5 = 1 55 { 1,3,5,7,9,11 , ... }

VERIFICA DI MATEMATICA – 1^F Liceo Sportivo – 11 dicembre 2017 Rispondere su un foglio protocollo motivando dettagliatamente ogni risposta

e riconsegnare insieme al testo originale entro il 18 dicembre 2017

NOME E COGNOME _____________________________________________________________

1

Rappresenta i seguenti numeri su una retta orientata, scegliendo autonomamente una opportuna unità di misura.

a

0

^b

1

^c

1 2

d

− 5 18

e

2 3

f

− 1 6

g

− 7 9

h

23 18

2

Semplificare la seguente espressione, eseguendo le operazioni e scrivendo il risultato in notazione scientifica.

3600000

²

× 0,00125 150000×0,002

³

−0,0002

3

Individua le proprietà caratteristiche dei seguenti insiemi, dandone poi una rappresentazione intensiva.

a

{1,3 ,5 ,7,9 ,11 , ...}

b

{1,8 ,27 ,64,125 , ...}

c

{1, 1 2 , 1

3 , 1 4 , 1

5 , 1

6 , ...}

^d

{1,2 ,3 ,5,8 ,13,21 ,34 ,55 , ...}

4

Scrivere i seguenti numeri in notazione scientifica, successivamente indicare per ciascuno di loro il relativo ordine di grandezza.

a

6100000

^b

3000000003

^c

0,000000007654321

^d

0,02

5

Rappresenta esattamente sulla retta reale i numeri irrazionali

√ 5

^e

1

√ ⁵

. Illustra dettagliatamente il tuo metodo.

Suggerimento: a

√ ⁵

ci arriviamo costruendo un rettangolo di lati

√ ²

^e

√ ³

e usando il teorema di Pitagora. Nell'altro caso invece tenete presente che

1

√ ^{5 =}

√ 5

5

e che alle medie qualcuno vi ha forse parlato del teorema di Talete.

VALUTAZIONE

Argomenti: ripasso sui numeri razionali e la loro rappresentazione in forma di frazione, notazione scientifica e ordine di grandezza, priorità tra le operazioni nel calcolo di espressioni aritmetiche, teoria degli insiemi, rappresentazione per proprietà caratteristica, casi particolari di rappresentazioni di numeri irrazionali sulla retta orientata.

Valutazione delle risposte.

2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara e leggibile.

1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione.

1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.

1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.

1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.

1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.

0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.

0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto.

0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi.

0,2 punti: risposta mancante, o insensata o slegata dal contesto.

I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http://www.lacella.it/profcecchi BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it

Pagina facebook https://www.facebook.com/profcecchi

1

Rappresenta i seguenti numeri su una retta orientata, scegliendo autonomamente una opportuna unità di misura.

a

0

^b

1

^c

1 2

d

− 5 18

e

2 3

f

− 1 6

g

− 7 9

h

23 18

La scelta che propongo è con un'unità di misura di 18 quadretti. Andrebbero bene anche tutti i multipli di 18 ma il disegno risulterebbe troppo grande e non basterebbe il foglio del quaderno. È accettabile anche una scelta dell'unità di misura di 9 quadretti. Tutte le altre scelte risulterebbero eccessivamente approssimative e con un risultato poco visibile.

2

Semplificare la seguente espressione, eseguendo le operazioni e scrivendo il risultato in notazione scientifica.

3600000

²

× 0,00125 150000×0,002

³

−0,0002

In questa situazione è più conveniente convertire tutti i numeri coinvolti in notazione scientifica e poi passare ai calcoli cercando di sfruttare al meglio le proprietà delle potenze.

3600000

²

× 0,00125

150000×0,002

³

−0,0002 = (3,6×10

⁶

)

²

×(1,25×10

⁻³

)

(1,5×10

⁵

)×(2×10

⁻³

)

³

−( 2×10

⁻⁴

) = 12,96×10

¹²

×1,25×10

⁻³

1,5×10

⁵

×8×10

⁻⁹

−(2×10

⁻⁴

) =...

...= 16,2×10

⁹

12×10

⁻⁴

−(2×10

⁻⁴

) = 16,2×10

⁹

10×10

⁻⁴

= 16,2×10

⁹

10

⁻³

=16,2×10

¹²

=1,62×10

¹³

3

Individua le proprietà caratteristiche dei seguenti insiemi, dandone poi una rappresentazione intensiva.

a

{1,3 ,5 ,7,9 ,11 , ...}

b

{1,8 ,27 ,64,125 , ...}

c

{1, 1 2 , 1

3 , 1 4 , 1

5 , 1 6 , ...}

d

{1,2 ,3 ,5,8 ,13,21 ,34 ,55 , ...}

a

{ 1,3 ,5 ,7,9 ,11 , ...}

Si tratta dell'insieme dei numeri dispari. La definizione di numero dispari ha senso nel contesto dei numeri naturali o anche nei numeri interi, quindi è altrettanto accettabile la scelta di uno o dell'altro insieme universo (visto che nella domanda non è specificato). Nel caso si scegliesse l'insieme degli interi come insieme universo dovremo anche interpretare l'insieme da descrivere come quello dei numeri dispari positivi. Per evitare pasticci meglio tenersi dentro l'insieme dei naturali.

Per descrivere i numeri dispari, ovvero i numeri non divisibili per 2, è ormai prassi consolidata scriverli nella forma

2 n+1

ma è altrettanto accettabile la scrittura

2 n−1

. Ovviamente, la scrittura completa dovrà essere coerente.

{1,3 ,5 ,7,9 ,11 , ...}={n∈N∣n=2 k +1, k ∈N }

Risposte alternative:

{ 1,3 ,5 ,7,9 ,11 , ...}={n∈N∣n=2 k −1, k ∈N , k ≥1}

{1,3 ,5 ,7,9 ,11 , ...}={n∈Z∣n=2 k +1, k ∈Z , k≥0}

b

{ 1,8 ,27 ,64,125 , ...}

Sembrano proprio i cubi dei numeri naturali (o interi positivi).

{1,8 ,27 ,64,125 , ...}={n∈N∣n=k

^3,

k ∈N , k ≥1}

Risposta alternativa

{1,8 ,27 ,64,125 , ...}={n∈Z∣n=k

^3,

k ∈Z , k≥1}

c

{ 1, 1 2 , 1

3 , 1 4 , 1

5 , 1

6 , ...}

Adesso l'insieme universo è necessariamente quello dei numeri razionali, o volendo anche quello dei reali, ma non c'è motivo per chiamare in causa i numeri reali.

{1, 1 2 , 1

3 , 1 4 , 1

5 , 1

6 , ...}={x ∈Q∣x= 1

k , k ∈N , k≥1}

Risposta alternativa

{1, 1 2 , 1

3 , 1 4 , 1

5 , 1

6 , ...}={x ∈Q∣x= 1

k , k ∈Z , k ≥1}

d

{1,2 ,3 ,5,8 ,13,21 ,34 ,55 , ...}

In questo caso può essere difficile individuare una proprietà caratteristica, eppure questo insieme si ispira alla famosissima successione di Fibonacci, che ha avuto notorietà grazie anche a romanzi e film thriller.

La proprietà si esprime a partire dal terzo numero, che è la somma dei due precedenti. Da lì in poi ogni numero di questo insieme coincide con la somma dei due precedenti. Per riuscire a scrivere una rappresentazione ci occorre quindi una formula per descrivere la somma (facile) ma anche ordinare gli elementi di questo insieme. In matematica un insieme ordinato si dice “successione”. Nella matematica l'elemento ennesimo di una successione si indica con una scrittura di questo tipo: a_n . Dato che si suppone che gli alunni di una classe prima non sappiamo nulla di successioni, è accettabile una qualsiasi scrittura generica che tenga conto dell'ordine degli elementi.

{1,2 ,3 ,5,8 ,13,21 ,34 ,55 , ...}={a

_n

∈N∣n∈N , a

₀

=1 , a

₁

= 2, a

_n

=a

_n−1

+a

_n−2

}

Si noti che per quanto riguarda i primi due elementi sono stato costretto ad elencarli comunque.

4

Scrivere i seguenti numeri in notazione scientifica, successivamente indicare per ciascuno di loro il relativo ordine di grandezza.

a

6100000

^b

3000000003

^c

0,000000007654321

^d

0,02

a

6100000=6,1×10

⁶

ODG

10

⁷

b

3000000003=3,000000003×10

⁹

ODG

10

⁹

c

0,000000007654321=7,654321×10

⁻⁹

ODG 10⁻⁸ d

0,02=2×10

⁻²

ODG

10

⁻²

5

Rappresenta esattamente sulla retta reale i numeri irrazionali

√ 5

^{e 1}

√

⁵ . Illustra dettagliatamente il tuo metodo.

Suggerimento: a

√ ⁵

ci arriviamo costruendo un rettangolo di lati

√ ²

^e

√ ³

e usando il teorema di Pitagora.

Nell'altro caso invece tenete presente che

1

√ ^{5 =}

√ 5

5

e che alle medie qualcuno vi ha forse parlato del teorema di Talete.

Seguiamo il suggerimento e costruiamo un rettangolo di lati √ ^{2 e} √ 3 . Per farlo riprendiamo la costruzione già vista nel precedente compito.

Una volta ottenuta √ 2 in verticale disegniamo le parallele e completiamo il rettangolo. Abbiamo

così ottenuto un rettangolo di lati di lati √ ^{2 e} √ 3 la cui diagonale, per il teorema di Pitagora, è

lunga √ ^{( √ 2)}

²

^{+( √ 3)}

²

^{= √ 2+3= √ 5}

Come possiamo riuscire a rappresentare esattamente il numero 1

√ 5 ?

La situazione è sempre più difficile, ma fortunatamente anche per questo possiamo utilizzare dei suggerimenti. Il primo prezioso suggerimento è che 1

√ ^{5 =}

1× √ 5

√ ^5× √ ^{5 =}

√ 5 5 . Dunque ci “basterebbe” dividere il segmento lungo √ 5 in cinque parti uguali!

Grazie, ma come?

Ci viene in soccorso il teorema di Talete [MultiMath.Blu Geometria, pag.300]

[ Matematica.azzurro vol.1 pag. G119 ] o quanto meno una sua applicazione, piuttosto intuitiva.

Vado a prendere la distanza 1 sul lato verticale, e la divido in cinque parti uguali. Poi unisco il punto dove si trova 1 sulla verticale con quello dove si trova √ 5 sulla retta orizzontale. Poi faccio partire le parallele al segmento che abbiamo ottenuto per le frazioni 1 sulla retta verticale. Fra le conseguenze del teorema di Talete c'è anche quella che ci assicura che così facendo anche √ _{5 è}

stato diviso in cinque parti uguali: cinque piccoli segmenti lunghi

¹

√

5