A) meccanica
Una sbarra omogenea di lunghezza l, larghezza trascurabile e massa M è appesa verticalmente ad un’estremità mediante un perno attorno a cui puo` ruotare. Contro l’estremita` libera della sbarra viene scagliato un corpo che nell’urto le comunica un impulso I orizzontale (supposto noto).
a) Determinare il momento dell’impulso J, rispetto al punto di sospensione, in funzione di I;
b) detto H il momento d’inerzia della sbarra rispetto al baricentro, determinare la velocità angolare della sbarra immediatamente dopo l’urto.
Soluzione
a) Detta F la forza impulsiva dovuta al corpo, il momento dell’impulso, calcolato rispetto al punto di sospensione, è dato da
I l dt F l dt F l
J
×
=
×
=
×
=
∫ ∫
Il penultimo passaggio è giustificato dal fatto che nell’urto il vettore l praticamente non varia. D’altra parte l× F =τè il momento delle forze calcolato rispetto al punto di sospensione.
b) Per la seconda equazione cardinale,
dt L d
=
τ ove L è il momento angolare, pure calcolato rispetto al punto di sospensione. Ne segue
f i
f L L
L L d dt I
l
J
=
−
=
=
=
×
=
∫
τ∫
L’ultima eguaglianza segue dal fatto che inizialmente la sbarra è ferma.
Passando alle proiezioni, abbiamo
f
f H
L lI
J = = = *ω
Ove H* è il momento d’inerzia rispetto al punto di sospensione. Per il teorema di Hyugens-Steiner possiamo esprimerlo come
2 4
* H Ml
H = + Infine la velocità angolare cercata è
2 4 Ml H
lI
f = +
ω
B) gravitazione
a) Si calcoli la velocità di fuga di un’astronave che parte dalla superficie terrestre, (supponendo trascurabile la massa m dell’astronave rispetto a quella terrestre e che non vi siano altri corpi celesti all’infuori della Terra).
b) Si ripeta il calcolo nel caso l’astronave parta dalla superficie della Luna, supponendo che non vi siano altri corpi celesti all’infuori della Luna (neppure la Terra)
c) si ripeta il calcolo nel caso l’astronave parta dalla superficie della Luna, nella posizione indicata in figura, supponendo che siano presenti solo la Terra e la Luna.
terra
luna
Distanza Terra-Luna D=3.84x10
5km
R
T=6370 km M
T=5.98x10
24kg
R
L=1738 km M
L=7.35x10
22kg
astronave
Costante di gravitazione G=6.67x10
-11m
3/(kg.s
2)
Soluzione
a) usando la conservazione dell’energia meccanica, possiamo uguagliare l’energia dell’astronave sulla superficie terrestre con quella che assumerebbe all’infinito:
f f f
i i
i K U E K U
E = + = = +
Ove 2
2 1
i
i mv
K = ;
T T
i R
GmM
U = ; Kf =0 corrisponde alla minima energia cinetica che consente di sfuggire alla forza di gravita` della terra; Uf = 0 è il potenziale della terra all’infinito. Abbiamo dunque
2 0
1 2 + =
T T
i R
GmM mv
Da cui km s R
v GM
T T
i 11.2 /
10 37 . 6
10 98 . 5 10 67 . 26
2 6
24
11 =
⋅
⋅
⋅
= ⋅
= −
b) nel caso della luna, avremo similmente
s R km
v GM
L L
i 2.38 /
10 74 . 1
10 35 . 7 10 67 . 26
2 6
22 11
⋅ =
⋅
⋅
= ⋅
= −
c)in questo caso l’equazione di conservazione dell’energia è 2 0
1 2 + + =
L L
T T
i R
GmM d
GmM mv
Ove dT = D−RL è la distanza dell’astronave dalla terra. Ne segue
s km
R M R
D G M v
L L
L T i
/ 78 . 2
10 74 . 1
10 35 . 7 10 74 . 1 10 84 . 3
10 98 . 10 5
67 . 6 2
2 6
22
6 8
24 11
=
=
⋅ + ⋅
⋅
−
⋅
⋅ ⋅
⋅
=
+
= − −
C) termodinamica
Un sistema è composto da una massa d’acqua ma e da una massa di rame mr. Nello stato iniziale l’acqua si trova a temperatura ta e il rame a temperatura tr>ta. Si supponga che le temperature siano espresse in gradi Celsius. Si immerge la massa di rame nell’acqua e si attende il raggiungimento dell’equilibrio termico. Si
supponga che la pressione del sistema sia uguale nello stato iniziale e finale.
Trascurando gli scambi di lavoro dovuti alla dilatazione termica, determinare:
a) la temperatura di equilibrio in funzione delle masse, delle temperature e dei calori specifici dell’acqua ca e del rame cr (supposti, per semplicità, indipendenti dalla temperatura);
b) una trasformazione su cui calcolare la variazione di entropia dell’acqua e quella del rame ed eseguire il calcolo, indicando il segno di ciascuna variazione.
c) il segno della variazione di entropia del sistema e giustificare la risposta.
Soluzione
a) la temperatura di equilibrio si determina uguagliando il calore ceduto dal rame a quello acquistato dall’acqua
(
r eq)
a a(
eq a)
r
rc T T m c T T
m − = −
Da cui
a a r r
a a a r r r
eq m c m c
T c m T c T m
+
= +
Anche se non indispensabile, le temperature sono state convertite in kelvin.
b) Partiamo dall’acqua: poiché gli stati iniziale e finale hanno la stessa pressione, immaginiamo una trasformazione isobara e reversibile che li connetta, in cui il calore venga ceduto all’acqua. Ora è indispensabile usare temperature espresse in kelvin. Per la variazione di entropia dell’acqua avremo
0 log >
=
=
=
∆
∫ ∫
a eq a
a T
T a a T
T
a T
c T T m
c dT T m
S Q
eq
a eq
a
δ
La variazione è positiva poiché la temperatura dell’acqua aumenta.
Facendo considerazioni analoghe per la variazione di entropia del rame (nella trasformazione il calore è ora sottratto al rame), avremo
0 log <
=
=
=
∆
∫ ∫
r eq r
r T
T r r T
T
r T
c T T m
c dT T m
S Q
eq
r eq
r
δ
La variazione è negativa poiché la temperatura del rame diminuisce.
c) il sistema acqua+rame compie una trasformazione irreversibile e quindi la sua entropia totale deve aumentare
>0
∆Ssist
D) elettricità
E` data una distribuzione di carica uniforme positiva compresa tra due cilindri indefiniti coassiali di raggio a e b (in Fig. 1 ne è rappresentata una sezione trasversale):
( )
< <= altrove b r r a
. ...
0
...
ρ ρ
b a
b a
Fig. 1 Fig. 2
a) Determinare il campo elettrico nelle tre regioni dello spazio individuate dalla coppia di cilindri.
b) Se i cilindri non fossero coassiali (Fig. 2), si potrebbe comunque concludere che il campo all’interno del cilindro piu` piccolo ha lo stesso valore del caso precedente? Giustificare la risposta.
Soluzione
a) Dato che il problema ha simmetria azimutale e traslazionale, e` possibile trovare superfici su cui il campo e` uniforme. Dalla conoscenza del flusso (calcolato con la legge di Gauss) è possibile allora risalire al valore del campo. Come superficie di Gauss scegliamo un cilindro di raggio r e altezza L coassiale ai cilindri indefiniti
( )
E = E( )
r 2πrL=Q( )
r ε0 ΦPer r<a la carica contenuta nella superficie di Gauss è nulla, quindi anche il campo è quivi nullo.
Per a<r<b la carica contenuta è
( )
r V( )
r(
r a)
LQ = ρ = ρπ 2 − 2 Per r>b la carica contenuta è indipendente da r
( )
r V( )
b(
b a)
LQ = ρ = ρπ 2 − 2 Il campo elettrico vale dunque
( )
− <
<
− <
<
=
r r b
a b
b r r a
a r
a r r
E
...
2
...
2
...
...
...
0
2 2
0
2 2
0
ε ρ ε ρ
c)questa conclusione non è valida poiché il sistema non è simmetrico. Non e`
dunque possibile trovare una superficie su cui il campo sia uniforme e su cui
calcolare il flusso estraendo il campo dall’integrale. E` ben vero che il flusso su un cilindro di Gauss coassiale al cilindro piu` piccolo e` ancora nullo, ma
dall’annullarsi del flusso non si puo` dedurre che il campo e` nullo.
E` ovviamente possibile calcolare il campo usando il principio di sovrapposizione;
si puo` considerare il sistema equivalente ad un cilindro di raggio b con densita` di carica positiva ed un cilindro di raggio a con densita` di carica uguale in modulo ma negativa.
E) magnetismo
Un solenoide toroidale, formato da N spire rettangolari, è posto attorno ad un filo rettilineo indefinito percorso da una corrente i, in modo che l’asse del toro coincida con il filo. Siano a e b i raggi interno ed esterno del toro e H la sua altezza.
a) Determinare il flusso del campo magnetico attraverso una spira del solenoide.
b) Determinare il flusso totale del campo magnetico attraverso tutte le spire del solenoide.
Soluzione
a)Il flusso è dato da Φ
( )
=∫
⋅S
a d B
B
ove S è una superficie che ha la spira come bordo. Possiamo scegliere S piana, cioe` il rettangolo definito dalla spira. Il campo è puramente azimutale e del tipo Biot-Savart. Orientando la superficie parallelamente al campo, abbiamo
( )
aiH b r
iH dr r Hdr
Bda i B
b
a S
spira log
2 2
2
0 0
0
π µ π
µ π
µ = =
=
=
Φ
∫ ∫ ∫
b)Il flusso attraverso tutte le spire è la somma dei flussi sulle singole spire. Poiché questi flussi sono tutti uguali (per la simmetria azimutale del problema), il flusso totale sara` N volte quello di una spira
( )
aiH b N
sol B log
2
0
π
= µ Φ
b
a i
H
