Il momento di dipolo elettrico del neutrone

Il momento di dipolo elettrico del neutrone

Negli ultimi decenni si è cercato a lungo di scoprire se il neutrone abbia o meno un momento elettrico di dipolo intrinseco. Fino ad ora si è riusciti solo a porre dei limiti sul suo possibile valore. Per capire come misurare il momento elettrico di dipolo di una particella, affrontiamo il seguente problema.

Partiamo dal momento di dipolo magnetico, e la sua connessione col momento angolare. Prendiamo come esempio l’elettrone. Quantisticamente, le particelle sono enti puntiformi, non hanno un momento

angolare. L’elettrone possiede però uno spin pari ℏ/2.

Classicamente possiamo pensare l’elettrone come una pallina uniformemente carica, di massa 𝑚𝑚 e carica 𝑞𝑞 = −𝑒𝑒.

1. Dimostra che, per un corpo uniformemente carico e a densità uniforme, il momento di dipolo è proporzionale al momento angolare, e trovare la costante di proporzionalità usando la fisica classica

La fisica quantistica ci dice che la previsione classica non è corretta, e ciascuna particella ha un fattore numerico 𝑔𝑔 di correzione di tale rapporto. Per l’elettrone, 𝑔𝑔 = 2, ovvero tale rapporto è il doppio di quello trovato classicamente.

2. Usando questa informazione, trovare quale moto segue classicamente l’elettrone (visto ancora una volta classicamente, ovvero come una pallina che gira su se stessa), una volta posto in un campo magnetico uniforme 𝐵𝐵, e la pulsazione caratteristica 𝜔𝜔 𝐿𝐿 di tale moto. All’istante iniziale campo magnetico e momento angolare formano un angolo 𝜃𝜃.

Per il protone, si può trovare il rapporto usando la stessa espressione trovata prima, usando ovviamente 𝑚𝑚 = 𝑚𝑚 _𝑝𝑝 e 𝑞𝑞 = 𝑒𝑒, a patto di usare un diverso fattore 𝑔𝑔 = 𝑔𝑔 𝑝𝑝 = 5.59. Per il neutrone, si può assumere lo stesso fattore che per il protone (quindi come se avesse 𝑚𝑚 = 𝑚𝑚 𝑝𝑝 e 𝑞𝑞 = 𝑒𝑒!!!), a patto di usare il fattore 𝑔𝑔 _𝑁𝑁 = −3.8.

Per quanto riguarda il momento di dipolo elettrico, supponiamo che abbia valore 𝑑𝑑 𝑁𝑁 e stessa direzione di momento angolare e momento di dipolo magnetico.

3. Trovare il moto (classico) del neutrone, se immerso in un campo magnetico uniforme e costante 𝐵𝐵 e in un campo elettrico uniforme e costante 𝐸𝐸, e la pulsazione caratteristica 𝜔𝜔 𝐿𝐿 di tale moto, nell’ipotesi i due campi abbiano stessa direzione e verso. All’istante iniziale campo magnetico e momento angolare formano un angolo 𝜃𝜃.

4. Quale relazione c’è fra l’energia di un fotone di pulsazione 𝜔𝜔 𝐿𝐿 , e l’energia potenziale classica del neutrone?

5. Ragionando sull’espressione trovata al punto 3, dire come è possibile porre limiti sul valore di 𝑑𝑑 𝑁𝑁 , con la massima precisione possibile

1

L’equazione dell’orbita

Questo è un problema didattico che vuole insegnare l’uso, per i problemi di gravitazione, dell’equazione delle coniche in coordinate polari.

𝑟𝑟(𝜃𝜃) = 𝑙𝑙 1 − 𝜀𝜀 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠𝜃𝜃

Dove 𝑙𝑙, 𝜀𝜀 sono parametri detti semilunare retta ed eccentricità, mentre 𝜃𝜃 è l’angolo formato col vettore che indica il punto di massima distanza dal centro di gravitazione.

1. Usando la tecnica del potenziale efficace, trovate i punti di massima e minima distanza in funzione dell’energia 𝐸𝐸 e del momento angolare 𝐿𝐿 del corpo in orbita

2. Trovate ora il valore del semiasse maggiore dell’orbita in funzione di 𝐸𝐸 ed 𝐿𝐿

Imponete ora che l’equazione sovrastante descriva l’orbita, in particolare potete usarla nei punti di massima e minima distanza.

3. Trovate i valori dei due parametri in funzione di 𝐸𝐸 ed 𝐿𝐿

Consideriamo ora un satellite in un’orbita geostazionaria, a un certo punto questo accende il motore per una frazione di secondo e cambia la sua velocità di una componente ∆𝑣𝑣 = 𝛽𝛽𝑣𝑣. Sono dati 𝑅𝑅 𝑇𝑇 , 𝑇𝑇 𝑇𝑇 , 𝑔𝑔.

4. Nel caso i cui tale componente aggiuntiva sia parallela alla velocità del satellite iniziale, calcolare i nuovi parametri dell’orbita 𝑙𝑙, 𝜀𝜀

5. Nei casi in cui l’orbita è ancora chiusa, trovare le nuove distanza massime e minime dal centro gravitazionale, se l’orbita è aperta, trovare solo la distanza minima

Consideriamo ora il caso in cui tale spinta è invece perpendicolare alla velocità iniziale, nel verso interno 6. Calcolare i nuovi parametri dell’orbita 𝑙𝑙, 𝜀𝜀

7. Per i casi 𝛽𝛽 < 1, calcolare l’angolo fra il semiasse maggiore della nova orbita e la posizione in cui sono stati accesi i motori

8. Trovare, sempre per 𝛽𝛽 < 1, le nuove distanze massime e minime 9. Trovare il periodo della nuova orbita

10. Calcolare il minimo valore di 𝛽𝛽 = 𝛽𝛽 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 affinché la nuova orbita sia aperta, e trovare la distanza minima dal centro in questo caso

Supponi ora 𝛽𝛽 > 𝛽𝛽 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒

11. Trovare la velocità residua che avrà il satellite a distanza infinita (trascura il sole e gli altri pianeti) 12. Trovare il parametro di impatto 𝑏𝑏 del satellite

13. Trovare la deflessione 𝜑𝜑 generata dalla forza di gravita

2

Il potenziale di Einstein

La teoria della relatività Generale è stata a lungo osteggiata e non creduta. Alcuni fenomeni potevano essere trattati con il solo uso della gravità di newton, unita alla relatività speciale, e si pensava che la relatività generale fosse una mero esercizio di stile matematico.

Anche la teoria di newton, unito al fatto che nessun corpo può avere una velocità superiore a 𝑐𝑐, prevedevano che ci potessero essere dei “buchi neri”, da cui la luce non potesse scappare.

1. Considerate un corpo di massa 𝑚𝑚 immerso nel campo gravitazionale generato da un oggetto di massa 𝑀𝑀 ≫ 𝑚𝑚. Trovare il minimo raggio dell’orbita circolare possibile

La teoria della relatività generale prevede un risultato diverso di un fattore 2, dovuto al fatto che le equazione di newton non sono relativistiche, e perciò “perdono” metà dell’effetto, dovuto alla parte

“tempo” delle equazioni. Definiamo perciò 𝑟𝑟 𝑒𝑒 una distanza pari al doppio di quanto trovato al punto 1.

Il potenziale “classico” risultate dalle equazioni di Einstein è 𝑉𝑉(𝑟𝑟) = 𝑚𝑚𝑐𝑐 ²

2 �−

𝑟𝑟 𝑒𝑒

𝑟𝑟 − 𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝐿𝐿 ² 𝑚𝑚 ² 𝑐𝑐 ² 𝑟𝑟 ³ � Dove 𝐿𝐿 è il momento angolare dell’oggetto.

2. Trovare la distribuzione di massa classica che porta a questo potenziale 3. Per quali raggi sono possibili orbite circolari?

4. Discuti la stabilità delle orbite circolari trovate

Il potenziale, per 𝑟𝑟 ≫ 𝑟𝑟 𝑒𝑒 , si comporta come quello newtoniano. Il piccolo effetto del termine aggiuntivo lo si può notare su grandi periodi di tempo, poiché instaura un moto di precessione dell’orbita.

La teoria newtoniana calcolava, come valore dei precessione centenaria dell’orbita di mercurio ∆𝜑𝜑 = 5557.62 ± 0.20′′. Tuttavia il valore misurato era di ∆𝜑𝜑 = 5600.73 ± 0.41′′

La teoria della relatività prediceva

∆𝜑𝜑 = 3𝜋𝜋𝑟𝑟 _𝑒𝑒 𝐴𝐴(1 − 𝜀𝜀 ² )

5. Trovare il valore di precessione per centennio dovuto agli effetti di relatività generale, e dire se questo contributo è o meno conforme a quello della relatività generale, e se è il tassello mancante fra teoria e esperimento. Considerare l’orbita quasi circolare.

La teoria della relatività generale prevedeva anche che la luce venisse deflessa dai campi gravitazionali di un angolo

∆𝜑𝜑 = 2𝑟𝑟 _𝑒𝑒 𝑟𝑟 0

Dove 𝑟𝑟 0 ≪ 𝑟𝑟 _𝑒𝑒 è la minima distanza dell’orbita dal centro di gravità.

Proviamo a trattare la luce in modo classico usando il potenziale dato. Considerare la luce come un piccolo corpo di massa infinitesima.

6. Trovare la deflessione nella teoria kepleriana classica, ovvero dando al fotone una piccola massa 7. Trovare la deflessione dovuta al termine aggiuntivo del potenziale

8. Il risultato trovato è conforme al risultato della relatività generale?

3

Dati di mercurio (semiasse maggiore, eccentricità):

𝐴𝐴 = 57.91 ∙ 10 ⁶ 𝑘𝑘𝑚𝑚, 𝜀𝜀 = 0.2056 Rivoluzioni in 100 anni: 𝑁𝑁 = 415 Dati del sole:

𝑀𝑀 = 1.989 ∙ 10 ³⁰ 𝑘𝑘𝑔𝑔, 𝑅𝑅 = 695500𝑘𝑘𝑚𝑚 Costanti fisiche:

𝐺𝐺 = 6.67 ∙ 10 ⁻¹¹ 𝑚𝑚 ³

𝑘𝑘𝑔𝑔 ∙ 𝑠𝑠 ² , 𝑐𝑐 = 299792458 𝑚𝑚/𝑠𝑠

4

Foglio Risposta: Il momento di dipolo elettrico del neutrone

1. Dimostrazione

2. Moto dell’elettrone 𝐿𝐿�⃑(𝑡𝑡) =

3. Moto del neutrone 𝐿𝐿�⃑(𝑡𝑡) =

4. Relazione

5. Discussione

5

Foglio Risposta: L’equazione dell’orbita

1. Massima e minima distanza

𝑥𝑥 _{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚} = 𝑥𝑥 _{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚} =

2. Semiasse maggiore 𝑎𝑎 =

3. Valore parametri dell’orbita

𝑙𝑙 = 𝜀𝜀 =

4. Nuovi parametri dell’orbita

𝑙𝑙 = 𝜀𝜀 =

5. Nuove distanze minime e massime

𝑥𝑥 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑥𝑥 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =

6. Nuovi parametri dell’orbita

𝑙𝑙 = 𝜀𝜀 =

7. Angolo 𝜃𝜃 =

8. Nuove distanze minime e massime

𝑥𝑥 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑥𝑥 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =

9. Periodo 𝑇𝑇 =

10. Valore di 𝛽𝛽 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒

𝛽𝛽 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 =

11. Velocità residua 𝑣𝑣 _∞ =

12. Parametro di impatto 𝑏𝑏 =

13. Deflessione 𝜑𝜑 =

6

Foglio Risposta: Il potenziale di Einstein

1. Raggio minimo 𝑟𝑟 _{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚} =

2. Distribuzione di massa 𝜌𝜌(𝑟𝑟) =

3. Discussione orbite circolari ammesse

4. Discussione stabilità orbite circolari

5. Precessione centenaria

∆𝜑𝜑 =

7

6. Deflessione Newtoniana

∆𝜑𝜑 =

7. Moto Deflessione col potenziale di Einstein

∆𝜑𝜑 =

8. Discussione

8

Soluzioni

Il momento di dipolo elettrico del neutrone

1. Dimostra che, per un corpo uniformemente carico e a densità uniforme, il momento di dipolo è proporzionale al momento angolare, e trovare la costante di proporzionalità usando la fisica classica

Consideriamo un sistema di coordinate cilindriche, e per semplicità consideriamo un sistema a simmetria cilindrica.

Il momento di inerzia è definito come

𝐼𝐼 = � 𝑑𝑑𝑉𝑉𝜌𝜌 _𝑚𝑚 𝑟𝑟 ² = 2𝜋𝜋 � 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑𝜌𝜌 _𝑚𝑚 𝑟𝑟 ³

Il momento magnetico di una spira di area 𝑆𝑆 percorsa da corrente 𝑖𝑖 è 𝑆𝑆𝑖𝑖, nel nostro caso 𝑆𝑆 = 𝜋𝜋𝑟𝑟 ²

𝑖𝑖 = 𝜌𝜌 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑 1

𝑇𝑇 = 𝜌𝜌 ^𝑒𝑒 𝜔𝜔𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑 Per cui

𝑑𝑑 = � 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑𝜌𝜌 𝑒𝑒 𝜔𝜔𝑟𝑟𝜋𝜋𝑟𝑟 ² = 𝜋𝜋𝜔𝜔 � 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑𝜌𝜌 𝑒𝑒 𝑟𝑟 ³ Se 𝜌𝜌 𝑒𝑒 (𝑟𝑟) = _𝑚𝑚 ^𝑞𝑞 𝜌𝜌 𝑚𝑚 (𝑟𝑟) si ottiene

𝑑𝑑 = � 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑𝜌𝜌 _𝑒𝑒 𝜔𝜔𝑟𝑟𝜋𝜋𝑟𝑟 ² = 𝜋𝜋𝜔𝜔 𝑞𝑞

𝑚𝑚 � 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑𝜌𝜌 ^𝑚𝑚 𝑟𝑟 ³ = 𝜋𝜋𝜔𝜔 𝑞𝑞 𝑚𝑚

𝐼𝐼 2𝜋𝜋 =

𝑞𝑞 2𝑚𝑚 𝜔𝜔𝐼𝐼 =

𝑞𝑞

2𝑚𝑚 𝐿𝐿 = 𝜇𝜇𝐿𝐿

2. Usando questa informazione, trovare quale moto segue classicamente l’elettrone (visto ancora una volta classicamente, ovvero come una pallina che gira su se stessa), una volta posto in un campo magnetico uniforme 𝐵𝐵, e la pulsazione caratteristica 𝜔𝜔 𝐿𝐿 di tale moto. All’istante iniziale campo magnetico e momento angolare formano un angolo 𝜃𝜃.

Il momento torcente dovuto all’interazione fra il dipolo e il campo magnetico è 𝜏𝜏⃑ = 𝑑𝑑⃑ × 𝐵𝐵�⃑

Consideriamo il campo magnetico lungo l'asse 𝑑𝑑, risulta

𝜏𝜏⃑ = 𝑑𝑑𝐿𝐿�⃑

𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝐵𝐵𝑑𝑑 ⃑ × 𝑑𝑑̂ = 𝐵𝐵𝑔𝑔𝜇𝜇𝐿𝐿�⃑ × 𝑑𝑑̂ = −𝐵𝐵𝑔𝑔𝜇𝜇𝑑𝑑̂ × 𝐿𝐿�⃑

Questo tipo di equazione ha come soluzione per 𝐿𝐿�⃑ un moto di precessione di frequenza 𝜔𝜔 𝐿𝐿 = −𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵 = 𝑔𝑔𝑒𝑒

2𝑚𝑚 𝐵𝐵

Per il protone, si può trovare il rapporto usando la stessa espressione trovata prima, usando ovviamente 𝑚𝑚 = 𝑚𝑚 _𝑝𝑝 e 𝑞𝑞 = 𝑒𝑒, a patto di usare un diverso fattore 𝑔𝑔 = 𝑔𝑔 𝑝𝑝 = 5.59. Per il neutrone, si può assumere lo stesso fattore che per il protone (quindi come se avesse 𝑚𝑚 = 𝑚𝑚 𝑝𝑝 e 𝑞𝑞 = 𝑒𝑒!!!), a patto di usare il fattore 𝑔𝑔 𝑁𝑁 = −3.8.

9

Per quanto riguarda il momento di dipolo elettrico, supponiamo che abbia valore 𝑑𝑑 𝑁𝑁 e stessa direzione di momento angolare e momento di dipolo magnetico.

3. Trovare il moto (classico) del neutrone, se immerso in un campo magnetico uniforme e costante 𝐵𝐵 e in un campo elettrico uniforme e costante 𝐸𝐸, e la pulsazione caratteristica 𝜔𝜔 𝐿𝐿 di tale moto, nell’ipotesi i due campi abbiano stessa direzione e verso. All’istante iniziale campo magnetico e momento angolare formano un angolo 𝜃𝜃.

Al momento magnetico si somma i momento elettrico 𝜏𝜏⃑ = 𝑑𝑑⃑ 𝑁𝑁 × 𝐸𝐸�⃑

𝜏𝜏⃑ = 𝑑𝑑𝐿𝐿�⃑

𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝐸𝐸𝑑𝑑 ⃑ _𝑁𝑁 × 𝑑𝑑̂ = 𝐸𝐸𝑑𝑑 𝑁𝑁 2

ℏ 𝐿𝐿 �⃑ × 𝑑𝑑̂ = −𝐸𝐸𝑑𝑑 _𝑁𝑁 2 ℏ 𝑑𝑑̂ × 𝐿𝐿 �⃑

𝜔𝜔 _𝐿𝐿 = −𝐸𝐸𝑑𝑑 _𝑁𝑁 2

ℏ − 𝑔𝑔 ^𝑁𝑁 𝜇𝜇𝐵𝐵 = − 𝑔𝑔 _𝑁𝑁 𝑒𝑒 2𝑚𝑚 𝐵𝐵 −

2𝑑𝑑 _𝑁𝑁 ℏ 𝐸𝐸

4. Quale relazione c’è fra l’energia di un fotone di pulsazione 𝜔𝜔 𝐿𝐿 , e l’energia potenziale classica del neutrone?

ℏ𝜔𝜔 _𝐿𝐿 = −ℏ 𝑑𝑑 ℏ 2

𝐵𝐵 − 2𝑑𝑑 _𝑁𝑁 𝐸𝐸 = −2𝑑𝑑𝐵𝐵 − 2𝑑𝑑 _𝑁𝑁 𝐸𝐸 = 2𝑈𝑈 _𝐵𝐵 (𝜃𝜃 = 0) + 2𝑈𝑈 𝐸𝐸 (𝜃𝜃 = 0)

5. Ragionando sull’espressione trovata al punto 3, dire come è possibile porre limiti sul valore di 𝑑𝑑 𝑁𝑁 , con la massima precisione possibile

Tenendo fisso il campo magnetico, si può fare due misure cambiando il verso del campo elettrico, risulta così

𝜔𝜔 𝐿𝐿 = − 𝑔𝑔 _𝑁𝑁 𝑒𝑒 2𝑚𝑚 𝐵𝐵 ∓

2𝑑𝑑 _𝑁𝑁 ℏ 𝐸𝐸 𝑑𝑑 𝑁𝑁 = ℏ

4𝐸𝐸 �𝜔𝜔 ^𝐿𝐿 + 𝑔𝑔 _𝑁𝑁 𝑒𝑒 2𝑚𝑚 𝐵𝐵�

10

L’equazione dell’orbita

1. Usando la tecnica del potenziale efficace, trovate i punti di massima e minima distanza in funzione dell’energia 𝐸𝐸 e del momento angolare 𝐿𝐿 del corpo in orbita

Si ha

𝐸𝐸 = 1

2 𝑚𝑚𝑟𝑟̇ ² + 𝐺𝐺𝑀𝑀𝑚𝑚 𝑟𝑟 −

𝐿𝐿 ² 2𝑚𝑚𝑟𝑟 ² Ponendo 𝑟𝑟̇ = 0 e risolvendo si trova

𝑟𝑟 _± = −𝐺𝐺𝑀𝑀𝑚𝑚 ∓ �𝐺𝐺 ² 𝑀𝑀 ² 𝑚𝑚 ² + 2𝐸𝐸𝐿𝐿 ² /𝑚𝑚 2𝐸𝐸

2. Trovate ora il valore del semiasse maggiore dell’orbita in funzione di 𝐸𝐸 ed 𝐿𝐿 𝑎𝑎 = 𝑟𝑟 ₊ + 𝑟𝑟 ₋

2 = −𝐺𝐺𝑀𝑀𝑚𝑚 2𝐸𝐸 3. Trovate i valori dei due parametri in funzione di 𝐸𝐸 ed 𝐿𝐿

𝑟𝑟 + = 𝑙𝑙 1 − 𝜀𝜀 𝑟𝑟 − = 𝑙𝑙

1 + 𝜀𝜀 𝑙𝑙 = 𝑎𝑎(1 − 𝜀𝜀 ² ) = 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 −

𝑎𝑎 𝑙𝑙 = 𝐿𝐿 ²

𝐺𝐺𝑚𝑚 ² 𝑀𝑀

𝜀𝜀 = �1 + 2𝐸𝐸𝐿𝐿 ² 𝐺𝐺 ² 𝑀𝑀 ² 𝑚𝑚 ³

Consideriamo ora un satellite in un’orbita geostazionaria, a un certo punto questo accende il motore per una frazione di secondo e cambia la sua velocità di una componente ∆𝑣𝑣 = 𝛽𝛽𝑣𝑣.

4. Nel caso i cui tale componente aggiuntiva sia parallela alla velocità del satellite iniziale, calcolare i nuovi parametri dell’orbita 𝑙𝑙, 𝜀𝜀

Il raggio dell’orbita geostazionaria è

𝑟𝑟 𝑔𝑔 3 = 𝐺𝐺𝑀𝑀

4𝜋𝜋 ² 𝑇𝑇 _𝑇𝑇 ² = 𝐺𝐺𝑀𝑀 𝑅𝑅 _𝑇𝑇 ²

𝑅𝑅 _𝑇𝑇 ² 𝑇𝑇 _𝑇𝑇 ²

4𝜋𝜋 ² = 𝑔𝑔𝑅𝑅 _𝑇𝑇 ² 𝑇𝑇 _𝑇𝑇 ² 4𝜋𝜋 ² 𝑟𝑟 _𝑔𝑔 = � 𝑔𝑔𝑅𝑅 _𝑇𝑇 ² 𝑇𝑇 _𝑇𝑇 ²

4𝜋𝜋 ²

3

La velocità è

11

𝑣𝑣 _𝑔𝑔 = 2𝜋𝜋𝑟𝑟 𝑔𝑔

𝑇𝑇 _𝑇𝑇 = 2𝜋𝜋

𝑇𝑇 _𝑇𝑇 �𝑔𝑔𝑅𝑅 ^{𝑇𝑇 2} 𝑇𝑇 _𝑇𝑇 ² 4𝜋𝜋 ²

3

= � 2𝜋𝜋𝑔𝑔𝑅𝑅 _𝑇𝑇 ² 𝑇𝑇 _𝑇𝑇

3

La nuova velocità è

𝑣𝑣 ^′ = 𝑣𝑣(1 + 𝛽𝛽) Quindi

𝐿𝐿 ^′ = 𝐿𝐿(1 + 𝛽𝛽) 𝐾𝐾 ^′ = 𝐾𝐾(1 + 𝛽𝛽) ²

𝐸𝐸 ^′ = 2𝐸𝐸 − 𝐸𝐸(1 + 𝛽𝛽) ² = 𝐸𝐸(1 − 2𝛽𝛽 − 𝛽𝛽 ² ) 𝑙𝑙 = 𝐿𝐿 ² (1 + 𝛽𝛽) ²

𝐺𝐺𝑚𝑚 ² 𝑀𝑀 = 𝑟𝑟 ^𝑔𝑔 (1 + 𝛽𝛽) ²

𝜀𝜀 = �1 + 2𝐸𝐸𝐿𝐿 ² (1 + 𝛽𝛽) ² (1 − 2𝛽𝛽 − 𝛽𝛽 ² )

𝐺𝐺 ² 𝑀𝑀 ² 𝑚𝑚 ³ = �1 − (1 + 𝛽𝛽) ² (1 − 2𝛽𝛽 − 𝛽𝛽 ² ) 𝜀𝜀 = 𝛽𝛽(2 + 𝛽𝛽)

5. Nei casi in cui l’orbita è ancora chiusa, trovare le nuove distanza massime e minime dal centro gravitazionale, se l’orbita è aperta, trovare solo la distanza minima

𝑟𝑟 ₊ = 𝑙𝑙 1 − 𝜀𝜀 =

𝑟𝑟 _𝑔𝑔 (1 + 𝛽𝛽) ² 1 − 𝛽𝛽(2 + 𝛽𝛽) 𝑟𝑟 − = 𝑙𝑙

1 + 𝜀𝜀 =

𝑟𝑟 _𝑔𝑔 (1 + 𝛽𝛽) ² 1 + 𝛽𝛽(2 + 𝛽𝛽) Se l’orbita è aperta allora 𝑟𝑟 − è la distanza minima.

Cioè accade per 𝛽𝛽 > √2 − 1.

6. Calcolare i nuovi parametri dell’orbita 𝑙𝑙, 𝜀𝜀

𝐿𝐿 ^′ = 𝐿𝐿 𝐾𝐾 ^′ = 𝐾𝐾(1 + 𝛽𝛽 ² )

𝐸𝐸 ^′ = 2𝐸𝐸 − 𝐸𝐸(1 + 𝛽𝛽 ² ) = 𝐸𝐸(1 − 𝛽𝛽 ² ) 𝑙𝑙 = 𝐿𝐿 ²

𝐺𝐺𝑚𝑚 ² 𝑀𝑀 = 𝑟𝑟 ^𝑔𝑔

𝜀𝜀 = �1 + 2𝐸𝐸𝐿𝐿 ² (1 − 𝛽𝛽 ² )

𝐺𝐺 ² 𝑀𝑀 ² 𝑚𝑚 ³ = �1 − (1 − 𝛽𝛽 ² ) = 𝛽𝛽

7. Per i casi 𝛽𝛽 < 1, calcolare l’angolo fra il semiasse maggiore della nova orbita e la posizione in cui sono stati accesi i motori

Si usa

12

𝑟𝑟(𝜃𝜃) = 𝑙𝑙

1 − 𝜀𝜀 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠𝜃𝜃 = 𝑟𝑟 ^𝑔𝑔 = 𝑟𝑟 _𝑔𝑔 1 − 𝛽𝛽 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠𝜃𝜃 Quindi

𝜃𝜃 = 𝜋𝜋/2

8. Trovare, sempre per 𝛽𝛽 < 1, le nuove distanze massime e minime 𝑟𝑟 ₊ = 𝑙𝑙

1 − 𝜀𝜀 = 𝑟𝑟 _𝑔𝑔 1 − 𝛽𝛽 𝑟𝑟 ₋ = 𝑙𝑙

1 + 𝜀𝜀 = 𝑟𝑟 𝑔𝑔

1 + 𝛽𝛽 9. Trovare il periodo della nuova orbita

𝑟𝑟 _𝑔𝑔 = � 𝑔𝑔𝑅𝑅 _𝑇𝑇 ² 𝑇𝑇 _𝑇𝑇 ² 4𝜋𝜋 ²

3

𝑎𝑎 = � 𝑔𝑔𝑅𝑅 _𝑇𝑇 ² 𝑇𝑇 ² 4𝜋𝜋 ²

3

= 𝑟𝑟 _𝑔𝑔 � 𝑇𝑇 ² 𝑇𝑇 _𝑇𝑇 ²

3

𝑇𝑇 ² = 𝑇𝑇 _𝑇𝑇 ² 𝑎𝑎 ³

𝑟𝑟 _𝑔𝑔 ³ = 𝑇𝑇 _𝑇𝑇 ² 1 𝑟𝑟 _𝑔𝑔 ³ � 𝑙𝑙

1 − 𝜀𝜀 ² � ³ = 𝑇𝑇 _𝑇𝑇 ² � 1 1 − 𝛽𝛽 ² � ³

10. Calcolare il minimo valore di 𝛽𝛽 = 𝛽𝛽 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 affinché la nuova orbita sia aperta, e trovare la distanza minima dal centro in questo caso

L’orbita è aperta se l’eccentricità è maggiore di 1, quindi 𝛽𝛽 _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒} = 1 𝑟𝑟 − = 𝑙𝑙

1 + 𝜀𝜀 = 𝑟𝑟 𝑔𝑔

1 + 𝛽𝛽 _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒} = 𝑟𝑟 𝑔𝑔

2 Supponi ora 𝛽𝛽 > 𝛽𝛽 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒

11. Trovare la velocità residua che avrà il satellite a distanza infinita (trascura il sole e gli altri pianeti) L’energia totale è

𝐸𝐸 ^′ = −𝐸𝐸(𝛽𝛽 ² − 1) Dove

𝐸𝐸 = − 1

2 𝑚𝑚𝑣𝑣 ^{𝑔𝑔 2} = − 1 2 𝑚𝑚 �

2𝜋𝜋𝑔𝑔𝑅𝑅 _𝑇𝑇 ² 𝑇𝑇 𝑇𝑇 �

2/3

Ed

𝐸𝐸 ^′ = 1 2 𝑚𝑚𝑣𝑣 ^{∞ 2} Si ricava

𝑣𝑣 _∞ ² = � 2𝜋𝜋𝑔𝑔𝑅𝑅 _𝑇𝑇 ² 𝑇𝑇 _𝑇𝑇 �

2/3

(𝛽𝛽 ² − 1)

13

𝑣𝑣 ∞ = � 2𝜋𝜋𝑔𝑔𝑅𝑅 _𝑇𝑇 ² 𝑇𝑇 _𝑇𝑇 �

1/3

�𝛽𝛽 ² − 1 = 𝑣𝑣 𝑔𝑔 �𝛽𝛽 ² − 1 12. Trovare il parametro di impatto 𝑏𝑏 del satellite

Il momento angolare vale

𝐿𝐿 = 𝐿𝐿 ^′ = 𝑚𝑚𝑏𝑏𝑣𝑣 _∞ Dalle condizioni iniziali

𝐿𝐿 = 𝑚𝑚𝑟𝑟 _𝑔𝑔 𝑣𝑣 _𝑔𝑔 = 𝑚𝑚� 𝑔𝑔 ² 𝑅𝑅 _𝑇𝑇 ⁴ 𝑇𝑇 𝑇𝑇

2𝜋𝜋

3

Quindi

𝑚𝑚 � 𝑔𝑔 ² 𝑅𝑅 _𝑇𝑇 ⁴ 𝑇𝑇 _𝑇𝑇 2𝜋𝜋 �

1/3

= 𝑚𝑚𝑏𝑏 � 2𝜋𝜋𝑔𝑔𝑅𝑅 _𝑇𝑇 ² 𝑇𝑇 _𝑇𝑇 �

1/3

�𝛽𝛽 ² − 1

𝑏𝑏 = 1

�𝛽𝛽 ² − 1 � 𝑔𝑔𝑅𝑅 _𝑇𝑇 ² 𝑇𝑇 _𝑇𝑇 ² 4𝜋𝜋 ² �

1/3

= 𝑟𝑟 _𝑔𝑔

�𝛽𝛽 ² − 1 13. Trovare la deflessione 𝜑𝜑 generata dalla forza di gravita

Geometricamente si trova che 𝜑𝜑 = 𝜋𝜋

2 + 𝐴𝐴𝑟𝑟𝑐𝑐𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠 (1/𝜀𝜀) = 𝜋𝜋

2 + 𝐴𝐴𝑟𝑟𝑐𝑐𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠 (1/𝛽𝛽)

14

Il potenziale di Einstein

1. Considerate un corpo di massa 𝑚𝑚 immerso nel campo gravitazionale generato da un oggetto di massa 𝑀𝑀 ≫ 𝑚𝑚. Trovare il minimo raggio dell’orbita circolare possibile

Imponendo

𝐹𝐹 = 𝐺𝐺𝑀𝑀𝑚𝑚

𝑟𝑟 ² = 𝑚𝑚 𝑐𝑐 ² 𝑟𝑟 𝑟𝑟 = 𝐺𝐺𝑀𝑀

𝑐𝑐 ² 𝑟𝑟 _𝑒𝑒 = 2𝐺𝐺𝑀𝑀

𝑐𝑐 ²

2. Trovare la distribuzione di massa classica che porta a questo potenziale Troviamo la forza

𝐹𝐹(𝑟𝑟) = − 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑉𝑉 (𝑟𝑟) = − 𝑚𝑚𝑐𝑐 ² 2 �

𝑟𝑟 𝑒𝑒

𝑟𝑟 ² + 3𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝐿𝐿 ² 𝑚𝑚 ² 𝑐𝑐 ² 𝑟𝑟 ⁴ � 𝑔𝑔(𝑟𝑟) = − 𝑐𝑐 ²

2 � 𝑟𝑟 _𝑒𝑒

𝑟𝑟 ² + 3𝑟𝑟 _𝑒𝑒 𝐿𝐿 ² 𝑚𝑚 ² 𝑐𝑐 ² 𝑟𝑟 ⁴ � 𝑔𝑔(𝑟𝑟) ∙ 4𝜋𝜋𝑟𝑟 ² = −4𝜋𝜋𝐺𝐺𝑀𝑀(𝑟𝑟) 𝑀𝑀(𝑟𝑟) = − 1

𝐺𝐺 𝑔𝑔 (𝑟𝑟) ∙ 𝑟𝑟 ² = 1 𝐺𝐺 �

𝐺𝐺𝑀𝑀

𝑟𝑟 ² + 3𝐺𝐺𝑀𝑀𝐿𝐿 ²

𝑚𝑚 ² 𝑐𝑐 ² 𝑟𝑟 ⁴ � ∙ 𝑟𝑟 ² = 𝑀𝑀 + 3𝑀𝑀𝐿𝐿 ² 𝑚𝑚 ² 𝑐𝑐 ² 𝑟𝑟 ²

𝑀𝑀(𝑟𝑟) = � 4𝜋𝜋𝜌𝜌(𝑟𝑟)𝑟𝑟 ² 𝑑𝑑𝑟𝑟

𝑟𝑟

0

𝜌𝜌(𝑟𝑟) = 𝑀𝑀𝑀𝑀(𝑟𝑟) + 1 4𝜋𝜋𝑟𝑟 ²

𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑟𝑟 �

3𝑀𝑀𝐿𝐿 ²

𝑚𝑚 ² 𝑐𝑐 ² 𝑟𝑟 ² � = 𝑀𝑀𝑀𝑀(𝑟𝑟) − 3𝑀𝑀𝐿𝐿 ² 2𝜋𝜋𝑚𝑚 ² 𝑐𝑐 ² 𝑟𝑟 ⁵ 3. Per quali raggi sono possibili orbite circolari?

Usando il potenziale efficace

𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑉𝑉 ^{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒} (𝑟𝑟) = 0 𝑉𝑉 _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒} (𝑟𝑟) = 𝑉𝑉(𝑟𝑟) + 𝐿𝐿 ²

2𝑚𝑚𝑟𝑟 ² = 𝑚𝑚𝑐𝑐 ² 2 �−

𝑟𝑟 𝑒𝑒

𝑟𝑟 + 𝐿𝐿 ²

𝑚𝑚 ² 𝑐𝑐 ² 𝑟𝑟 ² − 𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝐿𝐿 ² 𝑚𝑚 ² 𝑐𝑐 ² 𝑟𝑟 ³ � 𝑚𝑚𝑐𝑐 ²

2 � 𝑟𝑟 _𝑒𝑒

𝑟𝑟 ² − 2𝐿𝐿 ²

𝑚𝑚 ² 𝑐𝑐 ² 𝑟𝑟 ³ + 3𝑟𝑟 _𝑒𝑒 𝐿𝐿 ²

𝑚𝑚 ² 𝑐𝑐 ² 𝑟𝑟 ⁴ � = 0 𝑟𝑟 ² − 2𝐿𝐿 ² 𝑟𝑟

𝑚𝑚 ² 𝑐𝑐 ² 𝑟𝑟 _𝑒𝑒 + 3𝐿𝐿 ² 𝑚𝑚 ² 𝑐𝑐 ² = 0

15

𝑟𝑟 = 2𝐿𝐿 ²

𝑚𝑚 ² 𝑐𝑐 ² 𝑟𝑟 _𝑒𝑒 ± �� 2𝐿𝐿 𝑚𝑚 ² 𝑐𝑐 ^{2 2} 𝑟𝑟 _𝑒𝑒 � ² − 4 3𝐿𝐿 𝑚𝑚 ² 𝑐𝑐 ^{2 2}

2 = 𝐿𝐿 ²

𝑚𝑚 ² 𝑐𝑐 ² 𝑟𝑟 _𝑒𝑒 �1 ± �1 − 3𝑚𝑚 ² 𝑐𝑐 ² 𝑟𝑟 _𝑒𝑒 ² 𝐿𝐿 ² � Da ora in poi indicheremo

𝑎𝑎 ² = 𝐿𝐿 ² 𝑚𝑚 ² 𝑐𝑐 ²

𝑟𝑟 = 𝑎𝑎 ²

𝑟𝑟 _𝑒𝑒 �1 ± �1 − 3𝑟𝑟 𝑒𝑒 2

𝑎𝑎 ² � 4. Discuti la stabilità delle orbite circolari trovate

Basta controllare la derivata seconda del potenziale efficace 𝑑𝑑 ²

𝑑𝑑𝑟𝑟 ² 𝑉𝑉 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑟𝑟) = 𝑚𝑚𝑐𝑐 ² 2 �−2

𝑟𝑟 _𝑒𝑒

𝑟𝑟 ³ + 3 2𝑎𝑎 ²

𝑟𝑟 ⁴ − 4 3𝑟𝑟 _𝑒𝑒 𝑎𝑎 ² 𝑟𝑟 ⁵ � 𝑑𝑑 ²

𝑑𝑑𝑟𝑟 ² 𝑉𝑉 _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒} (𝑟𝑟 _{𝑚𝑚𝑚𝑚} ) = − 𝑚𝑚𝑐𝑐 ²

𝑟𝑟 _{𝑚𝑚𝑚𝑚} ⁵ �𝑟𝑟 _𝑒𝑒 𝑟𝑟 _{𝑚𝑚𝑚𝑚} ² − 3𝑎𝑎 ² 𝑟𝑟 _{𝑚𝑚𝑚𝑚} + 6𝑟𝑟 _𝑒𝑒 𝑎𝑎 ² �

= − 𝑚𝑚𝑐𝑐 ² 𝑟𝑟 _{𝑚𝑚𝑚𝑚} ⁵ � 𝑎𝑎 ⁴

𝑟𝑟 _𝑒𝑒 �1 − �1 − 3𝑟𝑟 _𝑒𝑒 ² 𝑎𝑎 ² �

2

− 3 𝑎𝑎 ⁴

𝑟𝑟 _𝑒𝑒 �1 − �1 − 3𝑟𝑟 _𝑒𝑒 ²

𝑎𝑎 ² � + 6𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝑎𝑎 ² �

= 𝑚𝑚𝑐𝑐 ² 𝑟𝑟 _{𝑚𝑚𝑚𝑚} ⁵

𝑎𝑎 ⁴

𝑟𝑟 _𝑒𝑒 �1 − 3𝑟𝑟 _𝑒𝑒 ²

𝑎𝑎 ² − �1 − 3𝑟𝑟 _𝑒𝑒 ²

𝑎𝑎 ² � = 𝑚𝑚𝑐𝑐 ² 𝑟𝑟 _{𝑚𝑚𝑚𝑚} ⁵

𝑎𝑎 ⁴

𝑟𝑟 _𝑒𝑒 �1 − 3𝑟𝑟 𝑎𝑎 ^{2 𝑒𝑒 2} ��1 − 3𝑟𝑟 _𝑒𝑒 ²

𝑎𝑎 ² − 1� < 0 Il raggio interno è instabile

𝑑𝑑 ²

𝑑𝑑𝑟𝑟 ² 𝑉𝑉 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑟𝑟 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 ) = − 𝑚𝑚𝑐𝑐 ²

𝑟𝑟 _{𝑚𝑚𝑚𝑚} ⁵ (𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝑟𝑟 _{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜} ² − 3𝑎𝑎 ² 𝑟𝑟 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 + 6𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝑎𝑎 ² )

= − 𝑚𝑚𝑐𝑐 ² 𝑟𝑟 _{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜} ⁵ � 𝑎𝑎 ⁴

𝑟𝑟 𝑒𝑒 �1 + �1 − 3𝑟𝑟 _𝑒𝑒 ² 𝑎𝑎 ² �

2

− 3 𝑎𝑎 ⁴

𝑟𝑟 𝑒𝑒 �1 + �1 − 3𝑟𝑟 _𝑒𝑒 ²

𝑎𝑎 ² � + 6𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝑎𝑎 ² �

= 𝑚𝑚𝑐𝑐 ² 𝑟𝑟 _{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜} ⁵

𝑎𝑎 ⁴

𝑟𝑟 _𝑒𝑒 �1 − 3𝑟𝑟 _𝑒𝑒 ²

𝑎𝑎 ² + �1 − 3𝑟𝑟 _𝑒𝑒 ²

𝑎𝑎 ² � = 𝑚𝑚𝑐𝑐 ² 𝑟𝑟 _{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜} ⁵

𝑎𝑎 ⁴

𝑟𝑟 _𝑒𝑒 �1 − 3𝑟𝑟 𝑎𝑎 ^{2 𝑒𝑒 2} ��1 − 3𝑟𝑟 _𝑒𝑒 ²

𝑎𝑎 ² + 1� > 0 Il raggio esterno è stabile.

Nel caso in cui 𝑟𝑟 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑟𝑟 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 = ^𝑚𝑚 _𝑟𝑟

𝑠𝑠

= 3𝑟𝑟 𝑒𝑒

𝑑𝑑 ²

𝑑𝑑𝑟𝑟 ² 𝑉𝑉 _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒} (𝑟𝑟 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 ) = 0 Andando a controllare la derivata terza si vede che

16

𝑑𝑑 ³

𝑑𝑑𝑟𝑟 ³ 𝑉𝑉 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑟𝑟 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 ) ≠ 0 Quindi è instabile.

La teoria newtoniana calcolava, come valore dei precessione dell’orbita di mercurio ∆𝜑𝜑 = 5557.62 ± 0.20′′. Tuttavia il valore misurato era di ∆𝜑𝜑 = 5600.73 ± 0.41′′

5. Trovare il valore di precessione per centennio dovuto agli effetti di relatività generale, e dire se questo contributo è o meno conforme a quello della relatività generale, e se è il tassello mancante fra teoria e esperimento. Considerare l’orbita quasi circolare.

Si può trovare semplicemente:

𝜔𝜔 _𝑟𝑟 ² = − 1 𝑚𝑚

𝑑𝑑 ²

𝑑𝑑𝑟𝑟 ² 𝑉𝑉 _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒} (𝑟𝑟) = 𝑐𝑐 ²

𝑟𝑟 ⁴ 𝑎𝑎 ² �1 − 3𝑟𝑟 𝑎𝑎 ^{2 𝑒𝑒 2} Il periodo di rivoluzione lo si può ricavare dalla terza legge di Keplero

𝜔𝜔 _𝜑𝜑 ² = 𝑟𝑟 _𝑒𝑒 𝑐𝑐 ² 2𝑟𝑟 ³

𝜔𝜔 _𝑟𝑟 ² = 1 𝑚𝑚

𝑑𝑑 ²

𝑑𝑑𝑟𝑟 ² 𝑉𝑉 _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒} (𝑟𝑟) = 2𝜔𝜔 _𝜑𝜑 ² 𝑟𝑟 _𝑒𝑒

1

𝑟𝑟 𝑎𝑎 ² �1 − 3𝑟𝑟 𝑎𝑎 ^{2 𝑒𝑒 2} = 𝜔𝜔 _𝜑𝜑 ² � 2𝑎𝑎 ²

𝑟𝑟𝑟𝑟 _𝑒𝑒 � �1 − 3𝑟𝑟 𝑒𝑒 2

𝑎𝑎 ² Poiché 𝑟𝑟 ≫ 𝑎𝑎 ≫ 𝑟𝑟 𝑒𝑒 possiamo prendere approssimativamente

𝑟𝑟 = 𝑎𝑎 ²

𝑟𝑟 _𝑒𝑒 �1 ± �1 − 3𝑟𝑟 _𝑒𝑒 ²

𝑎𝑎 ² � ≅ 2𝑎𝑎 ² 𝑟𝑟 _𝑒𝑒 e si ottiene:

𝜔𝜔 𝑟𝑟 2 = 𝜔𝜔 𝜑𝜑 2 �1 − 3𝑟𝑟 𝑎𝑎 ^{2 𝑒𝑒 2}

𝜔𝜔 𝑟𝑟 2 = 𝜔𝜔 𝜑𝜑 2 �1 − 3𝑟𝑟 𝑎𝑎 ^{2 𝑒𝑒 2} 𝜔𝜔 _𝑟𝑟 = 𝜔𝜔 _𝜑𝜑 �1 − 3𝑟𝑟 𝑒𝑒 2

𝑎𝑎 ² �

1/4

𝜔𝜔 _𝑟𝑟 ≅ 𝜔𝜔 _𝜑𝜑 �1 − 3𝑟𝑟 _𝑒𝑒 ² 4𝑎𝑎 ² �

�𝜔𝜔 𝑟𝑟 − 𝜔𝜔 𝜑𝜑 � 𝜔𝜔 _𝜑𝜑 = 3𝑟𝑟 _𝑒𝑒 ²

4𝑎𝑎 ²

∆𝜑𝜑 = 3𝜋𝜋𝑟𝑟 _𝑒𝑒 ²

2𝑎𝑎 ² = 3𝜋𝜋𝑟𝑟 _𝑒𝑒 ² 𝑚𝑚 ² 𝑐𝑐 ²

2𝐿𝐿 ² = 3𝜋𝜋𝑟𝑟 _𝑒𝑒 𝑙𝑙 =

3𝜋𝜋𝑟𝑟 _𝑒𝑒 𝐴𝐴(1 − 𝜀𝜀 ² ) Per 100 anni si trova

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∆𝜑𝜑 = 𝑁𝑁 3𝜋𝜋𝑟𝑟 𝑒𝑒

𝐴𝐴(1 − 𝜀𝜀 ² ) ≈ 42.91′′

6. Trovare la deflessione nella teoria kepleriana classica La deflessione è data dal parametro eccentricità

𝜀𝜀 = �1 + 2𝐸𝐸𝐿𝐿 ² 𝐺𝐺 ² 𝑀𝑀 ² 𝑚𝑚 ³ Inserendo i dati classici

𝐸𝐸 = 1

2 𝑚𝑚𝑐𝑐 ² , 𝐿𝐿 = 𝑚𝑚𝑐𝑐𝑏𝑏

𝜀𝜀 = �1 + 𝑚𝑚𝑐𝑐 ² 𝑚𝑚 ² 𝑐𝑐 ² 𝑏𝑏 ²

𝐺𝐺 ² 𝑀𝑀 ² 𝑚𝑚 ³ = �1 + 4𝑏𝑏 ²

𝑟𝑟 _𝑒𝑒 ² ≅ �1 + 4𝑟𝑟 ₀ ² 𝑟𝑟 _𝑒𝑒 ² ≅ 2 𝑟𝑟 0

𝑟𝑟 _𝑒𝑒 La deviazione è

∆𝜑𝜑 = 2 � 𝜋𝜋

2 − 𝐴𝐴𝑟𝑟𝑐𝑐𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠 � 1 𝜀𝜀�� =

2 𝜀𝜀 =

𝑟𝑟 𝑒𝑒

𝑟𝑟 ₀ 7. Trovare la deflessione dovuta al termine aggiuntivo del potenziale Il valore della deflessione può essere trovato calcolando

∆𝑝𝑝 = � 𝑑𝑑𝑡𝑡𝐹𝐹 _⊥

+∞

−∞

= � 𝑑𝑑𝜃𝜃 𝑚𝑚𝑟𝑟 ² 𝐿𝐿

𝑚𝑚𝑐𝑐 ² 2

3𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝐿𝐿 ² 𝑚𝑚 ² 𝑐𝑐 ² 𝑟𝑟 ⁴ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠𝜃𝜃

+𝐴𝐴𝑟𝑟𝑒𝑒𝐴𝐴𝑜𝑜𝑒𝑒�1𝜀𝜀�

−𝐴𝐴𝑟𝑟𝑒𝑒𝐴𝐴𝑜𝑜𝑒𝑒�1𝜀𝜀�

= 2 � 𝑑𝑑𝜃𝜃 3𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝐿𝐿 2𝑟𝑟 ² 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠𝜃𝜃

𝐴𝐴𝑟𝑟𝑒𝑒𝐴𝐴𝑜𝑜𝑒𝑒�1𝜀𝜀�

0

= � 𝑑𝑑𝜃𝜃 3𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝐿𝐿

𝑙𝑙 ² 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠𝜃𝜃(1 − 𝜀𝜀𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠𝜃𝜃) ²

+𝐴𝐴𝑟𝑟𝑒𝑒𝐴𝐴𝑜𝑜𝑒𝑒�1𝜀𝜀�

0

≅ 3𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝐿𝐿 𝑙𝑙 ²

2𝜀𝜀 ² 3 =

2𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑏𝑏𝜀𝜀 ² 𝑙𝑙 ²

2𝑆𝑆𝑖𝑖𝑆𝑆 � ∆𝜑𝜑

2 � ≅ ∆𝜑𝜑 =

∆𝑝𝑝 𝑝𝑝 =

2𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝑏𝑏𝜀𝜀 ²

𝑙𝑙 ² ≅ 2𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝑟𝑟 0 𝜀𝜀 ² 𝑟𝑟 ₀ ² 𝜀𝜀 ² = 2𝑟𝑟 𝑒𝑒

𝑟𝑟 ₀ 8. Il risultato trovato è conforme al risultato della relatività generale?

Chiaramente è difficile interpretare la validità del risultato. Rispetto al metodo precedente, c’è il pregio di non dovere assegnare un’energia 𝐸𝐸 = ¹ ₂ 𝑚𝑚𝑐𝑐 ² al fotone, che è sicuramente sbagliato. In tale parte del potenziale la massa si semplifica sempre a prescindere (possiamo immaginare che la variabile fisica sia 𝐿𝐿/𝑚𝑚 per quando andiamo ad usare la conservazione del momento angolare)

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