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Esercizio 1. Si consideri la funzione

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Analisi Matematica II

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova scritta del 10/02/2014

A.A. 2012/2013

Esercizio 1. Si consideri la funzione

f (x, y) = ln x − 3y + 3y x − 1 .

Determinare gli eventuali punti stazionari della funzione e studiarne la natura.

Esercizio 2. (i) Si determini, in funzione di n ∈ N, la soluzione del problema di Cauchy

 

 

y n ′′ + n 2 y ′ n + y n = t, y n (0) = 0,

y n ′ (0) = 1 − n 2

2

.

(ii) Si calcoli il limite puntuale della successione di funzioni {y n } n ∈N e si dica se tale limite verifica il seguente problema di Cauchy

{

y ′′ + y = t,

y(0) = 0, y ′ (0) = 1.

Esercizio 3. Determinare il limite puntuale della successione di funzioni seguente e stabilire se la convergenza ` e uniforme.

f n (x) = nx

1 + n 2 x 2 , x ∈ [−1, 1].

Esercizio 4. Studiare, al variare di a ∈ R, la seguente serie:

∑ ∞ n=1

x n 1 + a 2n .

Esercizio 5. Calcolare il seguente integrale ∫

γ

(4 + z 2 )e

zi

dz,

dove γ = {z ∈ C : |z| = 1} percorso in senso orario.

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