Lezione 10

Lezione 10

Simmetrie e leggi di conservazione Parità, Isospin, coniugazione di carica,

inversione temporale, CPT,

Numeri fermionico, barionico, leptonico Violazione di parità

Corso di Fisica nucleare e subnucleare Paolo Maestro

a.a. 2016/17

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 Paolo Maestro 2

In meccanica quantistica, lo stato di un sistema è rappresentato da vettore nello spazio di Hilbert ψ.

Una grandezza osservabile è rappresentata da un operatore hermitiano (O=O⁺).

Il risultato di una misura sul sistema è il valore medio dell’operatore O sullo stato

L’evoluzione temporale del sistema si può descrivere in rappresentazione di Schrodinger (lo stato evolve nel tempo) o di Heisemberg (l’operatore evolve nel tempo). Le due rappresentazioni sono equivalenti.

L’equazione di Heisemberg per il moto dell’operatore O (che non dipende esplicitamente dal tempo) è

dove H è l’hamiltoniana del sistema, [O,H]=OH-HO è il commutatore di O e H.

Se [O,H] = 0 à l’operatore O è una costante del moto, e il suo valore si conserva.

o = ψ ^O ψ

i ! dO

dt = O, H [ ]

Leggi di conservazione

I numeri quantici di un operatore che commuta con H sono conservati

Se O ha autovettori |o₁> e |o₂> con autovalori o₁ e o₂ rispettivamente, e [O,H]=0, possiamo scrivere

da cui risulta che l’elemento di matrice H è nullo oppure o₁ = o₂ .

Quindi l’elemento di matrice fra due autovettori di O con autovalori differenti è nullo

L’autovalore di O è un numero quantico conservato.

o

[O, H ] o

= 0 = o

OH o

− o

HO o

= o (

− o

) ^o

^{H o}

o₂ H o₁

= 0

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 Paolo Maestro 4

Principi di invarianza

Sia U una trasformazione unitaria (U⁺ = U^-1) del sistema che trasforma lo stato ψ

Prima della trasformazione una misura di O dà come risultato Dopo la trasformazione, abbiamo

Se il sistema dopo la trasformazione non è stato alterato sostanzialmente, si dice che il sistema è invariante sotto l’azione della trasformazione U.

Se il sistema è invariato sotto U, allora le osservabili devono avere lo stesso valore prima e dopo la trasformazione, cioè o’=o. Pertanto

L’operatore O è invariante sotto U, se [O,U]=0.

Le trasformazioni possono essere continue (traslazioni nello spazio e nel tempo, rotazioni spaziali o nello spazio di spin) o discrete (inversione spaziale, coniugazione di carica).

U ψ = ψ '

o' = ψ ' O ψ ' = ψ U

OU ψ

o' =

ψ ^{' O} ψ ' = ψ

ψ = o = ψ

ψ

⇒ O = U

⇒

[U,O] = 0

o = ψ ^O ψ

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 Paolo Maestro 5

Invarianza per traslazione spaziale

Una trasformazione continua è la successione di tante trasformazioni infinitesime.

Ad esempio se si considera una traslazione infinitesima lungo x

possiamo definire T come l’operatore di traslazione infinitesimo. Poiché

notiamo che l’operatore traslazione infinitesima T è generato dall’operatore momento

Una traslazione finita si può considerare come successione di ∞ traslazioni infinitesime

da cui si ricava

Il momento p_x è il generatore dell’operatore di traslazione spaziale lungo x.

ψ (x + dx) = ψ (x) + ∂ ψ ^(x)

∂x dx = 1+ dx ∂

∂x

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ψ (x) = T ψ ^(x)

T = 1+ dx ∂

∂x

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥= 1+ i

! p_x dx

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

p

= −i! ∂

∂x

ψ (x + a) = ψ (x + Ndx) = 1+ i

! p

dx

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

N

ψ (x) = T

ψ ^(x)

T (a) = exp ia

! p

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ T (a) = lim

N→∞dx→0 a=Ndx

1+ i

! p

dx

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

N

⇒

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 Paolo Maestro 6

Principi di invarianza e leggi di conservazione

Se H è invariante sotto traslazioni spaziali à [T,H]=0 à [p,H]=0 (dato che T è generato da p) à p è conservato

Analogamente le rotazioni sono generate dal momento angolare.

Invarianza sotto rotazioni à [H,L]=0 à Il momento angolare si conserva.

In generale:

Invarianza per una trasformazione à Conservazione del generatore della trasformazione à Numeri quantici del generatore sono conservati.

Teorema di Emmy Noether (1918)

Se un sistema fisico possiede una proprietà di simmetria, cioè il sistema è invariante per una particolare trasformazione spazio-temporale (variabili esterne) o una trasformazione che coinvolge altre variabili dinamiche “interne” del sistema fisico, allora si può definire un numero quantico associato alla trasformazione che si conserva.

Viceversa, se c’e’ una quantità che si conserva allora esiste una proprietà di invarianza rispetto ad una trasformazione legata alla grandezza che si conserva.

Le leggi di conservazione determinano quali reazioni o decadimenti sono permessi e quali sono vietati.

Tutte le interazioni (forti, e.m., deboli) rispettano le seguenti leggi di conservazione:

•  4-impulso;

•  momento angolare totale; carica elettrica;

•  Numero fermionico, numero barionico, numero leptonico.

Altre leggi di conservazione sono:

•  parità, P (conservata nelle interazioni forti ed e.m., non in quelle deboli);

•  isospin (conservato solo nelle interazioni forti);

•  sapore dei quark (conservato nelle interazioni forti ed e.m., non in quelle deboli)

•  C-parità (conservata nelle interazioni forti ed e.m., non in quelle deboli);

•  inversione temporale (conservata nelle interazioni forti ed e.m., non in quelle deboli);

•  simmetria CPT (conservata in tutte le interazioni).

Leggi di conservazione

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 Paolo Maestro 8

Fermioni e bosoni

Teorema spin-statistica (Pauli 1940): particelle di spin semintero seguono la statistica di Fermi-Dirac, particelle di spin intero seguono statistica di Bose-Einstein.

Ciò si riflette nella struttura della funzione d’onda ψ di un sistema di particelle identiche Bosoni: ψ è simmetrica per scambio di qualsiasi coppia particelle

Fermioni: ψ è antisimmetrica per scambio di qualsiasi coppia particelle

Da antisimmetria di ψ segue il principio di esclusione di Pauli: due fermioni non possono occupare lo stesso stato quantico (se i numeri quantici di 1 e 2 sono uguali ψ = -ψ à ψ=0).

La funzione d’onda si può fattorizzare in una parte spaziale e una di spin

Bosoni: α β entrambe simmetriche o antisimmetriche Fermioni: α simmetrico β antisimmetrica, o viceversa

La parte spaziale α di ψ descrive il moto orbitale relativo delle particelle. Nel caso di due particelle si può rappresentare con le funzioni armoniche sferiche Y_lm(θ,φ)

ψ

⎯

⎯⎯ = + → ψ

ψ

⎯

⎯⎯ = − → ψ

ψ = α ^(space) β ^(spin)

Lo scambio di due particelle equivale a inversione spaziale (parità) delle coordinate spaziali. Le Y_lm(θ,φ) sono autofunzioni di parità con autovalore (-1)^l.

Quindi: l pari à α simmetrica per scambio di particelle , l dispari à α antisimmetrica.

•  Applichiamo come esempio queste considerazioni al decadimento ρ⁰ è un mesone con J=1, π⁰ mesone con spin=0.

I mesoni sono formati da coppia quark-antiquark.

I quark sono fermioni, quindi i mesoni sono bosoni.

La funzione d’onda dello stato finale di due mesoni identici deve essere simmetrica.

Avendo i pioni S=0 à β è simmetrica à α simmetrica (per garantire simmetria di ψ) à L dello stato finale deve essere pari, e così J=L+S.

Ma ciò viola la conservazione del momento angolare (J=1 nello stato iniziale) à Il decadimento non è possibile.

•  In tutti i processi di interazione fra particelle, si osserva che fermioni e anti-fermioni possono essere creati o distrutti solo a coppie.

Assegnando numero fermionico +1 e -1 a fermioni e anti-fermioni, rispettivamente, il numero fermionico è sempre conservato.

Non c’e’ invece legge di conservazione analoga per i bosoni.

ρ

→ π

+ π

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 Paolo Maestro 10

Classificazione delle particelle

Leptoni (dal greco leptós ‘leggero’): fermioni elementari, divisi in 3 famiglie o flavor (e^-, ν_e) (µ^-, ν_µ) (τ^-, ν_τ)

Soggetti a forza debole (tutti) e e.m. (solo e, µ, τ)

Quark (termine senza significato dal Finnegans Wake di J. Joice, proposto da Murray Gell-Mann): fermioni elementari suddivisi in 3 flavour

Adrone (dal greco adrós, ‘forte’): particella soggetta a interazione forte. Includono barioni e mesoni

Barione (dal greco barys, ‘pesante’): fermione formato da tre quark (es: p, n)

Mesone (dal greco mesos, ‘di mezzo’, nel senso di massa): bosone formato da coppia quark-antiquark (es: π, K)

Bosoni di gauge: bosoni elementari mediatori delle interazioni fondamentali

,

Numero barionico

•  Poiché i barioni sono formati da tre quark (fermioni), la conservazione del numero fermionico si riflette nella conservazione del numero barionico.

Ad ogni barione viene assegnato arbitrariamente numero barionico B=+1 e ad ogni antibarione numero barionico B = −1.

•  I mesoni sono formati di una coppia quark-antiquark, quindi sono bosoni à B=0.

•  Il numero barionico è un numero quantico additivo, cioè il numero barionico totale di un sistema si ottiene sommando i numeri barionici delle singole particelle.

p → e

+ π

B +1 ≠ 0 + 0

p + p → p + p + p + p B +1+1 = 1 + 1 +1 -1

Cinematicamente possibile, carica elettrica, conservata ma non è mai stato osservato.

Viola la conservazione del numero barionico Numero barionico conservato

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 Paolo Maestro 12

Numero leptonico

Tutte le interazioni conservano separatamente il numero leptonico di ogni famiglia: si assegna +1 al leptone e -1 all’ anti-leptone.

Decadimento del muone

π

→ µ

+ ν

L

0 = -1 + 1

µ

→ e

+ ν

+ ν

L

0 = 1 -1 + 0 L

1 = 0 +0 + 1

Decadimento del pione

µ

→ e

+ γ

L

0 ≠ 1 + 0

µ

→ e

+ e

+ e

L

0 ≠1 -1 +1 L

1 ≠ 0 + 0 + 0

Viola la conservazione dei numeri leptonici e µ

n → p + e

+ ν

L

0 = 0 +1 -1

Decadimento del neutrone

Tre numeri leptonici distinti sono stati introdotti per spiegare perché non si osservano alcuni processi, come i seguenti

µ

→ e

+ e

+ e

µ

→ e

+ γ

τ

→ e

+ γ τ

→ µ

+ γ

τ

→ µ

+ µ

+ e

X X X X X

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 Paolo Maestro 14

L’operatore di inversione spaziale o parità è una trasformazione discreta che inverte il segno delle tre coordinate spaziali:

In coordinate polari:

E’ una trasformazione discreta perché nessuna trasformazione continua può trasformare un sistema di riferimento destrorso in uno sinistrorso. Essa equivale ad una riflessione del sistema in un piano e una rotazione di 180° intorno all’asse ortogonale al piano.

Dati tre vettori (v,w,z), si hanno queste trasformazioni sotto parità

Parità

P : x → −x y → −y z → −z P : r → r θ → π − θ ϕ → ϕ + θ

!

v ⎯ →

⎯ − !

v vettore !

v ⋅ !

w ⎯ →

⎯ − !

v ⋅ − !

( ) w ^{= v ⋅ !} w scalare ^! !

v × !

w ⎯ →

⎯ − !

v × − !

( ) w ^{= v × !} w pseudovettore (vettore assiale) ^! z ⋅ ! !

v × !

( w ) ^{⎯ →}

^{⎯ − ! z ⋅ −} ( ^{v × − !} ( ) ^{w !} ) ^{= − z ⋅ ! ( v × ! w ! )} pseudoscalare

Per quanto riguarda alcune grandezze fisiche, si ha:

!

r ⎯ →

⎯ − !

r posizione (vettore) !

p ⎯ →

⎯ − !

p impulso (vettore) L = ! !

r × !

p ⎯ →

⎯ − !

r × − !

( ) p ^{= ! r × p = !} L Momento angolare (pseudovettore) ^! !

S ⎯ →

⎯ !

S Spin (per analogia a !

L, pseudovettore) h =

S ⋅ ! ! p p

⎯ →

⎯

S ⋅ − ! !

( ) p

p = −h Elicità (pseudoscalare)

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 Paolo Maestro 16

In meccanica quantistica l’operatore parità è unitario e hermitiano con autovalori ±1.

Infatti ψ se è autostato con autovalore p, si dimostra:

Parità in meccanica quantistica

P ψ (x) = ψ (−x)

P ψ (x) = p ψ (x) ⇒ P

ψ (x) = p

ψ (x) = ψ ^(x) ⇒ p = ±1 P

= I P = P

= P

•  La parità di un sistema è un numero quantico moltiplicativo, cioè la parità di un sistema composto è data da prodotto delle parità dei suoi costituenti.

•  Se un sistema è simmetrico sotto trasformazione di parità, allora la sua Hamiltoniana H è invariante per inversioni spaziali, cioè commuta con la parità [H,P]=0 à La parità del sistema è un numero quantico che si conserva. Gli autostati di H sono anche autostati di parità (es: atomo di idrogeno)

•  Uno stato avente momento angolare definito può essere scomposto sulla base delle armoniche sferiche Y_lm(θ,φ) (che sono autostati degli operatori L² e L_z).

Le Y_lm(θ,φ) sono autofunzioni di parità con autovalore (-1)^l.

•  Conservazione della parità: l’immagine speculare di un fenomeno naturale rappresenta un altro fenomeno possibile in natura. La parità si conserva nelle interazioni forti ed elettromagnetiche ma NON nelle interazioni deboli.

Le armoniche sferiche sono autofunzioni degli operatori L² e L_z

Le prime armoniche sferiche:

Trasformazione di parità

in coordinate cartesiane x→-x y→-y z→-z in coordinate polari r→r θ→π-θ φ→φ+π

Le armoniche sferiche sono anche autofunzioni dell’operatore parità

P(Y

( θ ^, φ )) = Y

( π − θ ^, φ + π ) = −1 ( )

^Y

^{( θ , φ )}

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 Paolo Maestro 18

Parità intrinseca di una particella

•  Se il moto interno dei quark negli adroni ha una simmetria definita rispetto alla parità, sembra ragionevole assegnare all’ adrone una parità intrinseca che è ben distinta da quella legata al moto spaziale dell’adrone come un oggetto intero.

•  Da conservazione del numero fermionico à La parità intrinseca del singolo fermione non si può misurare, ma solo la parità relativa del sistema fermione-antifermione.

•  L’equazione di Dirac, che descrive i fermioni senza struttura di spin 1/2 attraverso una funzione d’onda spinoriale, dimostra che la parità di fermioni e antifermioni sono opposte. Quindi la parità di un sistema fermione-antifermione è -1.

•  Si attribuisce convenzionalmente la parità intrinseca in questo modo P(e^-) = P(µ^-) = P(τ^-) = P(barioni) = P(quark) = +1

P(e⁺) = P(µ⁺) = P(τ⁺) = P(antibarioni) = P(antiquark) = -1

in modo che sia -1 la parità (numero moltiplicativo) di un sistema fermione-antifermione.

•  I bosoni, al contrario dei fermioni, possono essere creati singolarmente. Ad essi è assegnata una parità intrinseca, definita in modo che la parità dello stato iniziale sia uguale a quella dello stato finale (nelle interazioni che conservano la parità).

La parità di un bosone non è arbitraria, e inoltre P(bosone) = P(antibosone).

•  Il fotone è rappresentato dal potenziale vettore A à P(γ)= -1

Oppure, nelle transizioni di dipolo fra i livelli degli atomi ΔL=±1 à P(γ)= -1 per conservare la parità dello stato finale (nelle interazioni e.m. la parità si conserva).

Consideriamo il sistema di due particelle a e b descritto dalla funzione d’onda

dove |ψ_a> e |ψ_b> sono gli stati delle due particelle e |ψ_rel> descrive lo stato di moto relativo.

Se le particelle hanno parità intrinseca p_a e p_b, e l_ab è il momento angolare relativo del sistema, la parità del sistema è

cioè è data dal prodotto delle parità intrinseche per la parità dovuta al moto relativo dei costituenti del sistema.

Consideriamo la reazione a+b à c+d che avviene tramite un’interazione che conserva la parità. Si ha

Si può quindi definire le parità delle particelle prodotte nello stato finale conoscendo la parità dello stato iniziale.

ψ = ψ

ψ

ψ

P ψ = P ψ

P ψ

P ψ

= p

p

( ) −1

p

p

( ) −1

^{= p}

^p

( ) ⁻¹

Parità di un sistema di particelle

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 Paolo Maestro 20

Molto prima dell’ avvento dei quark la parità intriseca del pione era stata misurata sperimentalmente studiando la reazione di cattura:

Nello stato iniziale sono noti: il momento angolare orbitale relativo L_πd = 0 la parità del deuterio J^P=1⁺ L_d=0 S_d=1

La parità totale dello stato iniziale è e il momento angolare totale

Lo stato finale di due particelle identiche di spin ½ deve avere funzione d’onda antisimmetrica.

Per la conservazione del momento angolare si deve avere

La funzione d’onda di spin dei neutroni può essere un singoletto antisimmetrico S=0

Parità intrinseca del pione

π

+ d → n + n

P( π

+ d) = p

× p

× −1 ( )

^{= p}

J !

(π⁻+d )

= !

S

+ ! J

+ !

L

= ! J

= 1

J !

(π⁻+d )

= !

J

= 1

S = 0, S_z = 0 = 1

2 s₁ = 1

2, s_1z = +1

2 s₂ = 1

2, s_{2 z} = −1

2 − s₁ = 1

2, s_1z = −1

2 s₂ = 1

2, s_{2 z} = +1 2

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 Paolo Maestro 21

oppure un tripletto simmetrico con S=1

J=1 si può realizzare in quattro modi: se S=0 à L=1

se S=1 à L=0 o 1 o 2

La funzione d’onda finale si può scrivere come

e deve essere antisimmetrica sotto scambio dei due neutroni

per cui L+S deve essere pari. Quindi l’unica combinazione ammissibile è L=1 S=1.

La parità dello stato finale è

L’interazione è forte e quindi la parità è conservata à

P(π^-)=-1 S(π^-)=0 à Lo stato del π è J^P= 0^- à π è un mesone pseudoscalare.

S = 1, S_z = +1 = s₁ = 1

2, s_1z = +1

2 s₂ = 1

2, s_{2 z} = +1 2 S = 1, S_z = 0 = 1

2 s₁ = 1

2, s_1z = +1

2 s₂ = 1

2, s_{2 z} = −1

2 + s₁= 1

2, s_1z = −1

2 s₂ = 1

2, s_{2 z} = +1 2

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ S = 1, S_z = −1 = s₁ = 1

2, s_1z = −1

2 s₂ = 1

2, s_{2 z} = −1 2

ψ ( ⁿ

^{, n}

) ^{= −1} ( )

( ) ⁻¹

^ψ ( ⁿ

^{, n}

) ^{= −1} ( )

^ψ ( ⁿ

^{, n}

) ^{= − ψ} ( ⁿ

^{, n}

)

ψ ( n

, n

) ^{= ψ} ( ^space ) ^ψ ( ^spin )

P(n + n) = p

× p

× −1 ( )

^{= 1×1× −1} ( )

^{= −1}

P(n + n) = −1 = P( π

+ d) = p

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 Paolo Maestro 22

Parità intrinseca dei mesoni

Nell’ambito del modello a quark, un mesone M è uno stato legato quark-antiquark, dotati di momento angolare relativo l.

Pertanto la parità intrinseca di un mesone è data da:

I mesoni con massa minore hanno L = 0 e gli spin del quark e dell’antiquark antiparalleli (a formare cioè uno stato con spin totale S = 0). Pertanto essi hanno

L=0 S=0 à P(M) = −1 ⇒ J^P =0⁻

Essi sono detti mesoni pseudo-scalari. Es.: π⁰, π⁺, π⁻, K⁰, K⁺, K⁰-bar, K⁻, η, η′ .

Mesoni di massa più elevata hanno L = 0 ma gli spin del quark e dell’antiquark paralleli a dare uno stato con spin totale S = 1. Pertanto essi hanno:

L=0 S=1 à P(M) = −1 ⇒ J^P =1⁻

Questi sono detti mesoni vettori. Es.: ρ⁰, ρ⁺, ρ⁻, K^∗0, K^∗+, K^∗0-bar, K^∗−, φ, ω.

P(qq ) = P(q) × P(q) × −1 ( )

^{= −1} ( )

Verifica della conservazione della parità

La conservazione della parità è stata verificata nella reazione nucleare (Tanner, 1957)

Questa reazione può avvenire attraverso una risonanza nucleare (²⁰Ne*) se l’energia cinetica del protone è 340 keV

Consideriamo il decadimento del Ne direttamente nello stato fondamentale di O 0⁺ (linea blu nello schema) J_Ne=1⁺ J_O=0⁺ S_α = 0⁺ 1⁺à 0⁺ + 0⁺

J_Ne = J_O+S_α + L_α = L_α à L_α =1 (per conservazione J) P_Ne = +1

P_fin = P_O x P_α x (-1)^L= 1x1x(-1)=-1

La parità non è conservata (limite sperimentale 10^-12)

Il decadimento di Ne* direttamente nello stato fondamentale di O

con emissione di α ( E(α) = 8.12 MeV) è proibito perché viola la parità.

p +

F →

O + α

p +

F →

Ne

→

O + α Q = 8.12 MeV

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 Paolo Maestro 24

Consideriamo invece il decadimento del Ne* nello stato 3^- di O (linea rossa nello schema) con emissione di particella α. Il nucleo di O si diseccita nello stato fondamentale con emissione di un γ di energia 6.14 MeV. La particella α ha energia E(α)=Q-Eγ = 1.98 MeV J_Ne=1⁺ J_O=3^- S_α = 0⁺ 1⁺à 3^- + 0⁺

J_Ne = J_O+S_α + L_α = J_O+L_α à L_α =2 o 3 (per conservazioneJ) P_Ne = +1 P_fin = P_O x P_α x (-1)^L

Se L_α =2 à P_fin = -1x 1 x (-1)²= -1 Parità non conservata Se L_α =3 à P_fin = -1x 1 x (-1)³= +1 Parità conservata

Questo decadimento risonante è misurato e ha come segnature l’emissione del fotone ed E(α)= 1.98 MeV.

Lo stato risonante non è invece prodotto nella reazione senza emissione di fotoni (linea blu) perché violerebbe la parità.

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 Paolo Maestro 25

Isospin

ll neutrone ed il protone hanno masse simili (M_p = 938.272 MeV e M_n = 939.565 MeV,

∆M = 1.3 MeV) e spin 1/2. Inoltre:

i) sezioni d’urto simili per diffusioni p-p, n-p, una volta corretto per l’ effetto della carica coulombiana;

ii) i nuclei speculari hanno livelli nucleari uguali, di nuovo dopo aver corretto per il campo coulombiano (Lez. 5 pag. 20, 41).

In base a questi risultati Heisenberg, Condon e Carren (1932) concludono che:

le forze nucleari sono indipendenti dalla carica elettrica (n-n = p-p = n-p ).

Si considera ΔM come una perturbazione e.m.; se non ci fosse p ed n avrebbero stessa massa.

p e n sono due differenti stati di una stessa particella, il nucleone, e si introduce un nuovo grado di libertà interno, l’ ISOSPIN (anologo allo spin) per distinguerli.

p = I = 1

2, I_z = +1 2 n = I = 1

2, I_z = −1 2

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 Paolo Maestro 26

Gli isospin di più particelle si sommano con le stesse regole dei momenti angolari.

Ad esempio per un sistema nucleone-nucleone abbiamo:

•  stati di tripletto di isospin con I=1, simmetrico per scambio dei nucleoni

•  stato di singoletto di isospin con I=0, antisimmetrico per scambio dei nucleoni

I = 1, I

= +1 = p, p I = 1, I

= 0 = 1

2 ( p, n + n, p )

I = 1, I

= −1 = n, n I

= 1

2

0 1 1 0

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ I

= 1 2

0 −i

i 0

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ I

= 1 2

1 0 0 −1

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ I

, I

⎡⎣ ⎤⎦= i ε

^I

I

p = 1

2 p I

n = − 1 2 n

I = 0, I

= 0 = 1

2 ( p, n − n, p )

Gli operatori di isospin sono analoghi a quelli di spin e le rappresentazioni fondamentali sono date dalle matrici di Pauli:

Un sistema di due fermioni identici N₁ e N₂, la funzione d’onda globale si scrive

dove α descrive lo stato di moto relativo dei nucleoni, β e γ lo stato di spin e isospin rispettivamente.

Le funzioni di spin ed isospin hanno la stessa struttura matematica e questo, per due particelle, porta per entrambe alle configurazioni di singoletto e/o tripletto.

La funzione d’onda globale è antisimmetrica per scambio dei due nucleoni

da cui segue che cioè L+S+I deve essere dispari.

Ad esempio: consideriamo il deutone, cioè lo stato legato p-n. Ha S=1 e L=0 à I=0 per avere antisimmetria per scambio della funzione globale.

Cioè il deutone esiste solo come singoletto di isopin.

ψ ( ^N

^{, N}

) ^{= α (space) β (spin) γ (isopin)}

Principio di esclusione di Pauli esteso

ψ ( ^N

^{, N}

) ^{= −1} ( )

( ) ⁻¹

( ) ⁻¹

^ψ ( ^N

^{, N}

) ^{= −1} ( )

^ψ ( ^N

^{, N}

) ^{= − ψ} ( ^N

^{, N}

)

( ) −1

^{= −1}

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 Paolo Maestro 28

•  L’isospin è conservato nelle interazioni forti. Ciò equivale a invarianza dell’Hamiltoniana dell’interazione forte H_strong per rotazione nello spazio dell’isospinà [H_strong, I]=0

•  Le interazioni elettromagnetiche non conservano l’isospin.

Infatti poiché sono accoppiate alla carica elettrica q, nello spazio dell’ isospin le interazioni elettromagnetiche selezionano I₃.

Si verifica che la carica di una particella è

dove B è il numero barionico.

•  Dato che la simmetria di isospin riguarda le interazioni forti, tutti gli adroni hanno il numero quantico dell’isospin.

Non solo il protone e il neutrone, ma tutti i mesoni e i barioni possono essere raggruppati in multipletti i cui membri hanno masse quasi identiche fra loro. Le piccole differenze tra le masse dei membri di uno stesso multipletto sono dovute alle interazioni e.m. (quelle deboli sono ininfluenti).

Conservazione dell’isospin

Q = I

+ B

2

I

= ∑ I

^{= Z − N} ₂ ^{Q = I}

^{+ B} ₂

Isospin dei nuclei

8

14

O :

C + (pp) I

= +1

7

14

N :

C + (pn) I

= 0

6

14

C :

C + (nn) I

= −1

MeV/A

1

2

H I

= 0 Q = +1

A=2

2

4

He I

= 0 Q = +2

1

3

H I

= − 1

2 Q = +1

2

3

He I

= + 1

2 Q = +2

2

6

He I

= −1 Q = +2

3

6

Li I

= 0 Q = +3

4

6

Be I

= +1 Q = +4

A=3

A=4 A=6

B di un nucleo = A

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 Paolo Maestro 30

Multipletti di isospin

Ø  Il gruppo dell’isospin è SU(2), special (det=1) unitary group di dimensione 2.

Ø  L’ hamiltoniana delle interazioni forti è invariante rispetto alle rappresentazioni unitarie di SU(2).

Ø  Nelle interazioni forti [H, I_i]=0 e [H, I²]=0 à gli stati adronici si raggruppano in multipletti con spin isotopico totale I determinato. All’interno di ogni multipletto i diversi stati sono contraddistinti dal valore di I₃

Ø  Inoltre [H, L²]=0 e [H, P]=0 à Tutti membri di un multipletto di isospin hanno uguale spin e parità !

Ø  All’ interno di ogni multipletto gli operatori sono rappresentati da matrici (2I+1)x(2I+1).

Nel linguaggio della teoria dei gruppi si dice che esse realizzano “delle Rappresentazioni Irriducibili“ di dimensione (2I+1)x(2I+1) del gruppo di trasformazioni SU(2).

Le rappresentazioni irriducibili del gruppo di dimensione 2x2 sono le matrici di Pauli.

Ø  In assenza di effetti che rompono la simmetria, i membri di ogni multipletto sono degeneri in massa. Le interazioni e.m., NON rispettando la simmetria di isospin, rimuovono la degenerazione in massa dando differenze di massa al livello del % nei multipletti di isospin.

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 Paolo Maestro 32

Diffusione pione-nucleone

Una conseguenza della simmetria di isospin è la predizione dei rapporti di sezioni d’urto nella diffusione pione-nucleone (π-N):

Il nucleone ha I=1/2 mentre il π forma un tripletto di I=1. Consideriamo i sei possibili stati di isospin del sistema π-N

π

+ p → π

+ p π

+ n → π

+ n π

+ p → π

+ p π

+ n → π

+ n

π

+ p → π

+ n π

+ n → π

+ p

Reazioni di diffusione elastica

Reazioni di scambio carica

π

p = 1,+1 1 2,+1 2 π

p = 1, 0 1 2,+1 2 π

p = 1, −1 1 2,+1 2

π

n = 1,+1 1 2, −1 2 π

n = 1, 0 1 2, −1 2 π

n = 1, −1 1 2, −1 2

3 2, + 3 2 = π

3 2, +1 2 = 1

3 π

2

3 π

3 2, −1 2 = 2

3 π

1

3 π

3 2, − 3 2 = π

1 2, +1 2 = 2

3 π

1

3 π

1 2, −1 2 = 1

3 π

2

3 π

L’isospin totale del sistema π-N è 1/2 o 3/2.

Usando i coefficienti di Clebsch Gordan, si possono scrivere gli stati di isospin totale I, I₃ come combinazione lineare dei sei stati pione-nucleone

Q = I₃+ B 2 +2

Coefficienti di Clebsch Gordan per la composizione di stati di spin 1/2 e 1 +1

0

-1 +1

0

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 Paolo Maestro 34

π

π

1

3 3 2, +1 2 + 2

3 1 2, +1 2 π

2

3 3 2, +1 2 − 1

3 1 2, +1 2 π

2

3 3 2, −1 2 + 1

3 1 2, −1 2 π

1

3 3 2, −1 2 − 2

3 1 2, −1 2 π

Sempre usando i coefficienti si possono invertire le precedenti relazioni, ed esprimere I 6 stati π-N come combinazione della base degli stati di isospin totale

Consideriamo l’hamiltoniana H_S dell’interazione forte nelle 6 reazioni considerate.

La conservazione dell’isospin nell’interazione forte, implica la invarianza di H_S per rotazioni nello spazio dell’isospin, e quindi

Gli autostati di isospin totali sono anche autostati di H_S, per cui possono avvenire solo transizioni fra stati con gli stessi valori di I e I₃.

Gli elementi della matrice fra stati iniziali e finali sono quindi

dove l’ampiezza di transizione M dipende solo dal valore di I, ma non dal valore di I₃ (l’operatore di carica elettrica Q seleziona I₃, ma H_S è indipendente dalla carica. Oppure:

H_S commuta con le 3 proiezioni di I, quindi non può dipendere dal valore di una di esse).

La sezione d’urto dei processi considerati

dove la costante di proporzionalità k è data dal prodotto degli stati accessibili nello spazio delle fasi e dal flusso, che è uguale per tutte le reazioni.

I, I

H

I ', I

= δ

δ

3I₃^'

M

σ = k M

H_S

, I

[ ] = 0 i = 1, 2, 3

, I

⎡⎣ ⎤⎦= 0

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 Paolo Maestro 36

σ

= k π

π

= k 3 2,+ 3 2 H

3 2,+ 3 2

= k M

σ

= k π

π

= 1

3 3 2,+ 3 2 H

3 2,+ 3 2 + 2

3 3 2,+1 2 H

3 2,+1 2

2

= k 1

3

+ 2 3

2

σ

= k π

π

= 1

3 3 2,−1 2 H

3 2,−1 2 + 2

3 1 2,−1 2 H

1 2,−1 2

2

= k 1

3

+ 2 3

2

σ

= k π

π

= k 3 2,− 3 2 H

3 2,− 3 2

= k M

σ

+p→π⁰+n

= k π

π

= 2

3 3 2,−1 2 H

3 2,−1 2 − 2

3 1 2,−1 2 H

1 2,−1 2

2

= k 2

3

− 2 3

2

σ

= k π

π

= 2

3 3 2,+1 2 H

3 2,+1 2 − 2

3 1 2,+1 2 H

1 2,+1 2

2

= k 2

3

− 2 3

2

σ

÷ σ

÷ σ

= M

÷ 1

9 M

+ 2M

÷ 2

9 M

− M

Per le 3 reazioni su p si hanno i seguenti rapporti fra le sezioni d’urto

Nei casi limiti in cui una delle ampiezze di transizione domina sull’altra si ha

σ

÷ σ

÷ σ

=9 ÷1÷ 2 M

>> M

σ

÷ σ

÷ σ

=0 ÷ 2÷1 M

<< M

Le prime misure di sezione d’urto di questi processi furono fatte con fasci di pioni su le targhetta di idrogeno liquido.

Nella regione vicina alla soglia, è visibile un forte picco nelle sezioni d’urto per E(π)~200 MeV che corrisponde a un’energia totale nel CM √s ≃ 1232 MeV.

In questa regione si crea la risonanza intermedia ∆(1232) con I=3/2 à M_3/2 >> M_1/2

I rapporti tra le sezioni d’urto misurate intorno alla risonanza corrispondono a quelli teorici cioè

σ

σ + σ = 3

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 Paolo Maestro 38

Energia cinetica del π

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 Paolo Maestro 39

•  La coniugazione di carica è una trasformazione discreta che trasforma una particella nella sua antiparticella.

•  La C-parità inverte il segno della carica elettrica, del momento magnetico e dei numeri quantici additivi interni (fermionico, barionico, leptonico, stranezza). Non cambiano posizione, spin, impulso. Ad esempio dato lo stato di un elettrone

la coniugazione di carica trasforma l’elettrone in positrone

•  Applicando l’operatore di carica Q e C ad una particella di carica q

da cui segue che Q e C anticommutano

La stessa cosa si ha per il momento magnetico ed il numero fermionico à Solo gli stati di carica, momento magnetico, numero fermionico NULLI possono essere AUTOSTATI della C-parità. Lo sono il fotone, il positronio (stato legato e⁺e^-), il π⁰

NON lo è il neutrone poiché ha momento magnetico e numero fermionico NON nulli.

Coniugazione di carica o C-parità

e = m, p,! !

s, −e, −2 e"

2m s, + f!

C e = m,p,! !

s, +e,+2 e"

2m s, − f!

Q q = q q C q = −q QC q = Q −q = −q −q

CQ q = qC q = q −q

QC + CQ = Q,C

[ ]

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 Paolo Maestro 40

•  Applicando due volte la C-parità allo stato di una particella si ha

da cui segue che C è unitario (CC⁺=C⁺C=1) e gli autovalori della C-parità sono ±1

•  La C-parità è simmetria discreta à Numero quantico moltiplicativo

•  La C-parità è conservata da interazioni forti e e.m., NON dall’ interazione debole.

La conservazione della C-parità significa che l’interazione è simmetrica per scambio di tutte le particelle con le relative antiparticelle.

•  Il campo e.m. (descritto dai potenziali A e φ) è generato da cariche e correnti elettriche, e quindi si inverte per azione della C-parità.

Il fotone è descritto dal potenziale vettore A à γ ha C-parità -1

L’energia del campo e.m. dipende da A² e φ² à H_em è invariante sotto C

•  Sono autostati di C le particelle che sono antiparticelle di se stesse bosoni di gauge neutri g, γ, Z⁰ (C=-1)

mesoni π⁰, η, η’ (C=+1) ρ⁰, ω⁰, φ⁰ (C=-1) C q, f , !

µ

p = −q, − f , −!

µ

s, ! p C² q, f , !

µ

µ

µ

C

γ

γ

•  C-parità del π⁰. Dal decadimento segue

Quindi π⁰ è autostato della C-parità con autovalore +1.

Da ciò si deduce che il decadimento è proibito dalla conservazione della C- parità nelle interazioni e.m. (lo stato finale con 3γ ha C-parità -1 !). Il limite misurato per il BR di questo decadimento è <3.1×10^-8

•  π⁺ e π^- non sono autostati della C-parità, infatti

Il sistema di due particelle (π⁺π^-) è autostato della C-parità

L’autovalore deriva dal fatto che l’effetto di C-parità è lo scambio dei due pioni, e ciò equivale all’operazione di P-parità per quanto riguarda la parte spaziale della funzione d’onda del sistema.

Se invece dei pioni, consideriamo due mesoni con spin≠0, lo scambio delle due particelle influisce anche sulla funzione di spin

π

γγ

π

γγγ

π

γγ

( )

^γγ

^γγ

^π

C-parità dei pioni

C

π

π

π

C

π

π

( )

^π

^π

C M⁺M⁻ = −1

( )

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 Paolo Maestro 42

Violazione della parità

Ø  L’idea che la parità fosse violata nelle interazioni deboli fu proposta da Lee e Young negli anni 1950 sulla base del puzzle θ-τ (τ NON è il leptone τ !!)

Questi decadimenti erano interessanti perché le particelle θ e τ avevano stessa massa e vita media. Si sarebbe potuto concludere che fossero la stessa particella che decade in due modi differenti. Ma la parità intrinseca era differente!

Avendo misurato per θ e τ J=0 à θ ha parità +1, τ parità -1 à θ e τ sono la stessa particella solo se la P-parità non è conservata nel decadimento.

Oggi sappiamo che θ e τ sono la particella K⁺

Ø  Per verificare la violazione di parità, Lee & Young proposero di misurare la distribuzione angolare di elettroni da decadimento β di nuclei polarizzati. Una distribuzione angolare asimmetrica avrebbe costituito la prova che la parità non è conservata.

Quindi una grandezza sensibile alla violazione di P-parità è l’elicità h Se un’interazione dipende da h, essa è non-invariate sotto P

Ø  L’esperimento fondamentale che dimostrò la violazione di parità fu effettuato nel 1956 da Wu et al. studiando il decadimento β del ⁶⁰Co

τ

→ π

π

π

θ

→ π

π

h =

p ⋅

! !

!

!

s

Esperimento di M.me Wu (1956)

•  Elettrone e neutrino sono emessi con spin paralleli allo spin del ⁶⁰Co per conservazione del momento angolare totale.

•  Il nucleo eccitato di Ni decade allo stato fondamentale con due emissioni γ.

•  I nuclei di Co hanno µ~3 µ_N. Sono raffreddati in un criostato a 0.01 K, per ridurre l’agitazione termica e quindi la depolarizzazione. Raggiunta la temperatura, i nuclei sono polarizzati nel campo magnetico B=0.05 T di un solenoide.

•  Uno scintillatore nel criostato rivela gli elettroni.

•  Due cristalli scintillanti sono usati per rivelare i γ emessi in direzione // e ortogonale a B

•  La distribuzione dei γ del Ni* polarizzato non è isotropa, ma dipende dall’angolo tra direzione di emissione e spin. La differenza di conteggi è usata per controllare il grado di polarizzazione della sorgente (al passare del tempo questa differenza svanisce perché la sorgente si riscalda e depolarizza).

27

60

Co →

Ni

+ e

+ ν

Q = 0.32 MeV τ = 7.5 anni

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 Paolo Maestro 44

Apparato sperimentale

L’elettrone è emesso in modo asimmetrico, preferenzialmente in direzione opposta a quella dello spin del nucleo di Co.

L’ asimmetria del decadimento β e la anisotropia della emissione dei γ scompaiono quando i sali di Co si riscaldano.