Trigonometria terrestre
1 Trigonometria “terrestre”
1.1 Es.1
Trovare la lunghezza del parallelo terrestre alla latitudine α = 14.2o. Utiliz- zare per il raggio della terra il valore RT = 6378 km.
Attenzione: la convenzione comune per le coordinate sferiche `e di pren- dere l’angolo polare θ rispetto all’asse di rotazione z; la latitudine `e invece definita rispetto al piano equatoriale.
Soluzione:
L = 2πRT cos θ = 3.88 · 104km 1.2 Es.2
Dati due punti di coordinate sferiche P1 ≡ (φ1, θ1), P2 ≡ (φ2, θ2), deter- minare la loro distanza sulla superficie terrestre assunta sferica.
Chiamando ~r1 e ~r2 i raggi vettori dei due punti, sappiamo che |~r1| =
|~r2| = RT ' 6400 km. Di conseguenza la distanza fra i due punti e’ data da:
d = RT · β (1)
dove β e’ l’angolo formato fra i due vettori. Quindi il problema diventa:
come si puo’ scrivere l’angolo β fra due vettori conoscendo le loro coordinate sferiche?
Soluzione 1 Le coordinate cartesiane (x, y, z) dei due punti si ottengono dalla relazione fra coordinate sferiche e cartesiane:
x = R sin θ cos φ y = R sin θ sin φ z = R cos θ
(2)
La distanza cartesiana d fra i due punti `e:
d2 = (x1− x2)2+ (y1− y2)2+ (z1− z2)2
= R2T(sin θ1cos φ1− sin θ2cos φ2) + . . .
= 2R2T(1 − sinθ1sin θ2cos(φ1− φ2) − cos θ1cos θ2)
(3)
1
Considerando il triangolo rettangolo OM P1, con M =punto medio del seg- mento P1P2, l’angolo β `e dato da:
sinβ 2 = d
2RT
=
r1 − sinθ1sin θ2cos(φ1− φ2) − cos θ1cos θ2
2 (4)
Ricordando la relazione trigonometrica:
sinβ 2 =
r1 − cos β
2 (5)
(l’angolo β `e definito nell’intervallo [0, π], per cui il seno `e sempre positivo) si ricava:
cos β = sin θ1sin θ2cos(φ1− φ2) + cos θ1cos θ2 (6)
Soluzione 2 Un procedimento pi`u semplice si ottiene sfruttando il prodotto scalare fra i vettori:
~r1· ~r2 = R2Tcos β (7) Possiamo scrivere il prodotto scalare anche nel modo seguente:
~r1·~r2 = r1sin θ1cos φ1r2sin θ2cos φ2+r1sin θ1sin φ1r2sin θ2sin φ2+r1cos θ1r2cos θ2 (8) Confrontando le ultime due equazioni, essendo r1 = r2 = RT:
cos β = sin θ1sin θ2(cos φ1cos φ2+ sin φ1sin φ2) + cos θ1cos θ2 (9) Si trova la stessa soluzione della risposta precedente. Come sottolineato nel problema precedente, fare attenzione al fatto che se fosse data la lati- tudine, invece dell’angolo polare θ, nella soluzione avremmo trovato cos θ al posto di sin θ e viceversa.
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