M. Masera FISICA - CTF 1
M. Masera FISICA - CTF 3
Centro di massa
Rotazione (1)
M. Masera FISICA - CTF 5
Rotazione (2)
s = r θ
La rotazione è parametrizzata dall’angolo θ:
θ = s
r
radiantiRotazione (3)
ω = θ
2− θ
1Δt = Δ θ Δt ω = lim
Δt →0
Δ θ
Δt = d θ dt
α = ω
2− ω
1Δt = Δ ω Δt α = lim
Δt →0
Δ ω
Δt = d ω dt
Velocità angolare
Accelerazione angolare
M. Masera FISICA - CTF 7
Velocità angolare
M. Masera FISICA - CTF 9
Velocità e accelerazione nei moti rotatori
v
=
dsdt
= r
dθ
dt
= r ω
at
=
dvdt
= r
dω
dt
= r α
ar=
v2r
= r ω
2a
= a
t2+ a
r2= r
2α
2+ r
2ω
4= r α
2+ ω
4Teorema di Huygens- Steiner
cdm
O
P
dm
a b h
r y-b
x-a
x y
L’asse di rotazione passa per il punto P(a,b) ed è parallelo all’asse baricentrico passante per O
h = a2 + bb
( ) ( )
[ ]
∫
∫ = − + −
= r dm x a y b dm
I
P 2 2 2[ ]
∫ + − + + −
= x a ax y b by dm
I
P 2 22
2 22
( ) ( )
∫
∫
∫
∫
−
−
+ +
+ +
=
ydm b
xdm a
dm b
a dm
y x
I
P2 2
2 2
2 2
Gli ultimi 2 termini sono nulli in quanto:
xCM = 0 = 1
M
∫
xdm e yCM = 0 = M1∫
ydmQuindi:
I
P= r ∫
2dm + h
2∫ dm = I
CM+ Mh
2M. Masera FISICA - CTF 11
Momenti di inerzia
Prodotto vettoriale / 1
θ
a r b r b a
c r = r × r θ
sin ab b
a
c r = r × r =
θ
a r b r
a b
c r = r × r
Il prodotto vettoriale (o esterno) tra due vettori a e b è un vettore con modulo pari a:
9Il vettore risultante è diretto ortogonalmente al piano formato dai due vettori componenti
9ha verso dato dalla “regola della mano destra”
(o della vite destrorsa)
9Ne consegue che il prodotto vettoriale è anticommutativo
Prodotto vettoriale / 2
M. Masera FISICA - CTF 13
z y
x
z y
x
b b
b
a a
a
k j
i b
a
ˆ ˆ ˆ
=
× r r
y x
y x
z x
z x
z y
z y
b b
a k a
b b
a j a
b b
a
i ˆ a − ˆ + ˆ
=
( a
yb
za
zb
y) j ( a
xb
za
zb
x) k ( a
xb
ya
yb
x)
i − − − + −
= ˆ ˆ ˆ
In coordinate cartesiane, il prodotto vettoriale si ottiene valutando il seguente determinante simbolico:
Versori coordinati
i × ˆ j = ˆ
i ˆ ˆ j ˆ k
1 0 0
0 1 0
= ˆ k ˆ j × ˆ k =
i ˆ ˆ j k ˆ
0 1 0
0 0 1
= ˆ i k × ˆ ˆ i =
i ˆ ˆ j k ˆ
0 0 1
1 0 0
= ˆ j
x
y z
Terna destrorsa
x
y
z
Terna sinistrorsa
In una terna destrorsa si ha sempre:
M. Masera FISICA - CTF 15
Momento di una forza
II legge di Newton per rotazioni
dt I d
I α ω
τ r = r = r
τ = Frsin θ =
In modulo:
F
tr
= F
tr = ma
tr
= mr
2α = I α
In forma vettoriale:
M. Masera FISICA - CTF 17
Traslazione/rotazione
Questo è un confronto tra alcune relazioni valide per moti di traslazione e rotazione intorno ad un asse fisso. Per le quantità vettoriali è indicata la
componente nella direzione del moto (o nella direzione dell’asse di rotazione)
Rotolamento (1)
M. Masera FISICA - CTF 19
Rotolamento (2)
vT =ω
( )
2R = 2vCMPer il teorema di Steiner-Huygens:
I
P= I
CM+ MR
2L’atto di moto è una rotazione intorno all’asse P. Quindi l’energia cinetica di rotazione è:
K = 1
2 I
Pω
2= 1
2 ( I
CM+ MR
2) ω
2K = 1
2 I
CMω
2+ 1
2 M ( ) ω R
2K = 1
2 I
CMω
2+ 1
2 Mv
CM2=
= K
ROTAZIONE+ K
TRASLAZIONERotolamento (3)
M. Masera FISICA - CTF 21
Cilindro che rotola su un piano inclinato
θ 3 sin
2 g
a
CM= r
Momento angolare
M. Masera FISICA - CTF 23
Conservazione momento angolare
0 Se τ r
ext=
dt L d
ext
r = r τ
costante Allora
=
L r
Conservazione momento
angolare
M. Masera FISICA - CTF 25 b)
c) d)
Baricentro
M. Masera FISICA - CTF 27
Esempio di equilibrio statico
Deformazioni elastiche
Sforzo
longitudinale
Sforzo di taglio o di
scorrimento Sforzo di
compressione uniforme
M. Masera FISICA - CTF 29