Centro di Massa

Sistemi di pi` u particelle

Finora abbiamo considerato il modo di una singola particella. Che cosa succede in sistemi di molte particelle, o in un sistema non puntiforme?

• Scomponendo il sistema in N particelle puntiformi, avremo bisogno di molte variabili per descriverne il moto:

– N masse m_i, i = 1, . . . , N

– N posizioni ~r_i (3N coordinate), N velocit`a ~v_i = d~r_i/dt

– N accelerazioni ~a_i = d~v_i/dt, legate alle N forze ~f_i da ~f_i = m_i~a_i.

• Una grossa semplificazione si ha quando si pu`o trattare il sistema come un corpo rigido, ovvero come non deformabile:

– In un corpo rigido, le posizioni relative di tutte le particelle che compongono l’oggetto rimangono costanti.

Tutti gli oggetti reali sono pi`u o meno deformabili, ma il modello del corpo rigido

`e molto utile in tutti i casi in cui la deformazione `e piccola.

Centro di Massa

Possiamo descrivere il moto del sistema in modo pi`u comodo e pi`u semplice che con N leggi di Newton? Introduciamo il Centro di Massa.

Per due particelle di massa m₁ ed m₂ su di una retta nelle posizioni x₁ e x₂, la posizione del centro di massa x_cm `e data da

x_cm = m₁x₁ + m₂x₂ m₁ + m₂

Notare come il centro di massa `e nel centro della congiungente le due particelle se m<sub>1</sub> = m<sub>2</sub>; in caso contrario, il centro di massa `e spostato verso la particella pi`u pesante.

Centro di Massa (2)

In tre dimensioni: ~r_cm = m₁~r₁ + m₂~r₂

m₁ + m₂ . Per molte particelle:

~r_cm =

P

i m_i~r_i P

i m_i = 1 M

X

i

m_i~r_i, dove M = P

i m_i `e la massa totale.

Oggetto esteso: dividiamo in “cubetti”

~r_cm = 1 M

X

i

∆m_i~r_i

Nel limite di “cubetti” infinitesimi:

~r_cm = 1 M

Z

~rdm,

che diventa un integrale sul volume:

~r_cm = 1 M

Z

~rρ(~r)dV introducendo la densit`a ρ = ^dm_dV .

Un esempio di centro di massa per un oggetto

Il calcolo del centro di massa di un oggetto non `e in generale semplice, ma lo `e per oggetti di densit`a costante e di forma semplice. Esempio:

Una sbarra di densit`a lineare λ = M/L costante, dm = λdx, da cui

x_cm = 1 M

Z L 0

xλdx = λ M

x² 2

L

0

= 1

L L²

2 = L 2

Si `e sfruttata la simmetria del sistema per semplificare la massimo il calcolo (integrale unidimensionale invece che tridimensionale). Notare che il risultato non `e altro che il centro della sbarretta.

Centro di Massa di oggetti compositi

Consideriamo un oggetto composto da pi`u parti. Indichiamo con P(N ) i

la somma sulla parte N −esima. Il centro di massa di ogni parte `e

~r_cm^{(N )} =

P(N )

i m_i~r_i P(N )

i m_i

=

P(N )

i m_i~r_i

M^{(N )} , M^{(N )} =

(N )

X

i

m_i, da cui M^{(N )}~r_cm^{(N )} = P(N )

i m_i~r_i. Il centro di massa dell’oggetto composito:

~r_cm =

P

i m_i~r_i P

i m_i =

P

N

P(N )

i m_i~r_i P

N

P(N ) i m_i pu`o quindi essere calcolato come

~r_cm =

P

N M^{(N )}~r_cm^{(N )} P

N M^{(N )}

ovvero come il centro di massa dei centri di massa delle varie parti.

Moto del centro di massa

Qual `e il vantaggio di aver introdotto il centro di massa? Consideriamo il suo moto:

M d~r_cm

dt = m₁d~r₁

dt + m₂d~r₂

dt + . . . = X

i

m_id~r_i dt ovvero

M~v_cm = m₁~v₁ + m₂~v₂ + . . . = X

i

m_i~v_i Deriviamo di nuovo:

M~a_cm = m₁~a₁ + m₂~a₂ + . . . = X

i

m_i~a_i

Per la II legge di Newton, m_i~a_i = ~f_i, forza agente sulla i-esima particella:

M~a_cm = X

i

f~_i

Moto del centro di massa (2)

Le forze agenti sulle particelle si possono dividere in due categorie:

• Forze interne, esercitate dalle altre particelle del sistema, e

• Forze esterne, esercitate da agenti esterni al sistema. Possiamo quindi scrivere

M~a_cm = X

i

f~_i,ext + X

i

f~_i,int

ma per la terza legge di Newton, X

i

f~_i,int = 0.

In conclusione, il moto del centro di massa `e determinato unicamente dalla risultante delle sole forze esterne:

M~a_cm = X

i

f~_i,ext = ~F_ext

Moto del centro di massa: esempio

Una chiave inglese su di una superficie priva di attrito. La chiave segue un moto relativamente complesso di rotazione, ma il suo centro di massa – il puntino bianco nella foto – esegue un moto rettilineo uniforme, in quanto la risultante delle forze esterne agenti sul corpo `e nulla.

Moto del centro di massa: un problema “classico”

Un proiettile lanciato ad un angolo θ = 36.9^◦ con velocit`a iniziale v = 24.5 m/s si frammenta in due pezzi di massa uguale nel punto pi`u alto della traiettoria. Uno dei frammenti cade gi`u in verticale. Dove atterra l’altro?

Moto del centro di massa: un problema “classico”

Un proiettile lanciato ad un angolo θ = 36.9^◦ con velocit`a iniziale v = 24.5 m/s si frammenta in due pezzi di massa uguale nel punto pi`u alto della traiettora. Uno dei frammenti cade gi`u in verticale. Dove atterra l’altro?

Soluzione: Il CM prosegue la sua traiettoria sotto l’effetto della forza di gravit`a, atterrando a distanza x_cm = R dall’origine (punto di partenza).

R = v₀² sin(2θ)/g `e la gittata. La proiezione sull’asse x del punto pi`u alto della traiettoria dista x₁ = R/2 dall’origine. Di conseguenza:

R = x_cm = x₁m₁ + x₂m₂

m₁ + m₂ = mR/2 + mx₂ 2m

ovvero x₂ = 3R/2. Con i dati del problema: R = 58.8 m, x₂ = 88.1 m.

Quantit` a di Moto

La Quantit`a di Moto: ~p = m~v per una particella (o oggetto descrivibile come una particella) di massa m e velocit`a ~v, `e una grandezza molto importante in Fisica. La quantit`a di moto

• `e una grandezza vettoriale, diretta come la velocit`a, che pu`o essere espressa in componenti p_x = mv_x, p_y = mv_y, p_z = mv_z

• ha le dimensioni di una massa per una lunghezza diviso un tempo;

nel SI si misura in kg·m/s, oppure in N·s.

Si pu`o riformulare la II legge di Newton usando la quantit`a di moto:

m~a = md~v

dt = d(m~v)

dt = d~p

dt = X ~F

Conservazione della Quantit` a di Moto

Per un sistema composto di molte particelle, la quantit`a di moto totale

`e la somma vettoriale delle singole quantit`a di moto:

P =~ X

i

~

p_i = X

i

m_i~v_i, ovvero P = M ~~ V_cm

dove M = X

i

m_i `e la massa totale del sistema, ~V_cm = 1 M

X

i

m_i~v_i la velocit`a del centro di massa. E’ immediato dimostrare che

d ~P

dt = ~F_ext

dove ~F_ext `e la risultante delle sole forze esterne al sistema (le forze interne al sistema sono tutte coppie di azione e reazione e si elidono).

In assenza di forze esterne, la quantit`a di moto totale `e conservata.

Conservazione della Quantit` a di Moto, esempio

Quantit`a di moto iniziale: ~p<sub>1</sub> = ~p<sub>2</sub> = 0 Quantit`a di moto finale: ~p₁ + ~p₂ = 0 (ci sono solo forze interne!)

Supponiamo m₁ = 100 kg, v₁ = 5 m/s, m₂ = 50 kg.

• Quanto valgono p e v₂?

• Quanta energia (lavoro) `e stata fornita da ciascuno dei due?

• p = 100 kg·5 m/s=500 kg·m/s

• m₂v₂ = p da cui v₂ = 10 m/s

• Lavoro fatto da 2 su 1:

L₁ = m₁v₁²/2 = p²/(2m₁) = 1250 J

• Lavoro fatto da 1 su 2:

L₂ = m₂v₂²/2 = p²/(2m₂) = 2500 J

Decadimento di particelle

Il mesone K⁰ neutro decade spontaneamente in altre due particelle (cariche), π⁺ e π⁻ (dette pioni). Se inizialmente il K⁰ `e a riposo, i due pioni hanno quantit`a di moto uguali e opposte in direzione, in quanto ~P_K = 0, non agiscono forze esterne, quindi ~P⁻ + ~P⁺ = 0.

La conservazione della quantit`a di moto vale anche in questo sistema, molto differente da quello precedente!

Impulso e quantit` a di moto

L’impulso di una forza `e il vettore I =~

Z t_f t_i

F dt , dove t~ _i e t_f sono tempi iniziali e finali di un certo processo (esempio: urto). Unit`a: N·s.

La variazione della quantit`a di moto durante il processo `e data dall’impulso della forza netta ~F agente sulla particella (teorema dell’impulso):

I =~

Z t_f t_i

F dt =~

Z t_f t_i

d~p

dtdt = ~p_f − ~p_i = ∆~p.

Si definisce la forza media h ~F i che agisce durante il processo tramite l’impulso: h ~F i = I

t_f − t_i.

In figura: integrale della forza come area e confronto con forza media.

Un sistema a massa variabile: il razzo

Esempio: razzo di massa M espelle massa ∆m di gas in un tempo ∆t a velocit`a u relativa al razzo. Per il teorema dell’impulso: p<sub>f</sub> = p<sub>i</sub> + F ∆t, dove F `e la forza esterna,

p_f = M (v + ∆v) + ∆m(v − u), p_i = (M + ∆m)v, da cui M ∆v − u∆m = F ∆t. Nel limite ∆t → 0:

M dv

dt = F − udM

dt (notare che ∆m → −dM ) Se F `e trascurabile, M dv = −udM , da cui

Z ^v(t)

0

dv

u = −

Z ^{M (t)}

M₀

dM

M , assumendo v(t = 0) = 0, M (t = 0) = M₀:

M₀

M (t) = e^v(t)/u oppure v(t) = u log

 M₀ M (t)

 .