Esercizio (tratto dal problema 6.14 del Mazzoldi)

Esercizio

Due dischi rigidi di masse m1 = 5 kg e m2 = 20 kg e raggi R1 = 10 cm e R2 = 20 cm sono con- nessi da una cinghia indeformabile, che segue il movimento rotatorio dei dischi senza slittare. All’asse del primo disco `e connesso un motore che pu`o fornire un momento costanteM_mot= 8N m (diretto nel verso uscente dal foglio), mentre sull’asse del secondo disco agisce un momento frenante costante di modulo M_fr= 7 N m. Al tempot = 0 il motore comincia ad agire facendo ruotare il primo disco.

R₁

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R₂

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Calcolare:

1. la velocit`a angolare del secondo disco all’istante t = 5 s;

2. il lavoro fornito dal motore fino a tale istante.

SOLUZIONE DATI NOTI:

m1= 5 kg;

m₂= 20 kg;

R1 = 0.1 m;

R2 = 0.2 m;

M_mot= 8N m;

Mfr= 7 N m

• La cinghia esercita tensioni uguali ed opposte sui dischi, cercando di ’trattenere’ la rotazione del disco 1 dettata dal motore, e ponendo invece in rotazione il disco 2.

T ~

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T ~

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~r

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~r

1

2

Figure 1: Le tensioni della cinghia.

• Scriviamo ora le seconde equazioni cardinali della dinamica del corpo rigido per ciascun disco, d~Li

dt = ~M_i^ext i = 1, 2 (1)

tenendo conto che ciascun disco ruota attorno ad un asse fisso.

1. disco 1:

– Momenti delle forze:

Dal testo sappiamo che sul disco 1 agisce il momento ~M_motdel motore, che `e diretto nel verso uscente dal foglio e che fa dunque ruotare il disco in senso anti-orario. Tuttavia, sul disco 1 agisce anche il momento dovuto alla tensione. Quest’ultimo si calcola trasportando parallelamente il vettore tensione ~T applicato al disco 1 in modo da farne coincidere la coda con quella del vettore ~r1 del punto di applicazione [vedi Fig.1] e applicando la regola della mano destra al prodotto vettoriale ~r1 × ~T , ottenendo un momento diretto nel verso entrante nel foglio. Pertanto, indicando

ˆk = versore uscente dal foglio

il momento esterno totale agente sul disco 1 `e M~₁^ext = M~_mot+~r₁× ~T =

= M_motk − |~rˆ ₁× ~T | ˆk =

= M_motk − |~rˆ ₁|

|{z}

R1

| ~T |

|{z}

T

sinπ 2

| {z }

=1

k =ˆ

= (M_mot− R₁T ) ˆk (2)

– Momento angolare:

Dato che l’asse di rotazione `e anche un asse di simmetria del disco (il disco `e omogeneo e simmetrico rispetto al suo centro, e l’asse di rotazione passa proprio per il suo centro) il momento angolare ~L₁ del disco 1 `e parallelo al vettore velocit`a angolare

L~1 =I1~ω1 =I1ω1kˆ (3)

dove

I1 = 1

2m1R²₁ (4)

`e il momento d’inerzia del disco rispetto all’asse passante per il suo centro e perpendi- colare al suo piano.

– Seconda equazione cardinale:

d~L₁

dt = M~₁^ext

⇓ I₁dω₁

dt ˆk = (M_mot− R₁T ) ˆk Moltiplicando scalarmente per ˆk entrambi i membri si ottiene

I1α1 = (Mmot− R1T ) (5)

2. disco 2:

– Momenti delle forze:

Sul disco 2 agisce il momento dovuto alla tensione della cinghia che `e diretto nel verso uscente dal foglio, come si vede trasportando parallelamente il vettore tensione ~T ap- plicato al disco 2 in modo che abbia la coda coincidente con quella del vettore~r<sub>2</sub> del punto di applicazione [vedi Fig.1] e applicando la regola della mano destra al prodotto vettoriale ~r2× ~T . Inoltre sul disco 2 agisce anche il momento ~M<sub>fr</sub> delle forze frenanti che, opponendosi alla rotazione anti-oraria del disco, `e diretto nel verso entrante al foglio. Pertanto, tenendo conto che ˆk denota sempre il versore uscente dal foglio, il momento esterno totale agente sul disco 2 `e

M~₂^ext = ~r₂× ~T + ~M_fr=

= +|~r2× ~T | ˆk − M_frk =ˆ

= |~r₂|

|{z}

R2

| ~T |

|{z}

T

sinπ 2

| {z }

=1

ˆk − M_frk =ˆ

= (R₂T − M_fr) ˆk (6)

– Momento angolare:

Anche per il disco 2, dato che l’asse di rotazione `e anche un asse di simmetria del disco, il momento angolare ~L2 `e parallelo al vettore velocit`a angolare~ω2

L~2 =I2~ω2 =I2ω2kˆ (7)

dove

I2 = 1

2m2R²₂ (8)

`e il momento d’inerzia del disco rispetto all’asse passante per il suo centro e perpendi- colare al suo piano.

– Seconda equazione cardinale:

d~L2

dt = M~₂^ext

⇓ I₂dω₂

dt ˆk = (R₂T − M_fr) ˆk Moltiplicando scalarmente per ˆk entrambi i membri si ottiene

I2α2 = (R2T − Mfr) (9)

• Dato che la cinghia `e inestensibile e che segue il movimento dei dischi senza slittare, le rotazioni dei due dischi sono legate l’una all’altra. Infatti, se in un intervallo di tempo dt un trattino di cinghia R₁dθ₁ avanza seguendo la rotazione del primo disco, nello stesso intervallo di tempo un pari tratto di cinghia R₂dθ₂ deve avanzare seguendo la rotazione del secondo disco

R

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R

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R1d✓1

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R2d✓2

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R1dθ1 = R2dθ2

⇓ [divido perdt] (10)

R1

dθ1

dt = R2

dθ2

dt Pertanto

R₁ω₁(t) = R₂ω₂(t) ∀t (11)

Dato che ci`o vale istante per istante, derivando rispetto al tempo, ne segue anche che

R₁α₁(t) = R₂α₂(t) ∀t (12)

• Combinando le Eq.(5), (9) e (12) otteniamo







I₁α₁ = M_mot− R₁T I2α2 = R2T − Mfr

R1α1 = R2α2

(13)

che `e un sistema di tre equazioni per le tre incogniteα₁,α₂eT . Dalla terza equazione ricaviamo α1 = R2

R1

α2 (14)

che, sostituita nella prima, d`a

I1

R2

R₁α2 = Mmot− R1T

⇓

T = M_mot R1

− I₁R₂

R²₁α₂ (15)

Dalla seconda equazione (13) abbiamo

T = I2

R₂α2+M_fr

R₂ (16)

Confrontando le Eq.(15) e (16) otteniamo Mmot

R₁ − I1

R2

R²₁α2 = I2

R₂α2+M_fr R₂

⇓ (17)

M_mot R₁ −M_fr

R₂ = α₂

 I₁R₂

R²₁ + I₂ R₂



⇓ [moltiplico ambo i membri per R1R2] (18) R₂M_mot− R₁M_fr = α₂

 I₁R²₂

R1

+I₂R₁



⇓ (19)

α2 = R2Mmot− R1Mfr

I1R²₂

R1 +I2R1

(20)

Ricordando l’espressione (4) e (8) dei momenti d’inerzia α₂ = R₂M_mot− R₁M_fr

1

2m₁R₁^2R_R²²

1 + ¹₂m₂R²₂R₁

=

= 2R2Mmot− R1Mfr

(m₁+m₂)R₁R²₂ (21)

Osservazione: Essendo le quantit`a a destra dell”=” dell’Eq.(21) tutte costanti, l’accelerazione angolare α2 `e costante nel tempo. Pertanto il disco ruota con moto circolare uniformemente accelerato.

• Sostituendo i valori, otteniamo

α₂ = 20.2 m · 8 N m − 0.1 m · 7 N m (5 + 20) kg · 0.1 m · (0.2 m)² =

= 2(1.6 − 0.7)^{kg/ m}_s2^/3

25 · 0.004 kg/ m/³=

= 18 s⁻² (22)

• Trattandosi di un moto circolare uniformemente accelerato, e dato che i dischi partono inizial- mente da fermi, la velocit`a angolare del disco 2 varia linearmente nel tempo, ed `e data da

ω2(t) = ω(0)

| {z }

=0

+α2t (23)

Pertanto la velocit`a angolare del secondo disco all’istantet = 5 s vale

ω2(t = 5 s) = 18 s⁻²· 5 s = 90 s⁻¹ (24)

• In virt`u della relazione (14), l’accelerazione angolare del disco 1 vale α1= 0.2 m

0.1 m 18 s⁻² = 36 s⁻² (25)

ed `e dunque anch’essa costante nel tempo. Pertanto anche il disco 1 ruota con moto circolare uniformemente accelerato. La sua legge oraria angolare vale pertanto

θ₁(t) = θ₁(0)

| {z }

=0

+ω₁(0)

| {z }

=0

t + 1

2α₁t² (26)

e dunque all’istante t = 5 s il disco 1 ha spazzato un angolo θ^∗ = θ1(t = 5 s) =

= 1

2α₁(5 s)² =

= 1

2· 36 s⁻²· 25s²=

= 450 (27)

• Il lavoro compiuto dal motore connesso al disco 1 fino all’istante t = 5 s vale Wmot =

Z _θ^∗

0

Mmotdθ =

= [Mmot `e costante]

= Mmot

Z θ^∗ 0

dθ =

= Mmotθ^∗=

= 8 N m450 =

= 3600 J (28)