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Juniode2006 JulioD.P´erezTudela An´alisisdelainfluenciadelasaberracionesdelsistemadifractorenelreconocimientodeim´agenesporcorrelaci´on´optica GrupdeRecercaen`OpticaF´ısicaDepartamentdeF´ısicaAplicadai`OpticaUniversitatdeBarcelona

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Departament de F´ısica Aplicada i `Optica Universitat de Barcelona

An´

alisis de la influencia de las aberraciones del sistema

difractor en el reconocimiento de im´

agenes por

correlaci´

on ´

optica

Julio D. P´erez Tudela

(2)

Correlador convergente de

Vander Lugt

En el apartado 1.4.2 se introdujo una de las arquitecturas b´asicas utilizadas en la correlaci´on ´optica: el correlador de Vander Lugt. El primer montaje propuesto por el propio Vander Lugt fue el denominado correlador 4f [Lug64], el cual recibe este nombre por la distancia existente entre el plano de entrada y el de correlaci´on. Un esquema de este dispositivo se puede ver en la figura 1.2. Tal y como se coment´o en dicho apartado, uno de los principales inconvenientes que presenta esta configura-ci´on es la longitud necesaria para obtener las im´agenes escaladas de forma adecuada, as´ı como la dificultad para adaptar la escala de la transformada de la escena a la del filtro utilizado. De las diferentes modificaciones que se han ido proponiendo la m´as utilizada es el denominado correlador convergente de Vander Lugt (ver figura 5.1), el cual se basa en el acoplamiento de dos difract´ometros mediante la utilizaci´on de lentes convergentes.

Generalmente, la imagen a analizar es proyectada en una pantalla LCD situada en el plano de entrada. En el plano de Fourier se sit´ua un segundo modulador que es el encargado de mostrar los filtros donde se encuentra codificada la imagen a detectar. Finalmente, los resultados de la correlaci´on son capturados por una c´amara de video CCD situada en el plano de correlaci´on.

En este cap´ıtulo se pretenden analizar diversos aspectos de la influencia en la corre-laci´on de las aberraciones de los sistemas ´opticos que componen el correlador con-vergente de Vander Lugt, y se propondr´an diversos m´etodos para minimizar estos

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efectos. En primer lugar, y continuando con la l´ınea desarrollada en el cap´ıtulo ante-rior, se evaluar´a la influencia de las aberraciones de cada uno de los difract´ometros en la correlaci´on final. A partir del an´alisis de los resultados obtenidos, se inten-tar´a reducir esta influencia mediante dos procedimientos: por una parte, modificando la posici´on relativa de los moduladores respecto de los sistemas ´opticos, mantenien-do constante la distancia entre ellos. Por otro lamantenien-do, se generar´an filtros a partir de im´agenes afectadas por aberraci´on, y se comparar´an los picos de correlaci´on con los iniciales. Finalmente, se sintetizar´a este conjunto de medidas en la propuesta de un dise˜no ´optimo para el correlador analizado.

5.1.

Proceso de correlaci´

on en el correlador de Vander

Lugt

Como ya hemos dicho anteriormente, las principales ventajas que presenta la arqui-tectura de Vander Lugt respecto del correlador 4f son, por un lado, la reducci´on de la longitud total del sistema, y por otro, la facilidad de modificar la escala de la transformada de Fourier, puesto que tan s´olo es necesario modificar la imagen de entrada, sin variar las caracter´ısticas de las lentes ni su posici´on. A continuaci´on, se analizar´a el proceso de correlaci´on ´optica en la detecci´on de un motivo concreto en una escena compleja que tiene lugar en un correlador de Vander Lugt, y para ello seguiremos la notaci´on del propio Vander Lugt [Lug66, Lug92], la cual se basa en la definici´on de la siguiente funci´on:

ψ(x, y; d) = e[jπ(x2+y2λD ] (5.1)

Esta funci´on representa una onda esf´erica que diverge y cuyo origen se encuentra a una distancia D del plano (x, y).

Sea un sistema iluminado con luz coherente monocrom´atica de longitud de onda λ que se expande desde el punto O. A una distancia d de este punto se encuentra situada una lente convergente (L1) de focal f10. La escena, representada por una funci´on

bidimensional f (x, y), se coloca a una distancia arbitraria d1 detr´as de esta lente.

Esta disposici´on corresponde al difract´ometro convergente representado en la figura 1.1(c), y la distribuci´on de luz en un plano situado a una distancia d2 de la imagen

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Figura 5.1: Esquema de un correlador convergente de Vander Lugt. F (x0, y0) ∝ +∞Z Z −∞ +∞Z Z −∞ ψ(α, β; d)ψ∗(α, β; f10)ψ(α, β; d1)ψ(α, β; f10)e[−j 2παx+βy λd1 ]×

f (x, y)ψ(x, y; d2)ψ(x0, y0; d2)e[−j2πxx0+yy0λd2 ]dα dβ dxdy (5.2)

La condici´on que se ha de verificar para que esta amplitud corresponda a la transfor-mada de Fourier de la escena multiplicada por una fase cuadr´atica es:

1 f0 1 = −1 d+ 1 d1+ d2 (5.3)

es decir, que la imagen del punto O a trav´es de la lente L1se forme en el plano situado

a distancia d2 de la escena. Denominaremos a este punto imagen O0, mientras que

este plano recibe el nombre de plano de Fourier, puesto que en ´el encontramos la transformada de Fourier de la escena junto con el t´ermino de fase cuadr´atico:

F (x0, y0) ≈ ψ(x0, y0; d2)F (u, v) donde u = x 0

λd2 y v =

y0

λd2 (5.4)

Es en este plano de Fourier donde se coloca el filtro, representado por la funci´on

H(u, v), y por tanto es en este plano donde se realiza el producto de las dos funciones F (u, v)H(u, v). Generalmente, el filtro es una funci´on compleja generada a partir de

la imagen que se desea detectar, representada por la funci´on g(x, y).

Utilizaremos ahora una segunda lente convergente L2 para realizar la segunda

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el representado en la figura 1.1(b), donde el objeto se encuentra delante de la lente, a una distancia d3. Por lo tanto, la distribuci´on de luz en un plano P0 situado a una

distancia d0 de la lente vendr´a dada por la expresi´on [Lab00]:

c(x00, y00) ∝ +∞Z Z −∞ +∞Z Z −∞ F (x0, y0)G∗(u, v)ψ(x0, y0, d3)ψ(α0, β0, d3)e[−j 2πα0x0+β0y0 λd3 ]× ψ∗(α0, β0; f20)ψ(α0, β0; d0)ψ(x00, y00; d0)e[−j2πx00α0+y00β0λd0 ]dα0dβ0dx0dy(5.5)0

En este caso, la condici´on necesaria para que esta relaci´on se reduzca a una transfor-mada de Fourier es:

1 f0 2 = − 1 d2+ d3 + 1 d0 (5.6)

es decir, que la imagen del plano P a trav´es de la lente L2 se encuentre situada en

el plano P0, o plano de correlaci´on, puesto que en ´el se forma la correlaci´on entre

escena y referencia:

c(x00, y00) ∝ ψ(x00, y00; dk)

+∞Z Z

−∞

F (u, v)G∗(u, v)e[−j2π(x0x00+y0y00)d0(d2+d3)λd3 ]dx0dy0=

ψ(x00, y00; dk)f µ d2+ d3 d0 x, d2+ d3 d0 y⊗ g µ d2+ d3 d0 x, d2+ d3 d0 y ¶ (5.7) donde dk = d0 d02 d2

3(d2+ d3). Analizando esta expresi´on se puede observar c´omo en

el plano de correlaci´on aparece la correlaci´on entre la escena y el motivo a detectar escalados y multiplicados por un factor de fase.

5.1.1. Filtros cl´asicos de correlaci´on

Una de las caracter´ısticas principales de los correladores tipo Vander Lugt es la uti-lizaci´on de filtros, o im´agenes generadas a partir del objeto u objetos a reconocer, y que se sit´uan en el plano de Fourier. Tanto el tipo de filtro como su generaci´on son elementos determinantes en el resultado final del proceso de reconocimiento ´optico.

El primer filtro utilizado en un montaje de correlaci´on ´optica fue el denominado filtro adaptado cl´asico ´o MF1 [Lug64]. A partir de una imagen, representada por una

funci´on bidimensional g(x, y), se define el MF como:

HM F(u, v) = G∗(u, v) = |G(u, v)|e−jφ(u,v) (5.8)

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donde |G(u, v)| es la amplitud de la transformada de Fourier de la imagen y φ(u, v) su fase. Este filtro puede ser generado digitalmente y codificado ´opticamente, aunque en un primer momento se propon´ıa el proceso para obtenerlo ´opticamente: en un difract´ometro se realiza la transformada de Fourier ´optica de la imagen g(x, y), es decir, G(u, v), y en una pel´ıcula hologr´afica se registran las interferencias con una onda plana inclinada, tal y como se puede observar en la figura 1.4.

Aunque el MF se comporta de forma ´optima en cuanto a relaci´on se˜nal - ruido2, no

sucede lo mismo cuando se le aplican otros criterios. Esto ha provocado que desde su aparici´on se hayan propuesto diferentes tipos de filtros encaminados todos ellos a optimizar los resultados finales del proceso de correlaci´on.

Una de las modificaciones del MF es el denominado filtro s´olo de fase (POF)3,

introducido en 1984 por Horner y Gianino [HG84], y definido como:

HP OF(u, v) = G (u, v) |G(u, v)| = e

−jφ(u,v) (5.9)

Su principal diferencia con respecto al MF es que en este caso el filtro se genera incor-porando ´unicamente informaci´on de la fase de la transformada de Fourier de la imagen a detectar, cuya importancia hab´ıa quedado evidenciada anteriormente [OL81], man-teniendo la amplitud constante e igual a la unidad. Este filtro de correlaci´on presenta la ventaja de ser m´as discriminante que el filtro anterior, las correlaciones presentan una menor base, y el valor del m´aximo es mayor. Esto hace que su caracter´ıstica m´as destacable sea la optimizaci´on de la eficiencia4, la cual permite tener una idea de la

luz que absorbe el filtro en el proceso de detecci´on. Que el filtro de fase sea ´optimo en cuanto a eficiencia equivale a decir que toda la luz incidente se transmite al plano de correlaci´on, y as´ı este filtro presenta unos valores superiores entre 50 y 500 veces a los del MF [HG84, FH89]. Por contra, el filtro de fase es m´as sensible a distorsiones y a ruido que el MF, puesto que ´este ´ultimo contiene toda la informaci´on de la amplitud.

Al POF se le unir´ıa m´as tarde el filtro inverso (IF)5 [AKJ90, KH90], definido de

forma similar, aunque en este caso la transformada de Fourier de la imagen a detectar

2La relaci´on se˜nal - ruido, o SNR, signal-to-noise ratio, es uno de los par´ametros de calidad

habituales en procesado de se˜nal, y se define como el cociente entre el valor medio del pico de correlaci´on y su varianza. Valores m´as altos de SNR equivalen a detecciones de mayor calidad

3Phase Only Filter

4La eficiencia ´optica de un filtro, o eficiencia de Horner, eval´ua la fracci´on de la energ´ıa total

presente en el plano de entrada que es recogida en el plano de correlaci´on [Cau82]

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se divide por su amplitud al cuadrado:

HIF(u, v) = G∗(u, v)

|G(u, v)|2 =

e−jφ(u,v)

|G(u, v)| (5.10)

El problema principal que presenta este filtro es la aparici´on de singularidades en los puntos en que la amplitud de la transformada se anula, aunque se han propuesto diversos m´etodos para solventar esta dificultad [AKJ90, KH90, MWW88]. De los tres filtros, ´este es el que presenta mayor capacidad de discriminaci´on y su comportamien-to es ´optimo respeccomportamien-to a PCE, o peak-comportamien-to-correlation energy, un par´ametro utilizado para medir la definici´on del pico de correlaci´on, y para el cual el filtro inverso presenta un valor te´orico igual a la unidad [KH90], lo que equivale a decir que toda la energ´ıa que atraviesa el filtro se concentra en el pico de correlaci´on. En cuanto a aspectos a mejorar, ´este es un filtro muy sensible a la presencia de ruido en la escena y presenta una eficiencia ´optica inferior a la de los dos filtros anteriores.

Los tres filtros descritos se comportan de forma ´optima ´unicamente con respecto a uno de los criterios de calidad anteriormente mencionados: as´ı, el MF es ´optimo respecto a SNR, mientras que el POF lo es en cuanto a eficiencia, y el IF, respecto a PCE. Sin embargo, los resultados de cada uno de ellos en los dos otros par´ametros presentan valores bastante pobres. Esto sugiere la posibilidad de dise˜nar filtros que tal vez no se comporten de forma ´optima respecto a ninguno de los tres par´ametros, pero cuyos resultados en el conjunto de los tres sean aceptables. Son los denominados filtros ´optimos (OT)6 [R´ef91], definidos de tal manera que se garantiza que siempre

es posible encontrar un OT que se comporte mejor simult´aneamente para los tres criterios anteriores que cualquier filtro dado. Estos filtros podr´ıan considerarse una generalizaci´on de los tres anteriores, los cuales pasar´ıan a ser simplemente casos particulares de un filtro OT.

5.2.

Descripci´

on del correlador. Dise˜

no b´

asico

De cara a analizar el comportamiento del correlador en funci´on del grado de aberra-ci´on se trabaj´o con un correlador como el que se muestra en la figura 5.2.

Ambos sistemas ´opticos eran lentes biconvexas, cuyas caracter´ısticas m´as relevantes vienen descritas en la tabla 5.1, y se encontraban iluminados por un l´aser con λ = 658 nm.

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Figura 5.2: Configuraci´on b´asica del correlador de Vander Lugt analizado. Configu-raci´on 1.

Sistema Radios de curvatura (mm) Espesor (mm) Material Distancia focal (mm) Lente 1 ±35.489 4.7 vidrio BK7 35.298 Lente 2 ±113.310 4.7 vidrio BK7 110.948

Tabla 5.1: Caracter´ısticas b´asicas de los sistemas ´opticos utilizados en el correlador de Vander Lugt.

De forma equivalente a como suced´ıa en el JTC, tambi´en el dise˜no de este correlador ven´ıa determinado en algunos aspectos por las caracter´ısticas de los elementos optoe-lectr´onicos utilizados. As´ı, tanto la imagen a transformar como el filtro se introduc´ıan en el montaje utilizando unos moduladores BNS de 128×128 p´ıxeles con un interpi-xelado de 40 µm, y unas dimensiones de 5.12×5.12 mm. Teniendo en cuenta estas magnitudes, y utilizando la expresi´on 4.7, la distancia entre ambos moduladores para que la escala de la transformada del objeto y la del filtro coincidiesen deb´ıa estar fijada en el valor de D = P Pλ0 = 40µm·128·40µm658nm ≈ 311.2 mm.

Las dimensiones de los moduladores determinaban nuevamente las condiciones de iluminaci´on del correlador, ya que en el primer difract´ometro la pupila de salida del sistema (primer modulador) deb´ıa estar completamente iluminada, mientras que en el segundo era la pupila de entrada (segundo modulador) la que delimitaba el di´ametro m´ınimo del haz. Esto equival´ıa a fijar un di´ametro para la PS del primer difract´ome-tro de 7.24 mm, mientras que este mismo valor era el correspondiente al di´amedifract´ome-tro de la pupila de entrada del segundo sistema.

En este caso, como objeto a detectar se utiliz´o la imagen de un pez con 256 niveles de gris, y la escena se gener´o situ´andolo en tres posiciones diferentes en el plano corres-pondiente al modulador de entrada: una centrada en la imagen y dos desplazadas respecto a ella, tal y como se muestra en la figura 5.3. De este modo se consegu´ıa que

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la imagen a detectar se viera afectada por grados diferentes de aberraci´on y se pod´ıa analizar la p´erdida (o no) de invarianza espacial en el correlador.

Figura 5.3: Objeto a detectar y escenas. Correlador de Vander Lugt.

As´ı pues, ya tenemos fijados los par´ametros principales del correlador. Ahora bien, a la hora de analizar el comportamiento individual de cada sistema ´optico debe te-nerse en cuenta que la configuraci´on mostrada en la figura 5.2 no necesariamente ha de proporcionar unos valores similares de aberraci´on para el primer y el segun-do difract´ometro. Este aspecto no tendr´ıa mayor importancia si la influencia de la aberraci´on de cada etapa del correlador en el resultado final fuese equivalente, pero tal y como ya se ha se ha analizado previamente en el JTC (apartados 4.3 - 4.5), esta influencia presenta caracter´ısticas muy dispares. En el caso del JTC monoban-co, tanto el primer como el segundo sistema ´optico presentaban el mismo grado de aberraci´on, puesto que la configuraci´on del dispositivo no variaba entre las dos etapas.

Por lo tanto, en el an´alisis del correlador de Vander Lugt se debe tener en cuenta, a priori, el grado de aberraci´on de cada difract´ometro. En la configuraci´on anterior, el valor m´aximo de la aberraci´on en la pupila de salida del primer difract´ometro equival´ıa aproximadamente a 3.7λ, mientras que para el segundo era inferior a 1λ.

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De cara a realizar un estudio m´as pormenorizado se decidi´o incluir el an´alisis de dos nuevas configuraciones: una en la que los valores de aberraci´on de ambos difract´ome-tros fuesen similares, y una tercera en la que la aberraci´on del segundo difract´ometro fuese superior a la del primero.

Manteniendo los valores para la constante de difraccci´on y la iluminaci´on de los mo-duladores, las nuevas distancias de trabajo son las que se muestran en las figuras 5.4 y 5.5. En ambos casos se mantiene constante la configuraci´on del primer difract´ometro, y, por lo tanto, su aberraci´on, mientras que se modifica la correspondiente al segundo difract´ometro: en la configuraci´on 2 su aberraci´on corresponde a aproximadamente 3.5λ, semejante a la del primer difract´ometro, mientras que en la configuraci´on 3 aumenta hasta un valor de 9λ, sensiblemente superior a la del primer difract´ometro.

Figura 5.4: Configuraci´on 2 del correlador de Vander Lugt. Aberraciones similares en ambos difract´ometros.

Figura 5.5: Configuraci´on 3 del correlador de Vander Lugt. Aberraci´on superior en el segundo difract´ometro.

5.3.

An´

alisis de la influencia de los difract´

ometros

5.3.1. Influencia del primer difract´ometro

El procedimiento que se sigui´o para evaluar la influencia de la calidad del sistema ´optico sobre la primera transformada de Fourier y, por lo tanto, en el proceso global de correlaci´on, se bas´o en el c´alculo de correlaciones digitales mediante dos

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trans-formadas de Fourier en cascada. La primera de ellas, correspondiente a la escena, era obtenida mediante la simulaci´on detallada del sistema ´optico real, tal y como se ha descrito anteriormente en la secci´on 3.1. La segunda transformada se calculaba utilizando un algoritmo digital de transformada de Fourier, es decir, asumiendo que el segundo difract´ometro se encontraba libre de aberraciones.

El objetivo era analizar los cambios producidos en los picos de correlaci´on obtenidos en el caso ideal con los calculados mediante este procedimiento, y as´ı la figura 5.6 muestra los valores de los picos de correlaci´on referidos al pico de autocorrelaci´on pa-ra la imagen libre de aberpa-raci´on. Estos valores corresponden a la configupa-raci´on 1 del correlador. Puesto que en este caso ´unicamente se considera la aberraci´on del primer difract´ometro, y la segunda transformada se realiza de forma exacta, los resultados correspondientes a las dos configuraciones restantes son id´enticos a los presentados en la figura 5.6, ya que en ellas ´unicamente se modificaba la configuraci´on del segundo difract´ometro. 0 1 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A l t u r a r e l a t i va a l p i co d e a u t o co r r e l a ci ó n ( % ) Posición escena W 1 > W 2 MF POF IF

Figura 5.6: Alturas relativas a la correlaci´on ideal de los picos de correlaci´on simulados considerando ´unicamente la aberraci´on del primer difract´ometro. Configuraci´on 1.

El comportamiento de los tres filtros es notablemente similar, y cabe destacar el des-censo de la altura relativa de los picos de correlaci´on a medida que la posici´on del objeto se desplaza hacia puntos m´as alejados del centro de la imagen, y afectados, por tanto, por valores m´as altos de aberraci´on. Por lo tanto, los correladores reales, es decir, aquellos en los que se consideran las aberraciones de los sistemas ´opticos que los forman, no son espacialmente invariantes. Esto puede ser un problema a tener en cuenta en situaciones, por ejemplo, de seguimiento de objetos a lo largo de una

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escena compleja, o bien en el caso de trabajar con escenas multiobjeto, con im´agenes a detectar situadas en diferentes posiciones de la escena a analizar. En ambos casos, la elecci´on de un valor umbral a partir del cual discriminar los picos de detecci´on respecto de aquellos picos err´oneos puede resultar sumamente compleja, y variar en funci´on del sistema ´optico utilizado.

5.3.2. Influencia del segundo difract´ometro

El an´alisis del segundo difract´ometro es sensiblemente m´as complicado, puesto que su sistema ´optico recibe frentes de onda provenientes de los m´ultiples ´ordenes de difracci´on situados fuera de eje, los cuales son generados por el modulador donde se muestra el filtro de correlaci´on. Ahora bien, tal y como se coment´o anteriormente en el apartado 2.3, podemos utilizar la ´optica geom´etrica para describir la propagaci´on de la luz entre la pupila de entrada y la de salida del sistema, mientras que los efectos difractivos ´unicamente se consideran durante la propagaci´on desde la pupila de salida hasta el plano imagen.

En el segundo difract´ometro el modulador, donde se realiza la superposici´on entre la transformada de Fourier de la escena y el filtro correspondiente, act´ua de pupila de entrada. Por lo tanto, el c´alculo de la correlaci´on considerando solamente los efectos de la aberraci´on del segundo difract´ometro se puede resumir seg´un el siguiente procedimiento:

1. C´alculo de la transformada de Fourier ideal de la escena mediante un algoritmo FFT, que corresponde al resultado del primer difract´ometro, considerado libre de aberraci´on.

2. C´alculo de la imagen mostrada en el segundo modulador, entendida como el resultado del producto complejo de la transformada de Fourier de la escena por el filtro considerado.

3. Determinaci´on de la posici´on de la pupila de salida del segundo difract´ometro, y de sus aumentos geom´etricos.

4. C´alculo de la aberraci´on del segundo sistema en el plano de la pupila de salida. 5. Multiplicaci´on de la imagen del segundo modulador, obtenida en el paso 2, por los aumentos del segundo difract´ometro, lo que equivale a trasladar esta imagen hasta la pupila de salida.

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6. Propagaci´on de esta imagen hasta el plano de correlaci´on mediante transfor-mada de Fourier digital.

0 1 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A ltu r a r e la t iva a l p ico d e a u t o co r r e la ci ó n (% ) Posición escena W1 > W2 MF POF IF (a) Configuraci´on 1 0 1 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A ltu r a r e la t iva a l p ico d e a u t o co r r e la ci ó n (% ) Posición escena W1 ≈ W2 MF POF IF (b) Configuraci´on 2 0 1 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A ltr u a r e la t iva a l p ico d e a u t o co r r e la ci ó n (% ) Posición escena W 1 < W 2 MF POF IF (c) Configuraci´on 3

Figura 5.7: Alturas relativas a la correlaci´on ideal de los picos de correlaci´on simulados considerando ´unicamente la aberraci´on del segundo difract´ometro. Configuraciones 1, 2 y 3.

De la observaci´on de los resultados obtenidos (figura 5.7) se puede concluir que la caracter´ıstica m´as importante introducida por el segundo difract´ometro es un des-censo significativo de la altura de los picos de correlaci´on, incluso en la posici´on 0, correspondiente a la imagen centrada del pez. Este descenso, por otra parte, afecta por igual a todos los puntos de la escena, es decir, es independiente de la posici´on de la escena dentro del plano objeto. Esta disminuci´on en los valores se manifiesta especialmente al utilizar el filtro inverso, mientras que por contra, el filtro adaptado se muestra bastante resistente a este efecto. Por otro lado, tal y como era de esperar, a medida que aumenta el valor de la aberraci´on, tanto mayor es el descenso en la altura de los picos, y as´ı, por ejemplo podemos llegar a obtener valores inferiores al 20 %, tal y como sucede con la configuraci´on 3 al utilizar el filtro inverso.

5.3.3. An´alisis del proceso global

Finalmente, vamos a considerar el caso en que tenemos en cuenta los efectos de la aberraci´on en la correlaci´on final de tanto el primer como el segundo difract´ometro. En este caso, se propaga la imagen aberrada presente en el primer modulador hasta el plano correspondiente a la posici´on del segundo modulador (imagen paraxial del punto objeto), donde se multiplica por el filtro. El resultado de este producto se tras-lada al plano donde se encuentra la pupila de salida del segundo sistema, es decir, la imagen de este modulador, puesto que ´este act´ua de pupila de entrada. Es en este plano donde se le a˜nade la aberraci´on correspondiente, para finalmente propagar el

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resultado hasta el plano de correlaci´on. 0 1 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A ltu ra r e la t iva a l p i co d e a u to co r r e la ci ó n ( % ) Posición escena W 1 > W 2 MF POF IF (a) Configuraci´on 1 0 1 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A ltu r a r e la t iva a l p ico d e a u to co r r e la ci ó n (% ) Posición escena W 1≈ W 2 MF POF IF (b) Configuraci´on 2 0 1 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A ltu ra r e la t iva a l p i co d e a u to co r r e la ci ó n ( % ) Posición escena W1 < W2 MF POF IF (c) Configuraci´on 3

Figura 5.8: Alturas relativas a la correlaci´on ideal de los picos de correlaci´on simulados considerando la aberraci´on de ambos difract´ometros. Configuraciones 1, 2 y 3.

En este caso tambi´en se analizaron las tres configuraciones del correlador, y, tal y como se puede apreciar en la figura 5.8, los resultados coinciden con lo previsto inicialmente:

1. la influencia de la aberraci´on del primer difract´ometro genera varianza espacial, de manera que posiciones m´as alejadas del eje ´optico, y por lo tanto, con valores m´as altos de aberraci´on, equivalen a altura de picos de correlaci´on menores. 2. la aberraci´on del segundo difract´ometro provoca un descenso generalizado en

la altura de los picos de correlaci´on, tanto m´as acusado cuanto mayor es la aberraci´on del sistema.

3. el filtro adaptado mantiene una cierta robustez a la influencia de la aberraci´on, con valores superiores al 40 % incluso en las situaciones m´as desfavorables. 4. tanto el filtro inverso como el de fase resultan especialmente sensibles a los

efectos de la aberraci´on, llegando a valores inferiores al 10 %.

Las figuras 5.9 - 5.11 muestran representaciones tridimensionales de la intensidad de correlaci´on entre las im´agenes de la figura 5.3 y los tres filtros generados a partir del objeto libre de aberraci´on, para cada una de las configuraciones del correlador analizadas. En cada una de estas figuras, las filas se corresponden a las tres posiciones posibles de la escena, mientras que las columnas indican el tipo de filtro utilizado: adaptado, de fase e inverso. Por otro lado, los cuatro picos en cada una de las im´agenes se corresponden a las diferentes posibilidades que se consideraron al tener en cuenta la aberraci´on de cada difract´ometro:

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Considerar ambos difract´ometros libres de aberraci´on.

Considerar ´unicamente la aberraci´on del primer difract´ometro. Considerar ´unicamente la aberraci´on del segundo difract´ometro. Considerar la aberraci´on en ambos difract´ometros.

5.4.

Influencia de la posici´

on de los moduladores

respec-to de los sistemas ´

opticos

En el apartado 4.3.4 se propuso un m´etodo para mejorar los valores de los picos de correlaci´on obtenidos en el JTC. A partir del an´alisis de la evoluci´on de los picos al desplazar el plano de captaci´on, y de la influencia de la aberraci´on del primer y del segundo difract´ometro, se realizaba la captaci´on del JPS en el plano en que la esta-bilidad de los picos era m´as elevada, mientras que la captaci´on de la correlaci´on final se realizaba en el plano en que el descenso de los valores de los picos de correlaci´on debido a la influencia del segundo difract´ometro era menor. Ahora bien, esta confi-guraci´on corresponder´ıa a un dispositivo experimental que operara con dos montajes difractivos independientes, o bien con un solo difract´ometro al cual se le modificara la posici´on del plano de captaci´on entre ambas transformadas.

En el caso que nos ocupa, ambos sistemas ´opticos no act´uan de forma independiente, sino que se encuentran ligados por la distancia entre los dos moduladores, la cual permite que la escala de la transformada de Fourier de la escena se ajuste a la del filtro. Esto hace que modificar esta distancia, reduci´endola, por ejemplo, lo que equi-valdr´ıa a colocar el filtro en un plano diferente del paraxial, y m´as cercano al primer sistema ´optico, resulte inviable sin modificar otros par´ametros del sistema, como por ejemplo, el interpixelado de los moduladores, la longitud de onda de la luz utilizada o la distancia focal de los sistemas ´opticos.

Si nos ce˜nimos a una situaci´on cercana a la realidad, resulta m´as adecuado despla-zar el conjunto formado por ambos moduladores, manteniendo fija la distancia entre ellos. Esto se traduce en varios efectos: por un lado, desplazar el primer modulador equivale a modificar la posici´on de la pupila de salida del primer sistema, y, por lo tanto, la aberraci´on de este difract´ometro. Por otra parte, estamos desplazando tam-bi´en el punto objeto del segundo difract´ometro, as´ı como la posici´on de su pupila de

(16)

Posici´on 1

Posici´on 2

Posici´on 3

(a) Filtro adaptado (b) Filtro de fase (c) Filtro inverso

Figura 5.9: Representaciones tridimensionales de la intensidad de la correlaci´on simu-lada para las tres posiciones de la escena y cuatro supuestos: a) correlaci´on ideal, b) correlaci´on considerando ´unicamente la aberraci´on del primer difract´ometro, c) corre-laci´on considerando ´unicamente la aberraci´on del segundo difract´ometro, d) correla-ci´on considerando la aberracorrela-ci´on del primer y del segundo difract´ometros. Configura-ci´on 1.

(17)

Posici´on 1

Posici´on 2

Posici´on 3

(a) Filtro adaptado (b) Filtro de fase (c) Filtro inverso

Figura 5.10: Representaciones tridimensionales de la intensidad de la correlaci´on simulada para las tres posiciones de la escena y cuatro supuestos: a) correlaci´on ideal, b) correlaci´on considerando ´unicamente la aberraci´on del primer difract´ome-tro, c) correlaci´on considerando ´unicamente la aberraci´on del segundo difract´ometro, d) correlaci´on considerando la aberraci´on del primer y del segundo difract´ometros. Configuraci´on 2.

(18)

Posici´on 1

Posici´on 2

Posici´on 3

(a) Filtro adaptado (b) Filtro de fase (c) Filtro inverso

Figura 5.11: Representaciones tridimensionales de la intensidad de la correlaci´on simulada para las tres posiciones de la escena y cuatro supuestos: a) correlaci´on ideal, b) correlaci´on considerando ´unicamente la aberraci´on del primer difract´ome-tro, c) correlaci´on considerando ´unicamente la aberraci´on del segundo difract´ometro, d) correlaci´on considerando la aberraci´on del primer y del segundo difract´ometros. Configuraci´on 3.

(19)

entrada. Esto modificar´a la posici´on de la pupila de salida, el c´alculo de los aumentos del sistema y, finalmente, influir´a en el valor de la aberraci´on del segundo difract´ome-tro.

Se procedi´o a realizar un estudio detallado de la evoluci´on de los picos de correlaci´on para diferentes desplazamientos de ambos correladores respecto a la configuraci´on inicial (figura 5.2). Se decidi´o analizar un conjunto de 12 posiciones diferentes (in-cluida la posici´on del plano paraxial), considerando la aberraci´on debida a ambos difract´ometros. Debe tenerse en cuenta, por otra parte, que desplazar los modulado-res tambi´en implica modificar los valomodulado-res de abertura de ambos sistemas, de manera que se mantenga fijo el di´ametro de la pupila de salida (en el primer difract´ometro) y el de la pupila de entrada (en el segundo difract´ometro), pues ambos quedan deter-minados por las dimensiones de los moduladores. Los resultados obtenidos para cada uno de los filtros utilizados son los que se muestran en la figura 5.12.

Si analizamos con detalle estos resultados vemos como a medida que desplazamos ambos moduladores hacia el primer sistema ´optico (desplazamientos negativos), tan-to para el filtro adaptado como para el de fase, y para las tres posiciones de la escena, aumentan los valores de los picos de correlaci´on. En el caso del filtro inverso esta ten-dencia se mantiene para la posici´on m´as alejada del eje ´optico (posici´on 2), mientras que los valores para las otras dos posiciones disminuyen ligeramente. As´ı pues, se puede concluir que reducir la distancia entre el primer sistema ´optico y el conjunto de ambos moduladores, manteniendo fija la separaci´on entre ambos, mejora los re-sultados de la detecci´on.

Ahora bien, ya hemos comentado anteriormente que este desplazamiento implica tam-bi´en una variaci´on en los valores de la aberraci´on tanto del primer como del segundo difract´ometro. Por lo tanto, tal vez esta mejora en la correlaci´on final sea debida a una disminuci´on en la aberraci´on de los sistemas y no s´olo a que las transformadas sean mejores en otro plano. Para descartar o confirmar este aspecto, se calcul´o el valor de la aberraci´on en cada uno de los planos analizados para ambos sistemas:

Para el primer difract´ometro, los valores de aberraci´on oscilaban entre las 4.17λ para el plano situado en la posici´on +15 y las 2.83λ correspondiente al plano situado en la posici´on -20, con una disminuci´on gradual para los planos que se encuentran entre ambos. Por lo tanto, la aberraci´on del primer sistema dismi-nuye a medida disminuimos su distancia a ambos moduladores.

(20)

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A lt u r a r e l a t i va a l p i co d e a u t o co r r e l a ci ó n ( % )

Desplazamiento de los moduladores (mm) MF (Ab. global)

Posición 0 Posición 1 Posición 2

(a) Filtro adaptado

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A l t u r a r e l a t i va a l p i co d e a u t o co r r e l a ci ó n ( % )

Desplazamiento de los moduladores (mm) POF (Ab. global)

Posición 0 Posición 1 Posición 2 (b) Filtro de fase -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A l t u r a r e l a t i va a l p i co d e a u t o co r r e l a ci ó n ( % )

Desplazamiento de los moduladores (mm) IF (Ab. global)

Posición 0 Posición 1 Posición 2

(c) Filtro inverso

Figura 5.12: Evoluci´on de la altura relativa a la correlaci´on ideal de los picos de correlaci´on simulados en funci´on de la posici´on relativa de los moduladores respecto de los sistemas ´opticos considerando la aberraci´on de ambos difract´ometros.

(21)

En el caso del segundo difract´ometro, estos valores eran de 0.74λ para el plano de posici´on +15 y de 0.96λ para el plano situado en la posici´on -20, variando de manera progresiva entre uno y otro. Esto quiere decir que la aberraci´on del segundo difract´ometro disminuye cuando la distancia entre los moduladores y el segundo sistema ´optico se reduce.

5.5.

Generaci´

on de filtros adaptados a sistemas ´

opticos

aberrados

Una de las posibilidades que ofrece el correlador de Vander Lugt es la amplia gama de filtros que se pueden generar. En nuestro caso hemos estado trabajando con filtros generados a partir de la imagen a detectar (mostrada en la figura 5.3). Ahora bien, en el caso real de un correlador, la imagen que se superpone con el filtro no es la imagen ideal, libre de aberraci´on, tal y como se muestra en la figura anterior, sino que esta imagen se ver´a modificada por las aberraciones introducidas por los sistemas ´opticos presentes en el correlador. Parece por tanto adecuado realizar un dise˜no de filtros m´as espec´ıfico para el correlador con el que estemos trabajando, teniendo en cuenta este aspecto. Esto equivale a dise˜nar los filtros no a partir de la imagen ideal a detectar, sino a partir de esta imagen una vez ha sido modificada por las aberraciones.

Sin embargo hay que tener en cuenta que esta posibilidad, es decir, el poder compensar la aberraci´on del sistema ´optico a partir de un dise˜no inteligente de los filtros, impli-ca un proceso diferente en funci´on del difract´ometro que estemos considerando. As´ı, mientras se trabaja considerando ´unicamente la aberraci´on del primer difract´ometro, el filtro debe dise˜narse a partir de la imagen afectada por esta aberraci´on, de manera que permita detectar exactamente la imagen de la cual vamos a realizar su transfor-mada. Por el contrario, al considerar la aberraci´on del segundo difract´ometro, puesto que esta aberraci´on influye de forma posterior a la introducci´on del filtro, ´este debe generarse incorporando la fase conjugada de la aberraci´on del difract´ometro, de modo que en el proceso global quede de esta manera compensada.

As´ı pues, podr´ıamos llegar a generar cuatro conjuntos de filtros, en funci´on de los aspectos a analizar:

1. Filtros generados a partir de la imagen sin aberrar.

(22)

del primer difract´ometro.

3. Filtros generados a partir de la imagen afectada ´unicamente por la aberraci´on ”conjugada” del segundo difract´ometro.

4. Filtros generados a partir de la imagen afectada por la aberraci´on de ambos difract´ometros.

Teniendo todos estos aspectos en cuenta, los resultados que se obtuvieron en las si-mulaciones realizadas para la configuraci´on con aberraciones similares para ambos difract´ometros (configuraci´on 2) son los que se muestran en la figura 5.13. En esta figura, las columnas se corresponden a cada uno de los filtros generados (MF, POF o IF), mientras que las filas se refieren al grado de aberraci´on considerado: ´unicamente en el primer difract´ometro, ´unicamente en el segundo difract´ometro, o en ambos. Para su comparaci´on se muestran igualmente los resultados correspondientes al caso en que el filtro se encontraba generado a partir de la imagen sin aberrar, y que ya se hab´ıan mostrado previamente en las figuras 5.6, 5.7 y 5.8.

De la observaci´on de estos resultados podemos deducir una serie de consideraciones: el aspecto m´as destacado es la mejora sustancial en todos los casos de los valores correspondientes a la altura de los picos de correlaci´on, en comparaci´on con los valo-res corvalo-respondientes al supuesto en que los filtros utilizados hubiesen sido generados a partir de la imagen ideal, libre de aberraciones. Tal y como ser´ıa de esperar, esta mejora alcanza su nivel m´as alto cuando analizamos los datos correspondientes a la detecci´on de la imagen a partir de la que se ha generado el filtro. As´ı, por ejemplo, para la posici´on 0, la correspondiente al pez centrado en la imagen, en todos los casos se consigue un valor del 100 % en la altura del pico, mejorando de forma evidente los resultados previos, especialmente los referidos a los filtros de fase e inverso en el caso de considerar la aberraci´on en el proceso global.

Resulta destacable c´omo se recupera este valor del 100 % independientemente de la posici´on de la escena al considerar ´unicamente la aberraci´on del segundo difract´ome-tro. Ya se coment´o anteriormente que en este supuesto se produc´ıa una variaci´on en la altura de los picos, pero que se manten´ıa la invarianza espacial. Por lo tanto, si ahora ya no se produce este descenso en la altura de los picos, y al mismo tiempo se mantiene un valor constante para todos ellos, el resultado es un valor global del 100 %.

(23)

0 1 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A lt u r a r e sp e ct o a l p ico d e a u t o co r r e la ci ó n ( % ) Posición de la escena MF (considerando aber. sólo en 1r difract.)

Filtro generado con imagen sin aberrar Filtro generado con imagen + aber. 1r difract.

0 1 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A ltu r a r e sp e ct o p ico d e a u to co r r e la ci ó n ( % ) Posición de la escena POF (considerando aber. sólo en 1r difract.)

Filtro generado con imagen sin aberrar Filtro generado con imagen + aber. 1r difract.

0 1 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A ltu r a r e sp e ct o p ico d e a u to co r r e la ci ó n ( % ) Posición de la escena IF (considerando aber. sólo en 1r difract.)

Filtro generado con imagen sin aberrar Filtro generado con imagen + aber. 1r difract.

0 1 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A l tu r a re sp e ct o p i co d e a u to co r r re la ci ó n ( % ) Posición de la escena MF (considerando aber. sólo en 2n difract.)

Filtro generado con imagen sin aberrar Filtro generado con imagen + aber. 2n difract.

0 1 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A lt u r a r e sp e ct o p ico d e a u t o co r re la ci ó n ( % ) Posición de la escena POF (considerando aber. sólo en 2n difract.)

Filtro generado con imagen sin aberrar Filtro generado con imagen + aber. 2n difract.

0 1 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A lt u r a r e sp e ct o p ico d e a u t o co r re la ci ó n ( % ) Posición de la escena IF (considerando aber. sólo en 2n difract.)

Filtro generado con imagen sin aberrar Filtro generado con imagen + aber. 2n difract.

0 1 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A l tu r a re sp e ct o p ico d e a u to co r r e la ci ó n (% ) Posición de la escena MF (considerando aber. global)

Filtro generado con imagen sin aberrar Filtro generado con imagen + aber. global

(a) Filtro adaptado

0 1 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A l tu r a re sp e ct o p ico d e a u to co r r e la ci ó n (% ) Posición de la escena POF (considerando aber. global)

Filtro generado con imagen sin aberrar Filtro generado con imagen + aber. global

(b) Filtro de fase 0 1 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A lt u r a r e l a tiva a l p ico d e a u to co r r e la ci ó n ( % ) Posición de la escena IF (considerando aber. global)

Filtro generado con imagen sin aberrar Filtro generado con imagen + aber. global

(c) Filtro inverso

Figura 5.13: Alturas relativas a la correlaci´on ideal de los picos de correlaci´on simu-lados para las tres posiciones de la escena y tres supuestos: correlaci´on considerando ´

unicamente la aberraci´on del primer difract´ometro, ´unicamente la del segundo di-fract´ometro, o la de ambos, mediante la utilizaci´on de filtros generados incluyendo la aberraci´on del primer difract´ometro, del segundo o la del proceso global. Configura-ci´on 2.

(24)

Finalmente, de manera similar al apartado 5.3.3, las figuras 5.14 - 5.17 muestran representaciones tridimensionales de la intensidad de correlaci´on. Cada una de es-tas figuras se corresponde con uno de los cuatro conjuntos de filtros especificados anteriormente, y en todas ellas las filas se corresponden a cada una de las tres po-siciones posibles de la escena, mientras que las columnas indican el tipo de filtro utilizado: adaptado, de fase e inverso. Igualmente, los cuatro picos se refieren a las diferentes posibilidades que se consideraron al tener en cuenta la aberraci´on de cada difract´ometro:

Considerar ambos difract´ometros libres de aberraci´on. Caso ideal7.

Considerar ´unicamente la aberraci´on del primer difract´ometro.

Considerar ´unicamente la aberraci´on del segundo difract´ometro.

Considerar la aberraci´on en ambos difract´ometros.

5.6.

Dise˜

no de un correlador de Vander Lugt ´

optimo

En los apartados anteriores se han analizado diferentes aspectos de la influencia de las aberraciones de los sistemas ´opticos en el proceso final de correlaci´on en un correlador de Vander Lugt. Tambi´en se han propuesto una serie de m´etodos para aumentar la altura de los picos de correlaci´on y mejorar la invarianza espacial del dispositivo. El prop´osito de este apartado es el de recoger todo este conjunto de resultados en un ´

unico dise˜no utilizando como base la configuraci´on mostrada en la figura 5.2.

Para dise˜nar este correlador se tendr´an en cuenta dos aspectos principales: por un lado, la evoluci´on de la altura de los picos de correlaci´on en funci´on de la posici´on de los moduladores con respecto a los sistemas ´opticos, analizada en el apartado 5.4, y por otro lado los resultados obtenidos utilizando los filtros adaptados a la aberraci´on de los difract´ometros.

Del an´alisis de los resultados mostrados en la figura 5.12, y a partir del c´alculo de los valores de aberraci´on en posiciones extremas de los moduladores, se observ´o que a medida que la separaci´on entre el primer sistema ´optico y el primer modulador disminu´ıa, el valor de la aberraci´on introducida por el primer difract´ometro tambi´en

(25)

Posici´on 1

Posici´on 2

Posici´on 3

(a) Filtro adaptado (b) Filtro de fase (c) Filtro inverso

Figura 5.14: Representaciones tridimensionales de la intensidad de la correlaci´on simulada para las tres posiciones de la escena y cuatro supuestos: a) correlaci´on ideal, b) correlaci´on considerando ´unicamente la aberraci´on del primer difract´ome-tro, c) correlaci´on considerando ´unicamente la aberraci´on del segundo difract´ometro, d) correlaci´on considerando la aberraci´on del primer y del segundo difract´ometros. Filtros generados a partir de la imagen sin aberraci´on. Configuraci´on 2.

(26)

Posici´on 1

Posici´on 2

Posici´on 3

(a) Filtro adaptado (b) Filtro de fase (c) Filtro inverso

Figura 5.15: Representaciones tridimensionales de la intensidad de la correlaci´on si-mulada para las tres posiciones de la escena y cuatro supuestos: a) correlaci´on ideal, b) correlaci´on considerando ´unicamente la aberraci´on del primer difract´ometro, c) correlaci´on considerando ´unicamente la aberraci´on del segundo difract´ometro (sin trascendencia real, en este caso), d) correlaci´on considerando la aberraci´on del pri-mer y del segundo difract´ometros. Filtros generados a partir de la imagen afectada por la aberraci´on del primer difract´ometro. Configuraci´on 2.

(27)

Posici´on 1

Posici´on 2

Posici´on 3

(a) Filtro adaptado (b) Filtro de fase (c) Filtro inverso

Figura 5.16: Representaciones tridimensionales de la intensidad de la correlaci´on si-mulada para las tres posiciones de la escena y cuatro supuestos: a) correlaci´on ideal, b) correlaci´on considerando ´unicamente la aberraci´on del primer difract´ometro (sin trascendencia real, en este caso), c) correlaci´on considerando ´unicamente la aberra-ci´on del segundo difract´ometro, d) correlaaberra-ci´on considerando la aberraaberra-ci´on del primer y del segundo difract´ometros. Filtros generados a partir de la imagen afectada por la aberraci´on del segundo difract´ometro. Configuraci´on 2.

(28)

Posici´on 1

Posici´on 2

Posici´on 3

(a) Filtro adaptado (b) Filtro de fase (c) Filtro inverso

Figura 5.17: Representaciones tridimensionales de la intensidad de la correlaci´on si-mulada para las tres posiciones de la escena y cuatro supuestos: a) correlaci´on ideal, b) correlaci´on considerando ´unicamente la aberraci´on del primer difract´ometro, c) corre-laci´on considerando ´unicamente la aberraci´on del segundo difract´ometro d) correla-ci´on considerando la aberracorrela-ci´on del primer y del segundo difract´ometros. Filtros generados a partir de la imagen afectada por la aberraci´on de ambos difract´ometros. Configuraci´on 2.

(29)

era menor. De forma paralela, aproximar el segundo modulador al segundo sistema ´optico tambi´en provocaba una disminuci´on de la aberraci´on del segundo difract´ometro. Por lo tanto, parece l´ogico suponer que cuanto menor sean estas distancias (L1 -SLM1 y SLM2 - L2), tanto menor ser´a la aberraci´on introducida por cada una de las etapas del correlador, de manera que la configuraci´on ´optima se corresponda a elimi-nar completamente la separaci´on entre los sistemas y los moduladores, tal y como se muestra en la figura 5.18. Esta configuraci´on presenta para el primer difract´ometro un valor m´aximo de la aberraci´on de 1.95λ, mientras que para el segundo difract´ome-tro la aberraci´on correspondiente es de ´unicamente 0.06λ.

Figura 5.18: Configuraci´on ´optima del correlador de Vander Lugt.

Finalmente, tal y como se ha comentado en el apartado anterior 5.5, la utilizaci´on de filtros adaptados a la aberraci´on de cada difract´ometro, de manera que en el proceso de correlaci´on real sean eliminados sus efectos, mejora sensiblemente los resultados obtenidos. La figura 5.19 muestra los resultados que se obtuvieron en las simulacio-nes realizadas para la configuraci´on anterior. De forma semejante a los resultados presentados en la figura 5.13, las columnas se corresponden a cada uno de los filtros generados (MF, POF o IF), mientras que las filas se refieren a la aberraci´on con-siderada, ya sea ´unicamente en el primer difract´ometro, ´unicamente en el segundo difract´ometro, o en ambos. De cara a poder evaluar la bondad de los resultados se encuentran resaltados los correspondientes a filtros generados a partir de la imagen sin aberrar y los relativos a los filtros dise˜nados incorporando la informaci´on sobre la aberraci´on de ambos difract´ometros.

Las figuras 5.20 - 5.23 muestran las representaciones tridimensionales de la intensidad de correlaci´on. Cada uno de estos conjuntos de im´agenes se han generado utilizando

(30)

0 1 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A lt u r a r e la tiva a l p i co d e a u to co r r e la ci ó n ( % ) Posición de la escena MF (considerando aber. sólo en 1r difract.)

Filtro generado con imagen sin aberrar Filtro generado con imagen + aber. 1r difract.

0 1 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A lt u r a r e la tiva a l p i co d e a u to co r r e la ci ó n ( % ) Posición de la escena POF (considerando aber. sólo en 1r difract.)

Filtro generado con imagen sin aberrar Filtro generado con imagen + aber. 1r difract.

0 1 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A lt u r a r e la tiva a l p i co d e a u to co r r e la ci ó n ( % ) Posición de la escena IF (considerando aber. sólo en 1r difract.)

Filtro generado con imagen sin aberrar Filtro generado con imagen + aber. 1r difract.

0 1 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A ltu ra r e la t iva a l p ico d e a u t o co r re la ci ó n ( % ) Posición de la escena MF (considerando aber. sólo en 2n difract.)

Filtro generado con imagen sin aberrar Filtro generado con imagen + aber. 2n difract.

0 1 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A ltu ra r e la t iva a l p ico d e a u t o co r re la ci ó n ( % ) Posición de la escena POF (considerando aber. sólo en 2n difract.)

Filtro generado con imagen sin aberrar Filtro generado con imagen + aber. 2n difract.

0 1 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A ltu ra r e la t iva a l p ico d e a u t o co r re la ci ó n ( % ) Posición de la escena IF (considerando aber. sólo en 2n difract.)

Filtro generado con imagen sin aberrar Filtro generado con imagen + aber. 2n difract.

0 1 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A lt u ra r e la t iva a l p ico d e a u to co r r e la ci ó n (% ) Posición de la escena MF (considerando aber. global)

Filtro generado con imagen sin aberrar Filtro generado con imagen + aber. global

(a) Filtro adaptado

0 1 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A lt u ra r e la t iva a l p ico d e a u to co r r e la ci ó n (% ) Posición de la escena POF (considerando aber. global)

Filtro generado con imagen sin aberrar Filtro generado con imagen + aber. global

(b) Filtro de fase 0 1 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A lt u ra r e la t iva a l p ico d e a u to co r r e la ci ó n (% ) Posición de la escena IF (considerando aber. global)

Filtro generado con imagen sin aberrar Filtro generado con imagen + aber. global

(c) Filtro inverso

Figura 5.19: Alturas relativas a la correlaci´on ideal de los picos de correlaci´on simu-lados para las tres posiciones de la escena y tres supuestos: correlaci´on considerando ´

unicamente la aberraci´on del primer difract´ometro, ´unicamente la del segundo di-fract´ometro, o la de ambos, mediante la utilizaci´on de filtros generados incluyendo la aberraci´on del primer difract´ometro, del segundo o la del proceso global. Configura-ci´on ´optima del correlador.

(31)

uno de los cuatro tipos de filtros especificados anteriormente. As´ı, para obtener las correlaciones de la figura 5.20 se han utilizado los filtros MF, POF y IF generados a partir de la imagen centrada del pez sin aberraci´on; las de la figura 5.21 se obtuvieron mediante la utilizaci´on de los filtros generados a partir de la imagen centrada del pez modificada por la aberraci´on del primer difract´ometro8; para obtener las

correlacio-nes de la figura 5.22 se utilizaron filtros dise˜nados a partir de la imagen centrada del pez afectada por la aberraci´on conjugada del segundo difract´ometro9. Finalmen-te, el conjunto mostrado en la figura 5.23 corresponder´ıa al caso en que los filtros se dise˜naron a partir de la imagen centrada del pez afectada por la aberraci´on del primer difract´ometro y la aberraci´on conjugada del segundo. En todos los casos, de todas maneras, el valor de referencia corresponde a la correlaci´on ideal, considerando ambos difract´ometros libres de aberraci´on, y con los filtros generados, por lo tanto, a partir de la imagen sin aberraci´on.

Del mismo modo que suced´ıa en otros conjuntos similares ya mostrados (ver figura 5.9), las filas se corresponden a cada una de las tres posiciones posibles de la escena, mientras que las columnas indican el tipo de filtro utilizado: adaptado, de fase e inverso. Por ´ultimo, los cuatro picos se refieren a las diferentes posibilidades que se consideraron al tener en cuenta la aberraci´on de cada difract´ometro:

Considerar ambos difract´ometros libres de aberraci´on. Caso ideal10. Considerar ´unicamente la aberraci´on del primer difract´ometro. Considerar ´unicamente la aberraci´on del segundo difract´ometro. Considerar la aberraci´on de ambos difract´ometros.

8En este caso la correlaci´on correspondiente al supuesto en que s´olo se considera la aberraci´on

del segundo difract´ometro tiene un sentido exclusivamente acad´emico, sin trascendencia real.

9En este caso la correlaci´on correspondiente al supuesto en que s´olo se considera la aberraci´on

del primer difract´ometro tiene un sentido exclusivamente acad´emico, sin trascendencia real.

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Posici´on 1

Posici´on 2

Posici´on 3

(a) Filtro adaptado (b) Filtro de fase (c) Filtro inverso

Figura 5.20: Representaciones tridimensionales de la intensidad de la correlaci´on si-mulada para las tres posiciones de la escena y cuatro supuestos: a) correlaci´on ideal, b) correlaci´on considerando ´unicamente la aberraci´on del primer difract´ometro, c) corre-laci´on considerando ´unicamente la aberraci´on del segundo difract´ometro, d) corre-laci´on considerando la aberraci´on del primer y del segundo difract´ometros. Filtros generados a partir de la imagen sin aberraci´on. Configuraci´on ´optima del correlador.

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Posici´on 1

Posici´on 2

Posici´on 3

(a) Filtro adaptado (b) Filtro de fase (c) Filtro inverso

Figura 5.21: Representaciones tridimensionales de la intensidad de la correlaci´on si-mulada para las tres posiciones de la escena y cuatro supuestos: a) correlaci´on ideal, b) correlaci´on considerando ´unicamente la aberraci´on del primer difract´ometro, c) correlaci´on considerando ´unicamente la aberraci´on del segundo difract´ometro (sin trascendencia real, en este caso), d) correlaci´on considerando la aberraci´on del pri-mer y del segundo difract´ometros. Filtros generados a partir de la imagen afectada por la aberraci´on del primer difract´ometro. Configuraci´on ´optima del correlador.

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Posici´on 1

Posici´on 2

Posici´on 3

(a) Filtro adaptado (b) Filtro de fase (c) Filtro inverso

Figura 5.22: Representaciones tridimensionales de la intensidad de la correlaci´on si-mulada para las tres posiciones de la escena y cuatro supuestos: a) correlaci´on ideal, b) correlaci´on considerando ´unicamente la aberraci´on del primer difract´ometro (sin trascendencia real, en este caso), c) correlaci´on considerando ´unicamente la aberra-ci´on del segundo difract´ometro, d) correlaaberra-ci´on considerando la aberraaberra-ci´on del primer y del segundo difract´ometros. Filtros generados a partir de la imagen afectada por la aberraci´on del segundo difract´ometro. Configuraci´on ´optima del correlador.

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Posici´on 1

Posici´on 2

Posici´on 3

(a) Filtro adaptado (b) Filtro de fase (c) Filtro inverso

Figura 5.23: Representaciones tridimensionales de la intensidad de la correlaci´on si-mulada para las tres posiciones de la escena y cuatro supuestos: a) correlaci´on ideal, b) correlaci´on considerando ´unicamente la aberraci´on del primer difract´ometro, c) corre-laci´on considerando ´unicamente la aberraci´on del segundo difract´ometro, d) corre-laci´on considerando la aberraci´on del primer y del segundo difract´ometros. Filtros generados a partir de la imagen afectada por la aberraci´on de ambos difract´ometros. Configuraci´on ´optima del correlador.

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5.7.

Consideraciones generales

En los apartados anteriores se han analizado los resultados obtenidos al estudiar di-ferentes aspectos del proceso de correlaci´on en un correlador convergente de Vander Lugt. Esta secci´on pretende sintetizarlos, de modo que sirva para otorgar una visi´on global de c´omo las aberraciones de los sistemas ´opticos modifican los picos de corre-laci´on, as´ı como de cu´ales son algunas de las estrategias que se pueden utilizar para minimizar sus efectos.

En el estudio anterior se ha dise˜nado un correlador de Vander Lugt formado por dos lentes biconvexas, y una vez efectuado el estudio de los resultados para diferentes configuraciones del conjunto, se ha intentado reducir la influencia de las aberraciones. Para ello se han seguido dos procedimientos: por un lado, modificar la configuraci´on original mediante el desplazamiento del conjunto de ambos moduladores respecto de los sistemas ´opticos, y por otra parte, dise˜nando filtros que compensasen la aberraci´on introducida por los sistemas ´opticos. Finalmente, a la vista de los efectos observados se propone una configuraci´on ´optima.

Influencia de la aberraci´on de cada difract´ometro en la correlaci´on final Se ha dise˜nado un correlador convergente de Vander Lugt que utiliza como sistemas ´opticos dos lentes biconvexas, y una fuente de luz coherente con λ = 658 nm. Tanto la imagen a transformar como el filtro se introducen en el montaje utilizando unos moduladores BNS de 128×128 p´ıxeles con un interpixelado de 40 µm, y unas dimen-siones de 5.12×5.12 mm. Como objeto a detectar se ha utilizado la imagen de un pez con 256 niveles de gris, y las escenas se han generado situ´andolo en tres posiciones diferentes en el plano correspondiente al modulador de entrada: una centrada en la imagen y dos desplazadas respecto a ella. De este modo se consigue que la imagen a detectar se vea afectada por grados diferentes de aberraci´on.

Se han calculado las aberraciones de cada uno de los difract´ometros para tres configu-raciones diferentes del correlador anterior, correspondientes a otras tantas distancias entre el segundo modulador y el segundo sistema ´optico. Esta variaci´on influye en el valor de la aberraci´on m´axima introducida por el segundo difract´ometro, de modo que se han analizado configuraciones donde la aberraci´on del primer difract´ometro era sensiblemente superior a la del segundo; donde ambas ten´ıan valores similares, y una tercera en que la aberraci´on del segundo difract´ometro era superior a la del

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primero. De este modo se pretende que la diferencia relativa entre ambas aberraciones no altere el an´alisis de la altura de los picos de correlaci´on.

Independientemente de la configuraci´on utilizada, se comprueba que la influencia de la aberraci´on del primer difract´ometro, de forma similar a como ocurr´ıa al estudiar el JTC, se traduce fundamentalmente en una disminuci´on progresiva de la altura de los picos de correlaci´on a medida que la escena se ve afectada por valores m´as altos de aberraci´on, es decir, a medida que la imagen se aleja del centro de la imagen. Del mismo modo, se ha comprobado que considerar la aberraci´on del segundo difract´ome-tro indifract´ome-troduce un efecto global de disminuci´on del valor de los picos de correlaci´on, independientemente de la posici´on de la escena en la imagen, al igual que en suced´ıa en el an´alisis del JTC.

Por ´ultimo, se ha analizado el efecto de la aberraci´on conjunta de ambos difract´ome-tros en la correlaci´on final. En este caso, la influencia de la aberraci´on del primer difract´ometro genera varianza espacial, de manera que posiciones m´as alejadas del eje ´optico, y por lo tanto, con valores m´as altos de aberraci´on, equivalen a altura de picos de correlaci´on menores, mientras que, al mismo tiempo, la aberraci´on del segundo difract´ometro provoca un descenso generalizado en la altura de los picos de correlaci´on, tanto m´as acusado cuanto mayor es la aberraci´on del sistema. Por otra parte, cabe destacar que el filtro adaptado mantiene una cierta robustez a la influencia de la aberraci´on, con valores superiores al 40 % incluso en las situaciones m´as desfavorables, mientras que el filtro inverso y el de fase resultan especialmente sensibles a esta influencia, con valores inferiores incluso al 10 %.

Dependencia de la correlaci´on con la posici´on relativa de los moduladores respecto de los sistemas ´opticos

Se ha calculado la variaci´on de los picos de correlaci´on a medida que se modifica la distancia entre ambos moduladores y los sistemas ´opticos. Se ha comprobado c´omo, para los dos moduladores, la altura de los picos aumenta a medida que se reduce la distancia entre estos y los sistemas ´opticos. Esta variaci´on es m´as pronunciada para los filtros adaptado y de fase, mientras que no resulta tan evidente al considerar el filtro inverso, pues en este caso la variaci´on en la altura de los picos es sensiblemente menor. Se ha analizado la evoluci´on de la aberraci´on de cada difract´ometro para cada uno de los plano considerados anteriormente, y se ha comprobado c´omo las aberraciones del primer y del segundo difract´ometro se reducen a medida que, manteniendo constante

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la distancia entre ambos moduladores, estos se aproximan a los sistemas ´opticos.

Dise˜no de filtros adaptados a las aberraciones de los sistemas difractivos. El c´alculo del polinomio de aberraci´on ha permitido incluirlo en el dise˜no de filtros. De este modo, se han generado filtros a partir de la imagen ideal, incluyendo infor-maci´on sobre la aberraci´on del primer difract´ometro, sobre la aberraci´on del segundo difract´ometro, o bien filtros que incorporan la informaci´on sobre la aberraci´on de ambos difract´ometros. Se han calculado las correlaciones correspondientes utilizan-do los conjuntos de filtros anteriores. Del an´alisis de los resultautilizan-dos se concluye que incorporar la informaci´on de la aberraci´on al dise˜no de los filtros elimina su efecto en la correlaci´on, de manera que se recuperan los valores correspondientes a efectuar la correlaci´on en el caso ideal, considerando el correlador libre de aberraci´on. Ahora bien, dado que los filtros se han generado a partir de la imagen centrada, se mantiene la variaci´on en la altura de los picos a medida que desplazamos la escena por el plano de entrada.

Dise˜no de un correlador de VanderLugt ´optimo

A partir del dise˜no inicial, con correlaciones similares en ambos difract´ometros, y una vez realizados los estudios anteriores, se ha propuesto una configuraci´on alternativa, manteniendo los sistemas ´opticos, los dispositivos optoelectr´onicos y el factor de esca-la. Se han calculado los picos de correlaci´on para este nuevo dise˜no, utilizando tanto filtros generados a partir de la imagen ideal como filtros generados incorporando la informaci´on sobre la aberraci´on de los difract´ometros. Incluso en las condiciones m´as desfavorables (filtros m´as sensibles, como el inverso y el de fase, escena afectada por mayores valores de aberraci´on, y filtro generado a partir de la imagen sin aberrar), la altura de los picos se sit´ua por encima del 60 % respecto del valor calculado para el correlador ideal, libre de aberraci´on. En el caso m´as favorable (escena centrada en el plano de entrada y filtro generado con la informaci´on relativa a la aberraci´on de ambos difract´ometros) se recupera el valor m´aximo (100 %), correspondiente al caso ideal, para los tres filtros considerados.

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Figura

Figura 5.1: Esquema de un correlador convergente de Vander Lugt. F (x 0 , y 0 ) ∝ +∞Z Z −∞ +∞Z Z−∞ ψ(α, β; d)ψ ∗ (α, β; f 10 )ψ(α, β; d 1 )ψ(α, β; f 10 )e [−j 2παx+βyλd1 ] ×
Figura 5.2: Configuraci´on b´asica del correlador de Vander Lugt analizado. Configu- Configu-raci´on 1.
Figura 5.3: Objeto a detectar y escenas. Correlador de Vander Lugt.
Figura 5.4: Configuraci´on 2 del correlador de Vander Lugt. Aberraciones similares en ambos difract´ometros.
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