Matematica Generale Gianluca Ferrari Algebra Lineare
Riassunto lezione del 9 novembre 2019
Rango di una matrice
Calcolare il rango di una matrice significa determinare il numero di vettori linearmente indipendenti, cioè che non sono multipli fra loro o combinazione lineare gli uni degli altri.
Ricordiamo che fare una combinazione lineare di vettori significa sommare tra loro due vettori moltiplicati per dei coefficienti scalari, cioè fare una cosa del tipo
𝑣⃗ = 𝛼𝑢⃗⃗ + 𝛽𝑤⃗⃗⃗ .
I vettori della matrice che risultano tra loro indipendenti sono quelli che formano le righe o le colonne.
Per calcolare il rango di una matrice si deve calcolare il suo determinante.
Il rango della matrice è l’ordine massimo delle sottomatrici quadrate con determinante diverso da zero, o meglio, è il numero di righe o colonne da cui è composto il minore di ordine massimo non singolare.
Teorema degli orlati
Per il teorema degli orlati, se parto da un minore non singolare (cioè con determinante non nullo), per essere certo che quel minore mi dia il rango della matrice, devo orlarlo in tutti i modi possibili, verificando se gli orlati hanno determinante nullo oppure no.
Se tutti gli orlati hanno determinante nullo, allora il rango della matrice è l’ordine del mio minore non singolare da cui sono partito; se invece ce n’è uno con determinante diverso da zero, allora la matrice ha sicuramente rango superiore.
Teorema di Rouché-Capelli
Un sistema lineare è risolubile (compatibile) se e solo se rg 𝐴 = rg(𝐴|𝑏⃗⃗) ,
dove 𝐴 è la matrice dei coefficienti del sistema e 𝑏⃗⃗ è la colonna dei termini noti.
Questa condizione significa che la colonna dei termini noti deve essere combinazione lineare dei vettori colonna che formano la matrice 𝐴 dei coefficienti.
Il numero di soluzioni di un sistema compatibile è
∞𝑛−𝑟 ,
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dove 𝑛 è il numero di incognite e 𝑟 è il rango comune rg 𝐴 = rg(𝐴|𝑏⃗⃗).
Per convenzione ∞0 significa che il sistema ammette una e una sola soluzione.
Se il sistema ammette ∞0 soluzioni, si dice determinato; se ne ammette ∞1, ∞2, ∞3 o sempre di più, si dice indeterminato. Se poi il sistema non è risolubile, si dice impossibile.
Ortogonalità
Due vettori si dicono ortogonali se hanno prodotto scalare nullo.
Questo significa che il loro prodotto riga per colonna dev’essere zero, o anche che la somma dei prodotti delle componenti dev’essere nulla.
