funzione z = p

1 x² y² associa ad una coppia di numeri (x; y) un numero z. Il dominio sono i punti nel cerchio x²+ y² 1 e l’immagine il segmento f0 z 1g.

f (x) =p

exp(x) 1; x ! exp(x) ! exp(x) 1 ! p

exp(x) 1;

f ¹(x) = log x²+ 1 ; log x²+ 1 x²+ 1 x² x:

Le funzioni reali di variabile reale associano numeri reali a numeri reali. Le funzioni monotone crescenti ad a < b associano f (a) < f (b). Quelle decres- centi ad a < b associano f (a) > f (b). Le funzioni monotone sono iniettive e quindi invertibili. È vero il viceversa? Fenomeni simmetrici sono descritti da funzioni simmetriche e fenomeni periodici sono descritti da funzioni periodiche.

Le funzioni pari sono quelle che veri…cano la relazione f ( x) = f (x) e le fun- zioni dispari quelle che veri…cano la relazione f ( x) = f (x). Per esempio, le potenze pari x²ⁿ sono funzioni pari e quelle dispari x²ⁿ⁺¹ sono dispari. Le fun- zioni periodiche sono quelle che veri…cano la relazione f (x + a) = f (x). Se una funzione ha periodo a ha anche periodo a, 2a, 3a,... Le funzioni trigono- metriche sono periodiche, per esempio sin(!x) ha periodo 2 =!. Viceversa, ogni funzione periodica non troppo patologica può essere scomposta in una in…nita di funzioni trigonometriche.

Il gra…co di una funzione y = f (x) è l’insieme dei punti f(x; f(x))g.

Il gra…co di una funzione pari è simmetrico rispetto all’asse delle y. Il gra…co di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine. Il gra…co di una fun- zione inversa y = f ¹(x) è il simmetrico del gra…co di y = f (x) rispetto alla retta y = x.

Esercizi: Studiare le funzioni y = sin(x)

x , x

1 + x², y = x(x 1) x 2 .

Quali sono dominio ed immagine? Ci sono simmetrie? Com’è il gra…co?

Se f (x) è pari e g(x) dispari, f (x) + g(x), f (x) g(x), f (g(x)), sono pari o dispari? Se f (x) ha periodo A e g(x) periodo B, che periodo ha f (x) + g(x)?

Basta osservare che se f (x) ha periodo A, ha anche periodi 2A, 3A,..., e se g(x) ha periodo B, ha anche periodi 2B, 3B,... Se c’è un multiplo comune mA = nB, questo è un periodo della somma.

De…nizionedi limite limx!af (x) = b: La funzione f (x) tende a b quando x tende ad a se ad ogni " > 0 è possibile associare un tale che se 0 < jx aj <

allora jf(x) bj < ".

limx!a f (x) = b+: La funzione f (x) tende a b dal di sopra quando x tende ad a dal di sotto se ad ogni " > 0 è possibile associare un tale che se 0 < a x < allora 0 f (x) b < ".

lim_x!+1f (x) = 1: La funzione f(x) tende a 1 quando x tende a +1 se ad ogni M è possibile associare un N tale che se x > N allora f (x) < M .

La retta y = mx + q è un asintoto della funzione f (x) per x ! +1 se lim_x!+1jf(x) mx qj = 0.

Operazioni sui limiti: Il limite della somma, di¤erenza, prodotto, quoziente,..., è la somma, di¤erenza, prodotto, quoziente,..., dei limiti. Ma esistono delle forme indeterminate: +1 1, 1=1, 0 1, 0=0, 1⁰, 1¹,...

Limiti notevoli:

xlim!0

sin(x)

x = 1 lim

x!0

1 cos(x)

x² = 1=2 lim

x!0(1 + x)^1=x= e

xlim!0

log(1 + x)

x = 1 lim

x!0

exp(x) 1

x = 1 lim

x!0

(1 + x) 1

x =

La de…nizione di come limite dei perimetri di poligoni inscritti in un cerchio è = lim_n!+1n sin( =n) e ponendo =n = x si ricava lim_x!0sin(x)=x = 1.

Ripetiamo comunque la dimostrazione di questo limite. Assumendo 0 < x <

=2, se x ! 0 si ha

sin(x) < x < tan(x); 1 < x

sin(x)< 1

cos(x) ! 1 + : Da questo limite si ricava subito che (1 cos(x)) =x²! 1=2,

1 cos(x)

x² = 1 cos(x) x²

1 + cos(x)

1 + cos(x) = sin(x) x

2 1

1 + cos(x) ! 1 2: La de…nizione di e a partire dal problema dell’interesse composto è e = limn!+1(1 + 1=n)ⁿ e ponendo 1=n = x si ha limx!0(1 + x)^1=x= e. Da questo limite si ricava immediatamente che log(1 + x)=x ! 1,

log(1 + x)

x = log (1 + x)^1=x ! log (e) = 1:

Con il cambio di variabili exp(x) 1 = t e x = log(1 + t) si ha exp(x) 1

x = t

log(1 + t) ! 1:

Con il cambio di variabili x = exp(t) 1 si ha (1 + x) 1

x =exp( t) 1

exp(t) 1 =exp( t) 1 t

t

exp(t) 1 ! :

Osservazione: Il limite limx!af (x) con il cambio di variabile x = a + t diventa limt!0f (a + t).

Nel calcolo dei limiti di espressioni complicate, può essere utile cercare di isolare quella che si ritiene la parte principale dalle parti secondarie. Per esem- pio, la parte principale in un polinomio axⁿ+ bx^{n 1}+ ::: + c quando x ! 1 è il termine di grado massimo, mentre la parte principale per x ! 0 è il termine di grado minimo. Per esempio, ricordando che il limite di somme, prodotti, quozienti,..., è la somma, prodotto, quoziente,..., dei limiti, si ha

x!+1lim

axⁿ+ bx^{n 1}+ ::: + c

dx^m+ ex^{n 1}+ ::: + f = lim

x!+1

xⁿ a + bx ¹+ ::: + cx ⁿ x^m(d + ex ¹+ ::: + f x ^m)

=

a + b lim

x!+1x ¹+ ::: + c lim

x!+1x ⁿ d + e lim

x!+1x ¹+ ::: + f lim

x!+1x ^m lim

x!+1x^{n m} =a d lim

x!+1x^{n m}: Nelle forme indeterminate può essere utile aggiungere e togliere o moltipli- care e dividere per opportune quantità, in modo da ricondursi se possibile a delle forme indeterminate note. Per esempio,

xlim!0

exp(x) cos(x) sin(x) = lim

x!0

exp(x) 1 sin(x) + lim

x!0

1 cos(x) sin(x)

= lim

x!0

x sin(x) lim

x!0

exp(x) 1

x + lim

x!0

x

sin(x) lim

x!0

1 cos(x)

x² lim

x!0x:

Si possono anche fare appropriati cambi di variabili. Per esempio, per trovare la parte principale di un polinonio axⁿ + bx^{n 1}+ ::: + c quando x ! d, la sostituzione naturale è x = d + t e la parte principale risulta allora il termine di grado minimo in t. Altri esempi sono i seguenti:

xlim!0

arctan(x)

x = lim

t!0

t

tan(t) = lim

t!0cos(t) lim

t!0

t sin(t):

xlim!1

x^x 1 log(x) = lim

t!0(1 + t)exp ((1 + t) log(1 + t)) 1 (1 + t) log(1 + t) = lim

t!0(1 + t) lim

z!0

exp(z) 1

z :

Esempio di ragionamento sbagliato: Siccome il limite della somma è la somma dei limiti e sin (p

x) non ha limite per x ! +1, anche sin p x + 1 sin (p

x) non ha limite. Di fatto il limite con + non esiste, mentre quello con esiste ed è zero,

sin p

x + 1 sin p

x = 2 cos

px + 1 +px

2 sin

px + 1 px 2

= 2 cos

px + 1 +p x

2 sin 1=2

px + 1 +p x

1 2p

x! 0:

De…nizionenon rigorosa di funzione continua: Una funzione è continua se il suo gra…co è una curva continua, senza salti. y = f (x) è continua se a piccole variazioni della x corrispondono piccole variazioni della y.

De…nizione più rigorosa: Una funzione f (x) è continua in un punto a se limx!af (x) = f (a). Una funzione è continua se per ogni intorno V di f (a)

esiste un intorno U di a tale che f (U ) V . Una funzione è continua in un intervallo se è continua in ogni punto dell’intervallo.

Operazioni sulle funzioni continue: La somma o di¤erenza di funzioni con- tinue è una funzione continua, e lo stesso per il prodotto o il quoziente, quando il denominatore non si annulla,... La funzione composta di funzioni continue è continua. La funzione inversa di una funzione continua è continua. Infatti, una funzione è continua se il suo gra…co è una curva continua. Ma una funzione e la sua inversa hanno lo stesso gra…co...

Le funzioni elementari, x , a^x, log_a(x), sin(x), cos(x), tan(x),..., sono con- tinue. La parte intera di un numero [x], e la parte decimale x [x] sono funzioni con discontinuità nei punti interi.

Esercizi: Dimostrare che le funzioni elementari sono continue. Qui veri…chi- amo per esempio che la funzionep

x è continua dal di sotto, limx!a p x =p

a.

Se x < a si ha 0 <p

a p

x <p

a x. Per convincersi basta elevare a quadrato.

Quindi 0 <p

a p

x < " se 0 < a x < "².

Teoremadegli zeri (Bolzano): Se la funzione f (x) è continua nell’intervallo a x b e se f (a) < 0 < f (b), allora esiste a < c < b con f (c) = 0. Più in generale, una funzione continua in un intervallo a x b prende tutti i valori tra f (a) e f (b).

Dimostrazione: Il signi…cato geometrico del teorema è che se il punto (a; f (a)) sta sotto l’asse delle x ed il punto (b; f (b)) sopra, il gra…co della funzione deve tagliare quest’asse. Anche se il teorema appare evidente, ne diamo una di- mostrazione che fornisce un algoritmo per ottenere delle approssimazioni arbi- trariamente vicine allo zero cercato. Dividiamo l’intervallo [a; b] nel punto di mezzo (a+b)=2. Se f ((a + b)=2) = 0 abbiamo trovato lo zero. Se f ((a + b)=2) >

0 cerchiamo lo zero in [a; (a + b)=2] e se f ((a + b)=2) < 0 lo cerchiamo in [(a + b)=2; b]. Dividendo ripetutamente in due l’intervallo in cui si cerca lo zero, si costruiscono così due successioni fa(n)g e fb(n)g tali che a = a(0) a(1) a(2) ::: b(2) b(1) b(0) = b, b(n) a(n) = 2 ⁿ(b a), e f (a(n)) 0 f (b(n)). Le successioni fa(n)g e fb(n)g sono monotone ed hanno lo stesso limite c. Per la continuità dalla funzione deve essere f (c) = lim_n!+1f (a(n)) 0 e f (c) = lim_n!+1f (b(n)) 0, quindi f (c) = 0. Per dimostrare che la funzione prende tutti i valori f (a) < y < f (b) basta applicare il teorema a f (x) y.

Illustriamo il metodo di bisezione cercando una radice di f (x) = x³+ x 1.

Siccome la funzione è crescente, l’eventuale radice è unica. Da f (0) = 1 e f (0) = 1 si ricava che c’è una radice tra 0 e 1. Prendiamo il punto di mezzo.

Da f (1=2) = 3=8 si ricava che la radice è tra 1/2 e 1. Prendiamo il punto di mezzo. Da f (3=4) = 11=64 si ricava che la radice è tra 1/2 e 3/4... Ad ogni passo l’errore si dimezza.

Un teorema di punto …sso: Se f (x) : [a; b] ! [a; b] è continua, esiste c con f (c) = c. Cioè, se spostiamo in modo continuo tutti i punti di un intervallo

chiuso e limitato, almeno un punto resta fermo. Basta applicare il teorema degli zeri alla funzione F (x) = f (x) x.

Teorema(Weierstrass): Una funzione f (x) continua in un intervallo chiuso e limitato a x b ha minimo e massimo, cioè esistono dei punti c (minimo) e d (massimo) tali che f (c) f (x) f (d) per ogni x in [a; b].

Dimostrazione: Spezziamo a metà l’intervallo di partenza. L’estremo inferi- ore dei valori assunti da f (x) in uno dei due intervalli [a; (a + b)=2] o [(a + b)=2; b]

è uguale all’estremo inferiore di f (x) in [a; b]. Scelto l’intervallo, iteriamo. In questo modo si ottiene una successione di intervalli inscatolati fI(n)g tali che l’estremo inferiore di f (x) in I(n) è uguale all’estremo inferiore in [a; b]. Il punto di minimo cercato è de…nito da c = \I(n). Infatti, scegliamo una successione fxⁿg ! c, con xⁿ 2 I(n) e ff (xⁿ)g ! inf ff (x)g. Per l’ipotesi di continuità, dato un " > 0 esiste un intervallo (c ; c + ) tale che per ogni punto in questo intervallo jf(x) f (c)j < ". Se n è abbastanza grande xⁿ (c ; c+ ), e quindi jf(xⁿ) f (c)j < ". La conclusione se n ! +1 è che jinf ff (x)g f (c)j ", per ogni " > 0.

Il teorema degli zeri e quello sui massimi e minimi non si applicano a funzioni discontinue. È chiaro che una funzione dicontinua può saltare da un valore negativo ad uno positivo senza passare dallo zero. Una funzione continua su un intervallo aperto o illimitato può non aver minimo o massimo. Per esempio, la funzione 1=x nell’intervalli aperto 0 < x < 1 non ha minimo e non ha massimo, mentre nell’intervallo illimitato 1 x < +1 ha massimo ma non ha minimo.

Le dimostrazioni del teorema degli zeri e dell’esistenza di minimi e massimi presentate sono entrambe basate su un processo di bisezione degli intervalli in cui si vanno a cercare gli zeri e i minimi o i massimi. Tra le due dimostrazioni c’è però una di¤erenza di sostanza. La dimostrazione del teorema degli zeri è costruttiva perché permette di scegliere esplicitamente gli intervalli ed è un algoritmo implementabile su un calcolatore. Nella dimostrazione del teorema sui minimi e massimi non è invece possibile decidere in un numero …nito di passi se l’estremo inferiore o superiore è nell’intervallo di destra o di sinistra, perché in un numero …nito di passi si può solo valutare la funzione in un numero …nito di punti. Se però si sa a priori che la funzione ha un solo massimo relativo, c’è un algoritmo che permette di costruire una successione convergente a questo massimo. Per cercare il massimo di una funzione f (x) con un solo massimo relativo in a x b, si può dividere in quattro l’intervallo in corrispondenza dei punti a < c < d < e < b. Se f (c) > f (d) allora il massimo è in a x d. Se f (e) > f (d) allora il massimo è in d x b. Se f (c) < f (d) e f (e) < f (d)allora il massimo è in c x e. Si può iterare il procedimento ed ad ogni passo l’intervallo in cui si cerca il massimo si dimezza.

Esempio: Tra i rettangoli di perimetro dato ne esiste uno di area massima?

Se il perimetro è 2P , un lato è x, l’altro è P x, l’area è x(P x). La variabile x varia in 0 < x < P . Se aggiungiamo a questo intervallo i due estremi, possiamo applicare alla funzione area il teorema di Weierstrass e concludere che esistono

dei minimi e dei massimi. I punti x = 0; P sono minimi e l’area è zero. Da x(P x) = P²=4 (x P=2)² si ricava che x = P=2 è il massimo. Tra i rettangoli di perimetro dato quello di area massima è il quadrato. Similmente, tra i rettangoli di area data quello di perimetro minimo è il quadrato.

A volte si cercano dei massimi e minimi di funzioni più complicate delle funzioni reali di variabile reale e non è a¤atto chiaro che questi massimi o minimi esistano. Tra i rettangoli di perimetro dato si è trovato quello con area massima, ma più in generale si può cercare tra tutte le curve chiuse di lunghezza assegnata quella che racchiude l’area massima. Si deve cercare il massimo della funzione area de…nita sull’insieme delle curve di lunghezza …ssata, il massimo non è un punto, ma è una curva. Comunque, la soluzione del problema isoperimetrico è il cerchio. Similmente, tra le super…ci che racchiudono un volume dato, quella di area minima è la sfera. Le bolle di sapone sono sferiche per questo motivo.

Se chi guadagna da 0 a 100 paga 1% di tasse, chi guadagna da 100 a 200 paga 2% di tasse, chi guadagna da 200 a 300 paga 3% di tasse,..., la funzione che al reddito lordo associa il reddito al netto delle tasse è continua? Che gra…co ha?

Qual’è il massimo reddito netto? Se f (x) è il reddito netto e 100(n 1) < x 100n, allora f (x) = (1 n=100)x. I multipli di 100 sono punti sono discontinuità.

Il massimo reddito deve ricercarsi tra i punti f (100n) = (100 n)n e corrisponde al valore n = 50. Infatti f (100(n + 1)) f (100n) se e solo se n 99=2, la successione prima cresce e poi decresce.

DERIV AT E

De…nizionedi rapporto incrementale: f (b) f (a)

b a .

De…nizionedi derivata: f⁰(a) = lim_b!af (b) f (a)

b a .

Ponendo b = a + h si può anche de…nire f⁰(a) = lim_h!0f (a + h) f (a)

h .

Il rapporto incrementale è il coe¢ ciente angolare della retta per i punti (a; f (a)) e (b; f (b)). La derivata è il limite, se esiste, dei rapporti incrementali, cioè dei coe¢ cienti angolari delle rette secanti. Queste rette secanti tendono alla retta tangente, quindi la derivata è il coe¢ ciente angolare della retta tangente.

Teorema: Se esiste, l’equazione della retta tangente alla curva y = f (x) nel punto (a; f (a)) è y = f (a) + f⁰(a)(x a).

Dimostrazione: y = f (a) +f (b) f (a)

b a (x a) è la retta secante per i punti (a; f (a)) e (b; f (b)). Se b ! a la retta secante tende alla retta tangente ed il rapporto incrementale tende alla derivata.

Una funzione derivabile è anche continua. Infatti f (b) f (a) f⁰(a)(b a) ! 0 se b ! a. Non è vero il viceversa. Alcune funzioni continue possono non essere derivabili ed alcune curve possono non aver tangente. Per esempio, y = jxj ha un angolo in x = 0 e y = x sin(1=x) ha una singolarità più complicata.

La derivata prima f⁰(x) di una funzione f (x) è a sua volta una funzione che può essere derivata. La derivata seconda f⁰⁰(x) è la derivata della derivata.

Ci sono poi le derivate terze, quarte,... Intuitivamente, se la derivata prima è positiva, la retta tangente è rivolta in alto e la funzione cresce. Se la derivata seconda è positiva, la derivata prima cresce, cioè i coe¢ cienti angolari delle rette tangenti crescono e la concavità della funzione è rivolta in alto. Se f⁰⁰(x) > 0, la regione di piano sopra la curva y = f (x) è convessa e se f⁰⁰(x) < 0 è convessa la regione sotto y = f (x).

Esempio: La velocità media è il rapporto tra lo spazio percorso ed il tempo impiegato per percorrerlo. La velocità è derivata dello spazio rispetto al tempo.

L’accelerazione è la derivata della velocità rispetto al tempo, cioè la derivata sec- onda dello spazio rispetto al tempo. La legge di Newton F = ma è un’equazione tra le forze che agiscono su un corpo e la derivata seconda dello spostamento.

La notazione di Newton per le derivate: y, y,...

La notazione di Leibniz per le derivate: dy dx, d²y

dx²,...

Gli incrementi …niti delle variabili x e y sono x e y, gli incrementi in…n- itesimi sono dx e dy. Il rapporto incrementale è y= x e la derivata dy=dx.

Regole di derivazione:

Somma: d

dx( f (x) + g(x)) = f⁰(x) + g⁰(x).

Infatti il rapporto incrementale della somma è la somma dei rapporti incre- mentali ed il limite della somma è la somma dei limiti.

Prodotto: d

dx(f (x)g(x)) = f⁰(x)g(x) + f (x)g⁰(x).

hlim!0

f (x + h)g(x + h) f (x)g(x)

h =

hlim!0

f (x + h) f (x)

h g(x + h) + f (x)g(x + h) g(x)

h = f⁰(x)g(x) + f (x)g⁰(x):

Con la notazione di Leibniz, se y = f (x) e z = g(x) e se dx, dy, dz sono gli incrementi in…nitesimi di x, y, z, si ha che dydz è uno zero doppio rispetto a dx e

d(yz)

dx = (y + dy)(z + dz) yz

dx =dy

dxz +dz

dxy +dydz dx = dy

dxz +dz dxy:

Quoziente d dx

f (x)

g(x) = f⁰(x)g(x) f (x)g⁰(x)

g²(x) .

hlim!0

f (x + h)=g(x + h) f (x)=g(x)

h =

hlim!0

f (x + h) f (x)

h g(x) f (x)g(x + h) g(x) h

g(x)g(x + h) = f⁰(x)g(x) f (x)g⁰(x)

g²(x) :

d y z dx =

y + dy z + dz

y z

dx = z(y + dy) y(z + dz) z(z + dz)dx =

zdy dx ydz

dx z² : Funzione composta: d

dx(f (g(x))) = f⁰(g(x))g⁰(x).

hlim!0

f (g(x + h)) f (g(x))

h =

hlim!0

f (g(x + h)) f (g(x)) g(x + h) g(x)

g(x + h) g(x)

h = f⁰(g(x))g⁰(x):

dy dx = dy

dz dz dx: Funzione inversa: f ^{1 0}(f (x)) = 1=f⁰(x).

f ¹(f (x)) = x;

(f ¹)⁰(f (x))f⁰(x) = d

dx f ¹(f (x)) = d

dx(x) = 1:

dx dy = 1

dy=dx:

Se la retta tangente a y = f (x) nel punto (a; f (a)) è y = f (a) + f⁰(a)(x a), la retta tangente a y = f ¹(x) nel punto (f (a); a) è y = a + (x f (a)) =f⁰(a).

Derivate di funzioni elementari:

d

dxx = x ¹ d

dxexp(x) = exp(x) d

dxlog(jxj) = 1 d x

dxsin(x) = cos(x) d

dxcos(x) = sin(x) d

dxarctan(x) = 1 1 + x² d

dxx = lim

h!0

(x + h) x

h = x ¹ lim

h!0

(1 + h=x) 1

h=x = x ¹:

d

dxexp(x) = lim

h!0

exp(x + h) exp(x)

h = exp(x) lim

h!0

exp(h) 1

h = exp(x):

d

dxlog(jxj) = lim

h!0

log(jx + hj) log(jxj)

h = 1

x lim

h!0

log(j1 + h=xj)

h=x = 1

x: d

dxsin(x) = lim

h!0

sin(x + h) sin(x)

h = lim

h!0

cos(x) sin(h) + sin(x) cos(h) sin(x) h

= cos(x) lim

h!0

sin(h)

h sin(x) lim

h!0

1 cos(h) h² lim

h!0h = cos(x):

La derivata di cos(x) si calcola come quella di sin(x). Presentiamo comunque delle dimostrazioni alternative di alcune di queste formule.

(log)⁰(e^x) = 1 e^x; d

dxlog(x) = 1 x: d

dxx = d

dxexp ( log(x)) = exp ( log(x))

x = x ¹: d

dxcos(x) = d

dxsin(x + =2) = cos(x + =2) = sin(x):

La tangente e la funzione inversa arcotangente: tan(x) : ( =2; =2) ! ( 1; +1) è crescente ed ha una funzione inversa arctan(x) : ( 1; +1) ! ( =2; =2).

d

dxtan(x) = d dx

sin(x)

cos(x) = 1 cos²(x): (arctan)⁰(tan(x)) = 1

1= cos²(x) = 1

1 + tan²(x); d

dxarctan(x) = 1 1 + x²: Il seno e la funzione inversa arcoseno: sin(x) : [ =2; =2] ! [ 1; 1] è crescente ed ha una funzione inversa arcsin(x) : [ 1; +1] ! [ =2; =2].

d

dxsin(x) = cos(x):

(arcsin)⁰(sin(x)) = 1

cos(x) = 1

q

1 sin²(x)

; d

dxarcsin(x) = 1 p1 x²:

Esercizi: Derivare y = a^x e y = x^x. Calcolare la derivata seconda di y = f ¹(x) nel punto f (x). Ricavare la formula di derivazione del quoziente f (x)=g(x) = f (x) (g(x)) ¹ dalle formule di derivazione del prodotto, della fun- zione composta e delle potenze. Dimostrare che una funzione pari ha una derivata dispari, e viceversa. Per quali valori di a e b la funzione f (x) =

ax + b se x 0, cos (p

x) se x > 0 è continua e derivabile?

Teorema(Fermat): In un punto di minimo o massimo la derivata, se esiste, è zero. In un punto di minimo o massimo la retta tangente al gra…co della funzione è orizzontale.

Dimostrazione: Se a è un minimo, f (a + h) f (a) 0 e f (a + h) f (a)

h ha

il segno di h. Il limite del rapporto incrementale è negativo o nullo se h ! 0 , ed è positivo o nullo se h ! 0+. Quindi il limite, se esiste, è zero.

I minimi e massimi di una funzione vanno dunque cercati: 1) dove la derivata si annulla, 2) dove la funzione non è derivabile, 3) agli estremi del dominio di de…nizione. Per esempio, la funzione y = jxj ha minimo in x = 0, dove c’è un

angolo. La funzione y =p

1 x² ha un massimo in x = 0, dove la derivata x=p

1 x² si annulla, e due minimi in x = 1, agli estremi del dominio.

Esercizi: Trovare il punto sulla parabola y = x² più vicino a (1; 0). La distanza del punto (x; x²) da (1; 0) è p

1 2x + x²+ x⁴. Questa funzione è de…nita per ogni x e per poter applicare il teorema sull’esistenza dei minimi occorre restringerla ad un intervallo chiuso e limitato. È evidente se x < 0 o se x > 1 la distanza di (x; x²) da (1; 0) è maggiore di 1, mentre se x = 0 e x = 1 questa distanza è 1 e se x = 1=2 èp

5=16 < 1. Quindi il minimo della funzione distanza esiste ed è in 0 x 1, anzi è strettamente interno a questo intervallo e per la sua ricerca si può applicare il teorema di Fermat. La derivata di p

1 2x + x²+ x⁴ si annulla quando 4x³+ 2x 2 = 0. Poiché la funzione f (x) = 4x³+ 2x 2 è crescente con f (0) = 2 e f (1) = 4, c’è un solo zero ed è tra 0 e 1 e questo zero è il punto di minimo cercato. Da f (1=2) = 1=2 si deduce che lo zero è tra 1/2 e 1. Da f (3=4) = 19=16 si deduce che lo zero è tra 1/2 e 3/4...

Il seguente problema è stato posto nel 1547 da Ferrari a Tartaglia in una contesa sulle equazioni di terzo grado: Dividere 8 in due parti a e b in modo che il prodotto a b (a b) risulti massimo. Se a è la parte più grande e b = x la più piccola, si chiede di trovare il massimo della funzione a b (a b) = x(8 x)(8 2x) in 0 x 4. Osserviamo che …ssata y l’equazione y = x(8 x)(8 2x) ha una o due o tre soluzioni x ed i valori minimi e massimi che assume la funzione sono quelli che danno due soluzioni. Quindi si può risolvere il problema di massimo se si conosce la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado. Il problema è molto più semplice se si conoscono le derivate. La derivata di x(8 x)(8 2x) è 64 48x + 6x² e si annulla in 4 4=p

3. Dal segno della derivata si deduce immediatamente che 4 4=p

3 è un massimo e 4 + 4=p

3 un minimo.

Tra i cilindri inscritti in una sfera di raggio R trovare quello di volume massimo. Se l’altezza del cilindro è 2x, il raggio di base èp

R² x², il volume 2 x R² x² ed il massimo cercato è in x = R=p

3.

Teorema(Rolle): Se f (x) è continua in a x b e derivabile in a < x < b e se f (a) = f (b), allora esiste un punto a < c < b con f⁰(c) = 0.

Dimostrazione: Per il teorema di Weierstrass la funzione ha massimo ed min- imo. Se gli estremi dell’intervallo sono contemporaneamente punti di massimo e minimo, la funzione è costante e la derivata è zero. Se o il massimo o il minimo è interno all’intervallo, per il teorema di Fermat in questo punto la derivata si annulla.

Teorema (dell’incremento …nito di Lagrange): Se f (x) è continua in a x b e derivabile in a < x < b, esiste un punto a < c < b con f (b) f (a)

b a =

f⁰(c). La retta secante in (a; f (a)) e (b; f (b)) è parallela ad una retta tangente al gra…co della funzione.

Dimostrazione: Sottraiamo alla funzione la retta secante:

F (x) = f (x) f (a) +f (b) f (a)

b a (x a) :

Si ha F (a) = F (b) e, per il teorema di Rolle, F⁰(c) = 0.

Teorema(dell’incremento …nito di Cauchy): Se f (x) e g(x) sono continue in a x b e derivabili in a < x < b, con g⁰(x) 6= 0, esiste un punto a < c < b con f (b) f (a)

g(b) g(a) =f⁰(c) g⁰(c).

Dimostrazione: Ponendo H(x) = (g(b) g(a))f (x) (f (b) f (a))g(x), si ha H(a) = H(b) e, per il teorema di Rolle, H⁰(c) = 0. Osserviamo che se g(x) = x si riottiene il teorema dell’incremento …nito di Lagrange.

Corollario: Se f⁰(x) > 0 la funzione è crescente e se f⁰(x) < 0 la funzione è decrescente.

Dimostrazione: Per ogni a e b esiste c tale che f (b) f (a) = (b a)f⁰(c). Se per ipotesi f⁰(c) > 0, allora b a > 0 implica f (b) f (a) > 0.

Corollario: Se f⁰(x) = 0 la funzione è costante. In particolare, due funzioni con la stessa derivata di¤ eriscono per una costante.

Dimostrazione: Per ogni a e b esiste c tale che f (b) f (a) = (b a)f⁰(c). Se f⁰(c) = 0, allora f (b) = f (a).

Attenzione! Le due a¤ermazioni “La derivata di una funzione costante è zero” e “Se una funzione ha derivata zero allora è costante” sono distinte ed hanno dimostrazioni di¤erenti. La prima a¤ermazione è banale, la seconda un po’ meno. Per esempio la derivata di f (x) = arctan(x) + arctan(1=x) è identicamente zero, quindi la funzione è costante. Ponendo x = 1 si deduce che questa costante è =2. Come altro esempio risolviamo l’equazione di¤erenziale y(x) = y(x). Una soluzione è y(x) = 0 e le altre si ottengono osservando che se y(x) 6= 0, allora d

dx(log(jy(x)j) x) = y(x)=y(x) 1 = 0, log(jy(x)j) = c + x, y(x) = e^ce^x.

Un’applicazione …sica: Se s(t) è la posizione al tempo t di un corpo soggetto alla forza di gravità, la somma dell’energia cinetica m s(t) ²=2 e potenziale

mgs(t) è costante. Infatti,

d dt

0 B@m

s(t) ²

2 mgs(t)

1

CA = ms(t) s(t) g = 0:

Teorema(DeL’Hôpital): Se f (x) e g(x) sono continue e derivabili in x > a, con limx!a+f (x) = limx!a+g(x) = 0, il limite limx!a+f (x)=g(x) è una forma indeterminata 0=0. Ma se g⁰(x) 6= 0 e se lim^x!a+f⁰(x)=g⁰(x) esiste, allora anche limx!a+f (x)=g(x) esiste e questi due limiti sono uguali.

Esistono risultati analoghi per altre forme di indecisione, f (x) ! 1 e g(x) ! 1, x ! 1,...

Dimostrazione: Per semplicità dimostriamo il teorema nell’ipotesi f (x) e g(x) continue e derivabili in x a, con f (a) = g(a) = 0 e g⁰(a) 6= 0. In questo caso,

f (x)

g(x) = f (x) f (a)

g(x) g(a) =f (x) f (a)

x a

x a

g(x) g(a) ! f⁰(a) g⁰(a):

Per dimostrare il teorema senza l’ipotesi di derivabilità nel punto a, si può usare il teorema dell’incremento …nito di Cauchy. Attenzione! Il teorema dell’Hôpital non si applica a limiti che non sono forme di indecisione. Per esempio limx!0+x= cos(x) 6= lim^x!0+1= sin(x).

Confronti di in…nitesimi ed in…niti: I logaritmi crescono più lentamente delle potenze, lim_x!+1x^"= log(x) = +1 per ogni " > 0, e le potenze crescono più lentamente degli esponenziali, lim_x!+1a^x=xⁿ = +1 per ogni a > 1 ed ogni intero n. Infatti,

x!+1lim x^"

log(x) = lim

x!+1

"x^{" 1}

1=x = " lim

x!+1x^"= +1;

x!+1lim a^x

xⁿ = lim

x!+1

log(a)a^x

nx^{n 1} = ::: = lim

x!+1

logⁿ(a)a^x

n! = +1:

x^" decresce più velocemente di quanto log(x) cresce quando x ! 0+, limx!0+x^"log(x) = 0 .

L’algoritmo di Newton per il calcolo numerico degli zeri di una funzione: Si sostituisce alla funzione y = f (x) la retta tangente y = f (a) + f⁰(a)(x a) e si sostituisce allo zero della funzione f (x) = 0 lo zero della retta f (a) + f⁰(a)(x a) = 0, cioè x = a f (a)=f⁰(a). Partendo da un punto a = a(0) si ottiene così una successione a(n + 1) = a(n) f (a(n))=f⁰(a(n)) che, sotto opportune ipotesi, converge molto velocemente allo zero cercato.

Applicando il metodo di Newton alla funzione x² A si ottiene l’algoritmo di Erone per il calcolo della radice quadrata. Per calcolarep

A, si pone g(x) = 1

2 x + A

x e, scelto un arbitrario a(0) >p

A, si de…nisce ricorsivamente a(n + 1) = g(a(n)). La successione fa(n)g converge velocemente ap

A. Infatti, a(n + 1) p

A = g(a(n)) g(p

A) = g⁰(c)(a(n) p A):

Osserviamo ora che g⁰(c) < 1=2, quindi ad ogni passo l’errore si riduce di più della metà. Anzi, da g⁰(p

A) = 0 si ricava che l’errore decresce ancora più velocemente.

Se F (x; y; :::) è una funzione di più variabili e se le …ssiamo tutte meno una, otteniamo delle funzioni di una sola variabile a cui possiamo applicare

l’operazione di derivazione. De…niamo così le derivate parziali:

8>

<

>:

@

@xF (x; y; :::) = lim

h!0

F (x + h; y; :::) F (x; y; :::)

h ;

@

@yF (x; y; :::) = lim

h!0

F (x; y + h; :::) F (x; y; :::)

h ; :::

Più in generale, si può de…nire la derivata nella direzione di (a; b; :::),

hlim!0

F (x + ha; y + hb; :::) F (x; y; :::)

h = a @

@xF (x; y; :::) + b@

@yF (x; y; :::) + :::

L’equazione del piano tangente alla super…cie z = F (x; y; :::) nel punto (a; b; :::; F (a; b; :::)) è

z = F (a; b; :::) + @

@xF (a; b; :::)(x a) + @

@yF (a; b; :::)(y a) + :::

La formula di Taylor per funzioni di due variabili z = F (x; y):

G (t) = F (a + t (x a) ; b + t (y b));

G(1) = G(0) + d

@tG(0) +1 2

d²

@t²G(0) + :::;

F (x; y) = F (a; b) + @

@xF (a; b)(x a) + @

@yF (a; b)(y a) +1

2

@²

@x²F (a; b)(x a)²+ 2 @²

@x@yF (a; b)(x a)(y a) + @²

@y²F (a; b)(y a)² + :::

Se F (x; y; :::) ha un minimo o un massimo in (a; b; :::), allora la funzione x ! F (x; b; :::) ha un minimo o un massimo in x = a, y ! F (a; y; :::) ha un minimo o un massimo in y = b,... Quindi nei punti di minimo o massimo interni al dominio della funzione le derivate parziali si annullano. I minimi e massimi vanno dunque cercati dove tutte le derivate parziali si annullano, dove la funzione non è derivabile ed agli estremi del dominio di de…nizione.

Il metodo dei minimi quadrati: Supponiamo di avere un insieme di dati accoppiati (x₁; y₁), (x₂; y₂),..., (x_n; y_n),..., che possiamo immaginare come una nuvola di punti nel piano, e cerchiamo una retta y = mx + q che si avvicini il più possibile a tutti questi punti. Una possibile risposta al problema è data dalla retta che rende minima la somma degli scarti quadrati F (m; q) =Xⁿ

j=1(y_j mxj q)². Deriviamo rispetto a m e q,

8>

>>

><

>>

>>

:

@

@mF (m; q) = 2 Xn j=1

xj(yj mxj q) = 2 Xn j=1

xjyj+ 2 Xn j=1

x²_jm + 2 Xn j=1

x²_jq;

@

@qF (m; q) = 2 Xn j=1

(yj mxj q) = 2 Xn j=1

yj+ 2 Xn j=1

xjm + 2nq:

Uguagliando a zero le derivate, si ottiene un sistema di due equazioni nelle due incognite m e q. La soluzione del sistema determina la retta dei minimi quadrati.

Esempio: Tra tutti i triangoli di perimetro 2P trovare quello di area massima.

Se i lati sono x, y, z, e se x + y + z = 2P , l’area èp

P (P x) (P y) (P z).

Posto z = 2P x y, il quadrato dell’area è P (P x) (P y) (x + y P ). Le derivate parziali si annullano quando

@

@xP (P x) (P y) (x + y P ) = P (P y) (2P 2x y) = 0;

@

@yP (P x) (P y) (x + y P ) = P (P x) (2P x 2y) = 0:

Quindi le derivate si annullano per x = y = z = 2P=3. Il triangolo è equilatero!

ST U DI DI F U N ZION I

Per studiare una funzione si può cercar di applicare il protocollo seguente:

1) Insieme di de…nizione, immagine, eventuali simmetrie e periodicità, eventuali discontinuità. Può anche essere signi…cativo determinare le intersezioni con gli assi ed il segno. 2) Limiti alla frontiera ed eventuali asintoti. A questo punto si dovrebbe già avere un’idea qualitativa del gra…co, infatti molte funzioni sono in certo senso caratterizzate dalle loro singolarità, che si trovano di solito agli estremi del dominio di de…nizione. 3) Derivata, segno della derivata, eventuali minimi e massimi. 4) Derivata seconda, concavità, convessità, ‡essi. 5) Gra…co qualitativo y = f (x).

Esempio: y = xp

jlog(x)j. Dominio fx > 0g. Immagine fy 0g. Zeri fx = 1g, questo punto è un minimo assoluto. limx!0+y = 0+, lim_x!+1y = +1, la funzione va all’in…nito più velocemente di ogni retta y = mx + q, quindi non ci sono asintoti. dy

dx = 2 log(x) + 1

2 jlog(x)j¹⁼². La derivata tende all’in…nito in x = 0; 1 e si annulla in x = 1=p

e, prima di questo punto la derivata è positiva e dopo negativa, il punto è un massimo relativo. d²y

dx² = 2 log(x) 1 4x jlog(x)j³⁼². In 0 < x < 1 e 1 < x <pe la funzione è concava e in x >pe convessa. Il punto x = 1 è una cuspide ed il punto x =pe un ‡esso.

Esempio: y = sin(x) (1 2 sin(x)). Dominio f 1 < x < +1g. Periodicità 2 . Immagine f 3 y 1=8g. Zeri fx = 0; =6; 5 =6; g. dy

dx = cos(x) (1 4 sin(x)).

Minimi fx = =2; 3 =3g e massimi fx = arcsin(1=4); arcsin(1=4)g.

IN T EGRALI

Se si vuole misurare l’area di una certa regione, la si ricopre con quadrati di lato un metro (per esempio) e poi si contano i quadrati. Per una misura più precisa si possono usare quadrati di un decimetro quadro, e per una precisione maggiore si possono usare i centimetri quadrati... Il metodo di esaustione per misurare una regione arbitraria è l’approssimazione di questa regione con altre che si sanno misurare. L’area di un rettangolo è base per altezza. Un insieme è misurabile se può essere approssimato dal di dentro e dal di fuori con poligoni unione di rettangoli disgiunti. Se le aree dei poligoni interni ed esterni sono una coppia di classi contigue, l’elemento separatore è l’area dell’insieme.

De…nizione “intuitiva” di integrale Z b

a

f (x)dx: È l’area della regione de- limitata dalla curva y = f (x) e dalle rette x = a, y = 0, x = b. La notazione è di Leibniz: Dividiamo la regione sotto la curva in tanti rettangoli di altezza f (x) e base dx in…nitesima, l’area di un rettangolo è f (x)dx e l’area della regione è la somma S =R

da a a b di tutte queste aree in…nitesime.

Il metodo dei rettangoli per il calcolo approssimato di un integrale:

Dividiamo [a; b] in a = x0 y0 x1 y1 ::: xn = b e calcoliamo la somma delle aree dei rettangoli di base [xj; xj+1] e altezza f (yj),

Z b a

f (x)dx

n 1X

j=0

f (yj) (xj+1 xj) :

Se i punti fx^jg sono equidistanti, x^j= a + j(b a)=n, e se yj = xj, Z b

a

f (x)dx b a n

n 1X

j=0

f a + jb a

n :

Il metodo dei trapezi per il calcolo approssimato di un integrale:

Invece dei rettangoli, si può approssimare l’area con trapezi, Z b

a

f (x)dx

n 1X

j=0

f a + jb a

n + f a + (j + 1)b a n

b a 2n

= b a n

0

@f (a) + f (b)

2 +

n 1X

j=1

f a + jb a n

1 A :

Esempi: Con il metodo dei rettangoli e dei trapezi calcoliamo Z b

0

x²dx.

Rettangoli : b n

n 1X

j=0

jb n

2

= b³ n³

n 1X

j=0

j²= b³ 3

b³ 2n+ b³

6n²;

T rapezi : b n

0

@0²+ b²

2 +

n 1X

j=1

jb n

21 A = b³

3 + b³ 6n²:

Per n ! +1 entrambe le espressioni tendono a b³=3, che è il valore dell’integrale.

Osserviamo però che nel metodo dei trapezi la convergenza è più veloce che nel metodo dei rettangoli.

Con il metodo dei rettangoli calcoliamo Z b

0

2^xdx:

b n

n 1X

j=0

2^jb=n= b n

2^b 1

2^b=n 1 ! 2^b 1 log(2):

In questi esempi abbiamo de…nito l’integrale di una funzione come il limite delle aree dei rettangoli. Anche se questo è molto intiutivo e sostanzialmente corretto, con una de…nizione di integrale un poco più complicata le dimostrazioni dei teoremi risultano più semplici.

De…nizione: La funzione caratteristica _I(x) di un intervallo I è la fun- zione che vale uno nell’intervallo e zero al di fuori. Una funzione semplice è una funzione che prende solo un numero …nito di valori, Xⁿ

j=1c_{j Ij}(x).

L’integrale di una funzione caratteristica è la misura dell’intervallo e, più in generale, l’integrale di una funzione semplice è

Z b a

Xn j=1

c_{j Ij}(x)dx = Xn j=1

c_jjIj\ [a; b]j :

Intuitivamente, il gra…co di una funzione semplice è costante a tratti e si può visualizzare come un insieme di rettangoli e l’integrale è l’area di questi rettangoli.

De…nizione di integrale di Riemann: Gli integrali inferiore e superiore di una funzione limitata de…nita su un intervallo limitato sono

Z b a

f (x)dx = sup (Z b

a

g(x)dx : g(x) semplice e g(x) f (x) )

; Z b

a

f (x)dx = inf (Z b

a

h(x)dx : h(x) semplice e h(x) f (x) )

:

L’integrale inferiore è minore o uguale all’integrale superiore ed una funzione è integrabile se questi due integrali inferiore e superiore sono uguali. In parti- colare, una funzione f (x) è integrabile in [a; b] se per ogni " > 0 esistono due funzioni semplici g(x) f (x) h(x) con

Z b a

(h(x) g(x)) dx < ".

Le funzioni integrabili sono quelle che possono essere approssimate sotto e sopra da funzioni semplici. Un esempio di funzione non integrabile è la funzione f (x) uguale a 1 per x razionale e uguale a 0 per x irrazionale. Infatti se g(x)

f (x) è semplice, allora g(x) 0 e Z b

a

f (x)dx = 0. Se h(x) f (x) è semplice,

allora h(x) 1 e Z b

a

f (x)dx = b a.

Teorema: Le funzioni monotone sono integrabili.

Dimostrazione: Una funzione monotona crescente in ogni intervallo xj

x xj+1 può essere approssimata dal di sotto e dal di sopra dalle costanti f (xj) f (x) f (xj+1). Se xj = a + j(b a)=n,

b a

n

n 1X

j=0

f a + jb a n

Z b a

f (x)dx Z b

a

f (x)dx b a n

Xn j=1

f a + jb a

n ;

Z b a

f (x)dx Z b

a

f (x)dx (b a) (f (b) f (a))

n ! 0 se n ! +1:

Teorema: Le funzioni continue sono integrabili.

Pseudo dimostrazione: Se una funzione ha un numero …nito di massimi e minimi, è possibile dividere l’intervallo d’integrazione in sottointervalli dove la funzione è monotona. A questo punto basta applicare il teorema precedente.

Proprietà dell’integrale:

Additività:

Z b a

f (x)dx + Z c

b

f (x)dx = Z c

a

f (x)dx.

Confronto: Se f (x) g(x) allora Z b

a

f (x)dx Z b

a

g(x)dx.

Linearità:

Z b a

( f (x) + g(x)) dx = Z b

a

f (x)dx + Z b

a

g(x)dx.

Queste proprietà sono immediatamente veri…cate se f (x) e g(x) sono funzioni semplici. Le funzioni integrabili sono limiti di funzioni semplici e le proprietà vengono ereditate dai limiti. L’additività è chiaramente vera se a b c e rimane vera per ogni a, b, c, se si de…nisce

Z b a

f (x)dx = Z a

b

f (x)dx.

Teoremadella media: Se f (x) è integrabile,

(b a) inf ff(x)g Z b

a

f (x)dx (b a) sup ff(x)g :

Inoltre, se f (x) è continua esiste a c b tale che 1

b a

Z b a

f (x)dx = f (c):

Dimostrazione: Si ha inf ff(x)g f (x) sup ff(x)g ed integrando si ot- tiene la prima parte del teorema. In particolare 1

b a

Z b a

f (x)dx è un valore compreso tra inf ff(x)g e sup ff(x)g ed una funzione continua assume tutti i valori tra l’estremo inferiore e superiore.

1

b a

Z b a

f (x)dx è il valor medio della funzione.

Teoremafondamentale del calcolo (Leibniz e Newton):

1) La derivata è l’operazione inversa dell’integrale. Se f (x) è continua, d

dx Z x

a

f (t)dt = f (x):

2) Se F (x) è una primitiva di f (x), cioè d

dxF (x) = f (x), Z x

a f (t)dt = F (t)j^xa = F (x) F (a):

Dimostrazione: 1) Per l’additività dell’integrale ed il teorema della media, il rapporto incrementale della funzione integrale è

1 h

Z x+h a

f (t)dt Z x

a

f (t)dt

!

= 1 h

Z x+h x

f (t)dt = f (c):

Il punto c è compreso tra x e x + h. Se h ! 0, c ! x e f(c) ! f(x). Quindi la derivata della funzione integrale esiste ed è uguale alla funzione integranda.

Osserviamo che l’ipotesi di continuità è stata usata nell’esistenza dell’integrale, per poter applicare il teorema della media e per concludere che f (c) ! f(x) se c ! x.

2) Si ha

d dx

Z x a

f (t)dt F (x) = f (x) f (x) = 0:

Una funzione con derivata zero è costante, quindi Z x

a

f (t)dt F (x) = c. In particolare, se x = a si ottiene

Z a a

f (t)dt = 0, quindi c = F (a).

Ridimostriamo il teorema, utilizzando il teorema dell’incremento …nito ed il metodo dei rettangoli per il calcolo approssimato di un integrale. Se a = x₀ x₁ ::: x_n= x e se F⁰(t) = f (t), esistono x_j y_j x_j+1tali che

F (x) F (a) =

n 1X

j=0

(F (xj+1) F (xj)) =

n 1X

j=0

f (yj) (xj+1 xj) Z b

a

f (x)dx: