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In questa appendice è riportato il calcolo della resistenza termica conduttiva di una parete a calotta sferica.

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Academic year: 2021

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(1)

185

Appendice A

In questa appendice è riportato il calcolo della resistenza termica conduttiva di una parete a calotta sferica.

La geometria della parete è riportata in figura A.1

Figura A.1: geometria di una parete a calotta sferica

Si vuole studiare il problema della conduzione termica attraverso la parete a calotta sferica di figura A.1.

Si assuma l’ipotesi che la temperatura della parete vari solo in funzione del raggio r, pertanto si lavora nell’ipotesi di conduzione termica monodimensionale.

Ad un dato istante t, la potenza termica conduttiva ̇ attraverso la parete è definita dalla seguente espressione:

̇

dove:

λ è il coefficiente di conducibilità termica del materiale costituente la parete;

S=2πrh è la superficie della calotta sferica avente altezza h e appartenente alla sfera di raggio r.

Inserendo l’espressione di S nella A.1 si ha:

̇

( )

( )

( )

̇

Si indichi con r

1

il raggio interno della parete la cui temperatura è uniforme e vale T

1

, e si indichi con r

2

il raggio esterno della parete la cui temperatura è uniforme e vale T

2

.

A questo punto si integri, tra gli estremi appena definiti, l’equazione A.2:

(2)

Appendice A

186

∫ ( ) ∫

̇ Di seguito sono risolti separatamente i due membri della A.3.

Il primo membro della A.3 può essere risolto usando la tecnica dell’integrazione delle funzioni razionali; quindi scomponendo l’integrando del primo membro della A.3 si ha:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) Uguagliando il primo e l’ultimo termine si a ha:

( )

( )

( ) { ( )

( ) { ⁄ ⁄ Adesso è possibile integrare il primo membro della A.3:

∫ ( ) ∫ (

) ∫ ∫ (

) ∫ ∫ (

) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

[ ( ) (

)] [( ) (

)] [( ) ( )]

∫ ( ) [( ) (

)]

Si risolva adesso il secondo membro della A.3:

̇

̇ ∫

̇ ( ) Uguagliando la A.4 e la A.5 si ha:

[( ) (

)]

̇ ( )

̇

[( ) ( )]

( ) ( )

dove R è la resistenza termica conduttiva della parete a calotta sferica.

(3)

Appendice A

187 Quindi in conclusione si ha:

[( ) ( )]

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