F = F = − kx
20
2
2
+ x =
dt x
d
m
= k
2dove Energia dell’oscillatore armonico unidimensionale
) (
)
( t = Asen t +
x v( ) dx t ( ) cos( )
t A t
dt
= = +
la soluzione è una funzione armonica del tipo per cui
( )
1
2( ) 2 v
E t
c= m t
1
2( ) 2 ( ) E t
p= kx t
2 2 2
1
2 mA cos ( t )
= +
2 2
1
2 kA sen ( t )
= +
la forza elastica è conservativa dunque l’ energia meccanica durante il moto
sara’ costante
2
m c p
E = E + E
l’energia meccanica e’:
in assenza di forze dissipative l’energia meccanica dell’oscillatore armonico e’
2 2
1
M
2
E = m A
→ una costante del moto e vale
2 2 2
1 1
2
kA
2m A cost
= = =
k
= m
con
Valor medio durante un periodo
il valore medio di una funzione in un intervallo [x1,x2] e’
la media su di un periodo della funzione seno ( coseno) e’ zero
2 0
1
2 sen d
2
2 1 1
1 x ( )
m x
f f x dx
x x
= −
2 0
1
2
( cos )
0
= − =
-1.000-0.500 0.000 0.500 1.000
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
f(x) = sin(q)
la media su di un periodo della funzione seno al quadrato ( coseno al quadrato ) vale 1/2
0.000 0.500 1.000
0 40 80 120 160 200 240 280 320 360
f(x) = sin2(q)
2 1
( cos )
sen d = 2 − sen + C
2 0
1 1
sen d
2
=
0 21 1
cos
d2
=
e
2 1
cos ( cos )
d 2 sen C
= + +
4
