Centro di Massa

(1)

Centro di Massa

palla lanciata in aria:

traiettoria parabolica [tipo moto proiettile]

mazza da baseball lanciata in aria:

moto complicato e diverso per le varie parti mazza = sistema di punti materiali

centro di massa: punto che si muove lungo traiettoria parabolica [tipo moto proiettile]

centro di massa di un corpo (o sistema di corpi):

punto che si muove come se

 tutta la massa fosse lì concentrata

 e le forze esterne agissero lì

permette di descrivere

moto complessivo del sistema meccanico

(2)

esempio: sistema di due particelle collegate da sbarra rigida [priva di massa]

M

₁

< M

₂



applico F vicino ad M

₁

sistema ruota in

senso orario



applico F vicino ad M

₂

sistema ruota in

senso anti-orario



applico F vicino al CM sistema trasla

si muove come se tutta la massa fosse concentrata nel CdM

individuo centro di massa con questo esperimento !!

(3)

Posizione del centro di massa

posizione media della massa del sistema

2 1

2 2 1

1

m m

x m x

x m

CM def



 

esempio:

x

₁

=0, x

₂

=d

se m

₁

= m

₂



x_CM= (x1+x2)/2 metà strada

se

m

₂

= 2m

₁



x_CM= 2/3 d vicino particella pesante

sistema n particelle in 3 dimensioni

M x m m

x m m

m m

x m x

m x

x m

ⁱ ⁱ

i i i n

n n

CM def



  _

 



 

...

2 1

3 3 2

2 1

1

M y m m

y m m

m m

y m y

m y

y m ⁱ ⁱ

i i i n

n n

CM def



 

_

 



 

...

2 1

3 3 2

2 1

1

M z m m

z m m

m m

z m x

m z

m x

z m

ⁱ ⁱ

i i i n

n n

CM def



  _

 



 

...

2 1

3 3 2

2 1

1

(4)

nel linguaggio dei vettori:

y x

z

P(x

_i

,y

_i

,z

_i

)

particella di coordinate

(x

_i

,y

_i

,z

_i

)

vettore posizione:

k z j y i

x

r 

_i



_i

 

_i

 

_i

 r

i

sistema di n particelle



  











n

i

i i CM

i i i

i i

i CM

CM CM

CM

r M m

r

M

z m y

m x

m k

z j y i x r

1

1 



 

vettore posizione CM

corpi rigidi [distribuzioni continue di materia]

 













 



 



 



dm M z

M z z m

dm M y

M y y m

dm M x

M x x m

i i i

m i i CM def

1 1 1

0 0 0

N.B. se oggetto possiede simmetria

CM si trova su centro, asse o piano di simmetria



 r dm

r_CM M1 

(5)

Moto di un Sistema di Particelle

Il CM è utile nella descrizione del moto del sistema

n n

CM

m r m r m r

r

M  

₁



₁



₂



₂

 ...  





ⁿ

i

i i

CM

m r

r M

1

1 



n n

CM

m v m v m v

v

M  

₁



₁



₂



₂

 ...  

n n

CM

m a m a m a

a

M  

₁



₁



₂



₂

 ...  

dt r v_i dⁱ

  dt

v a_i dⁱ

 









_n _est

CM

F F F F

a

M  

₁



₂

...   le forze interne

si elidono a due a due [azione e reazione]

il CM si muove come particella di massa M su cui agisce la risultante delle forze esterne

N.B. sistema isolato:

 0



 ^F ^

^est

 ^M ^a ^

^CM

^d _dt ^p ^

^tot

^ ^p ^

^tot

^{ } ^M ^v

^CM

^ ^costante

dt p a d

M

F

_est _CM



^tot

 



 

(6)

esempi: moto centro di massa

fuoco artificiale

g

est

F

F  



CM segue

traiettoria parabolica [la stessa del razzo inesploso]

ballerina che fluttua in aria:

traiettoria testa-busto orizzontale !!!

[non parabolica

come nel lancio di un corpo]

CM segue

traiettoria parabolica

(7)

esercizi centro di massa

(8)

Moto di un Sistema di Particelle

M v m dt

r m d M

dt r

v^_CM ^ d^^CM ^ ¹



_i ^ⁱ ^



ⁱ^ⁱ

Il CdM è utile nella descrizione del moto del sistema

velocità CDM

tot i

i i

CM

m v p p

v

M         

quantità di moto totale è pari alla massa totale per la velocità del CdM

[moto particella massa M, velocità v

_CM

]





^



 ^CM _i ⁱ _i _i

CM ma

M dt

v m d M

dt v

a d  

 1 1



 ^



_i _i _i

CM

m a F

a

M    

somma forze esterne

(quelle interne si elidono a coppie)

dt p a d

M

F 

_est



_CM



^tot



 

il CdM si muove come particella di massa M su cui agisce la risultante delle forze esterne

sistema isolato:

 ^F ^

^est

^ 0 _ ^p ^

^tot

^ ^costante ^v ^

^CM

^ ^costante

(9)

durante il moto si conserva la massa del sistema [massa combustibile + massa navetta]

f

i

p

p 

0 )

)(

(   





 dMU M dM v dv con dM Mv

U dv

v

u  (  ) velocita` relativa prodotti di scarico

dt M dv dt u

dM

dv M u dM









Ma Ru 

ove

R=-dM/dt

rapidita`

consumo conbustibile spinta del razzo (I⁰equazione del razzo)



^ ^





f

i f

i

M

M v

v M

u dM dv

M u dM dv

f i i

f M

u M v

v   ln

conservazione quantità di moto propulsione di un razzo

[sistema a massa variabile]

(II⁰equazione del razzo) devo diminuire la massa finale per avere aumento di velocita`

(10)

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(12)

(13)