Esercizio 3 Determinare la tensione

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Esercizio 3

Determinare la tensione v(t) del circuito di figura dove le f.e.m. dei generatori sono:

𝑒₁(𝑡) = 100√2 ∙ 𝑐𝑜𝑠(1000𝑡) 𝑒₂(𝑡) = 100√2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (1000𝑡 +𝜋 2)

Figura 1

Per lo svolgimento dell’esercizio usiamo il metodo simbolico¹. Possiamo scrivere:

𝐸₁

̅̅̅ = 100√2(𝑐𝑜𝑠0 + 𝑗𝑠𝑖𝑛0) = 100√2 𝐸₂

̅̅̅ = 100√2 (𝑐𝑜𝑠𝜋

2+ 𝑗𝑠𝑖𝑛𝜋

2) = 𝑗100√2 Ridisegniamo il circuito inserendo i versi delle tensioni².

Figura 2

Troviamo le reattanze:

𝑋_𝐶 = − 1

𝜔𝐶= − 1

1000 ∙ 50 ∙ 10⁻⁶= −20Ω

1 Vedi http://cmathilde.altervista.org/Elettrotecnica/MetodoSimbolico.pdf

2 Lo facciamo solo per impostare correttamente le equazioni. In regime sinusoidale, infatti, i versi non hanno senso.

2

𝑋_𝐿 = 𝜔𝐿 = 1000 ∙ 10 ∙ 10⁻³= 10Ω

Il circuito è composto da una sola maglia. Inoltre i generatori sono isofrequenziali (tutti e due generano un segnale di pulsazione ω=1000rad/s).Applichiamo il secondo principio di Kirkhhoff e la legge di Ohm generalizzata:

−𝐸̅̅̅ + 𝑅𝐼̅ + 𝑋_{1 𝐿}𝐼̅ + 𝐸̅̅̅ + 𝑋_{2 𝐶}𝐼̅ = 0 𝐸₁

̅̅̅ − 𝐸̅̅̅ = 𝑅𝐼̅ + 𝑋_{2 𝐿}𝐼̅ + 𝑋_𝐶𝐼̅

Determiniamo la corrente:

𝐼̅ = 𝐸̅̅̅ − 𝐸₁ ̅̅̅₂

𝑅 + 𝑗𝑋_𝐿+ 𝑗𝑋_𝐶 = 100√2 − 𝑗100√2

10 + 𝑗10 − 𝑗20 𝐴 =100√2(1 − 𝑗)

10(1 − 𝑗) = 10√2𝐴 La tensione richiesta è data da:

𝑉̅ = 𝑉̅ + 𝐸_𝐿 ̅̅̅ ₂

𝑉̅ = 𝑋_𝐿𝐼̅ + 𝐸̅̅̅ = 𝑗10 ∙ 10√2 + 𝑗100√2 = 𝑗200√2 ₂ Diagramma vettoriale:

Figura 3

Avremmo potuto procedere anche nel seguente modo:

𝑉̅ = −𝑋_𝐶𝐼̅ + 𝐸̅̅̅ − 𝑅𝐼̅ = 𝑗20 ∙ 10√2 + 100√2 − 10 ∙ 10√2 = 𝑗200√2 ₁ Diagramma vettoriale:

Figura 4

Determiniamo il modulo:

|𝑉̅| = 200√2

3 E la fase:

𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝐼𝑚(𝑉̅)

𝑅𝑒(𝑉̅)= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔200√2

0 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(+∞) =𝜋 2 Scriviamo l’espressione nel dominio del tempo:

𝑣(𝑡) = 200√2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (1000𝑡 +𝜋 2)

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Matilde Consales