Simmetria e Teoria dei Gruppi
Riduzione Rappresentazioni
Una matrice diagonale a blocchi è una matrice quadrata che ha blocchi quadrati sulla diagonale e i cui altri blocchi contengono solo zeri:
Una matrice diagonale a blocchi può essere scomposta nella somma diretta dei blocchi che la compongono:
A = A11 + A22 + … Ann
In un gruppo, il numero delle rappresentazioni irriducibili è pari al numero delle classi
Ogni matrice rappresentativa può essere ricondotta ad una matrice a blocchi e scomposta in matrici di dimensione 1, 2 o 3. L’insieme delle matrici ridotte delle singole operazioni costituisce una rappresentazione irriducibile del gruppo.
Simmetria e Teoria dei Gruppi
Tavole dei Caratteri
G
(3)= G
(1)+ G
(2)G
(2)= G
(1)+ G
(1)Tavola dei caratteri
L’elenco dei caratteri di tutte le possibili rappresentazioni irriducibili del gruppo
A (+1); B(-1) monodimensionali
E bidimensionali
T tridimensionali
n° rappresentazioni irriducibili = n° classi
Gli indici 1 e 2 indicano un comportamento simmetrico (1) o antisimmetrico (2) rispetto ad un altro elemento di simmetria: C2┴ Cn o σv
Simboli di Mulliken
D(E) D(C2) D(σv) D(σ’v)
1 -1 1 -1
D(E) D(C2) D(σv) D(σ’v)
1 1 -1 -1
In ogni classe la somma di χ2 per il numero di operazioni = h
Simmetria e Teoria dei Gruppi
Tavole dei Caratteri
Simmetria e Teoria dei Gruppi
Tavole dei Caratteri
Simmetria e Teoria dei Gruppi
Tavole dei Caratteri
Simmetria e Teoria dei Gruppi
Tavole dei Caratteri
Simmetria e Teoria dei Gruppi
Tavole dei Caratteri
PtCl42-
C2’, σv
y x
C2’, σv
C2’’, σd C2’’, σd
g gerade (pari)
u ungerade (dispari)
D(E) =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
D(σ’v(xz)) =
1 0
0
0 1 0
0 0
1
D(σv(yz)) =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
D(C2) =
- 1 0 0 0 - 1 0 0 0 1 é
ë ê ê ê
ù û ú ú ú
Simmetria e Teoria dei Gruppi
Tavole dei Caratteri
χ = 3 χ = -1
χ = 1
D(E) D(C2) D(σv) D(σ’v)
3 -1 1 1
c
χ = 1
D(E) D(C2) D(σv) D(σ’v)
1 -1 -1 1
1 -1 1 -1
1 1 1 1
f = x, y, z
_______________________
3 -1 1 1
c
f = x, y, z
D(E) =
1 0
0
0 1
0
0 0
1
D(σxy) =
1 0
0
0 1
0
0 0
1
D(σxz) =
1 0
0
0 1
0
0 0
1
D(σyz) =
1 0
0
0 1
0
0 0
1
D(i) =
1 0
0
0 1
0
0 0
1
Simmetria e Teoria dei Gruppi
Tavole dei Caratteri
χ = 3 χ = -3
χ = 1
y
x
f = x, y, z
D(Cn) =
1 0
0
0 cos
0 cos
sen
sen
θ = 2π/n
y
x
θ
θ
x = x' cosθ – y' senθ y = x' senθ + y' cosθ D(Sn) =
1 0
0
0 cos
0 cos
sen
sen
Simmetria e Teoria dei Gruppi
Tavole dei Caratteri
χ = 1 + 2cosθ
χ = -1 + 2cosθ
Simmetria e Teoria dei Gruppi
Rotazione di Coordinate
Simmetria e Teoria dei Gruppi
Rotazione di Coordinate
Simmetria e Teoria dei Gruppi
Applicazioni della Simmetria Molecole Polari
Il vettore momento di dipolo deve rimanere inalterato quando si compiono delle operazioni di simmetria sulla molecola sia per quanto riguarda il modulo che direzione e verso quindi esso deve giacere su tutti gli elementi di simmetria di quest’ultima.
C
n, C
nv, C
sSimmetria e Teoria dei Gruppi
Applicazioni della Simmetria Attività Ottica
Una molecola è dotata di attività ottica se non è
sovrapponibile con la sua immagine speculare (chirale)
Le molecole che non possiedono un asse Sn sono dette dissimetriche
Simmetria e Teoria dei Gruppi
Uso delle Tavole dei Caratteri Integrali di sovrapposizione
= f f d
I 1 2
Il valore dell’integrale di sovrapposizione è indipendente dall’orientazione della molecola e come tale deve rimanere immutato
sotto ogni operazione di simmetria
f
1f
2→ A
1y x
y x
Simmetria e Teoria dei Gruppi
Uso delle Tavole dei Caratteri Integrali di sovrapposizione
f
1= s : 1 1 1 f
2= p
z: 1 1 1 f
1f
2: 1 1 1
) ( )
( )
(
1 2 2 31
A c A c E
c c + c + c
A
1Il prodotto di funzioni può essere scomposto nella somma delle rappresentazioni irriducibili del gruppo ognuna moltiplicata per un opportuno coefficiente
Simmetria e Teoria dei Gruppi
Uso delle Tavole dei Caratteri Integrali di sovrapposizione
f
1= s: 1 1 1 f
2= p
x: 2 -1 0 f
1f
2: 2 -1 0
) ( )
( )
(
1 2 2 31
A c A c E
c c + c + c
Simmetria e Teoria dei Gruppi
Uso delle Tavole dei Caratteri Integrali di sovrapposizione
px
px
+ +
f
1= p
x: 2 -1 0 f
2= p
x: 2 -1 0 f
1f
2: 4 1 0
) (
) (
)
(
1 2 2 31
A c A c E
c c + c + c
A
1+ A
2+ E
Simmetria e Teoria dei Gruppi
Uso delle Tavole dei Caratteri Riduzione di una rappresentazione
] )
( )
( 1 [
)
(
CRR
i R
i
R R n
N G = h c c
Gi Rappresentazione irriducibile
N Numero di volte che Gi è contenuta nella rappresentazione riducibile.
cR Carattere della rappresentazione riducibile Gi sotto l’operazione R-esima
ci Carattere della rappresentazione irriducibile i-esima sotto l’operazione R-esima.
nCR Numero di operazioni di simmetria della classe cui appartiene l’operazione R-esima h Ordine del gruppo
f1: 1 1 1 f2: 2 -1 0 f1f2: 2 -1 0
6 1 ) 6 3 0 0 2 ) 1 ( ) 1 ( 1 2 2 6( ) 1 (
6 0 ) 0 3 ) 1 ( 0 2 1 1 1 1 2 6( ) 1 (
6 0 ) 0 3 1 0 2 1 1 1 1 2 6( ) 1 (
2 1
=
=
+
+
=
=
=
+
=
=
=
+
=
E N
A N
A N
Simmetria e Teoria dei Gruppi
Esercizio
Utilizzando la tavola dei caratteri del gruppo puntuale C2v ridurre la rappresentazione riducibile Γr nella somma delle rappresentazioni irriducibli che la compongono
4 3 ) 12 1 1 3 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 1 9 4( ) 1 (
4 2 ) 8 1 ) 1 ( 3 1 1 1 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 1 9 4 ( ) 1 (
4 1 ) 4 1 ) 1 ( 3 1 ) 1 ( 1 1 1 ) 1 ( 1 1 9 4 ( ) 1 (
4 3 ) 12 1 1 3 1 1 1 1 1 ) 1 ( 1 1 9 4( ) 1 (
2 1 2 1
=
=
+
+
+
=
=
=
+
+
+
=
=
=
+
+
+
=
=
=
+
+
+
=
B N
B N
A N
A N
E C
2σ
v(xz)σ
v(yz)Γ
r9 -1 1 3
Γ
r= 3A
1+ A
2+ 2B
1+ 3B
2] )
( )
( 1 [
)
( CR
R
i R
i R R n
N G = h c c
Utilizzando la formula e la tavola del gruppo C2v ridurre sotto la rappresentazione Γ = 3 -1 1 1
Simmetria e Teoria dei Gruppi
Esercizio
Utilizzando la tavola dei caratteri del gruppo puntuale C2v ridurre la rappresentazione riducibile Γr nella somma delle rappresentazioni irriducibli che la compongono
4 3 ) 12 1 1 3 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 1 9 4( ) 1 (
4 2 ) 8 1 ) 1 ( 3 1 1 1 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 1 9 4 ( ) 1 (
4 1 ) 4 1 ) 1 ( 3 1 ) 1 ( 1 1 1 ) 1 ( 1 1 9 4 ( ) 1 (
4 3 ) 12 1 1 3 1 1 1 1 1 ) 1 ( 1 1 9 4( ) 1 (
2 1 2 1
=
=
+
+
+
=
=
=
+
+
+
=
=
=
+
+
+
=
=
=
+
+
+
=
B N
B N
A N
A N
E C
2σ
v(xz)σ
v(yz)Γ
r9 -1 1 3
Γ
r= 3A
1+ A
2+ 2B
1+ 3B
2Utilizzando la formula e la tavola del gruppo C2v ridurre sotto la rappresentazione Γ = 3 -1 1 1
